3.3.1 图像离散傅立叶变换学习视频在线视频

同学们好这节课我们来介绍图像离散傅立叶变换

我们知道，傅立叶变换是由法国数学家、物理学家傅立叶

于1822年提出的

那么后来泊松和高斯等人将其推广到电学中

傅利叶的最核心的思想是指如果是周期信号的话

我们就可以把它转换成正弦函数和的形式

就是不同频率的正弦函数和

那如果是非周期信号呢，我们就用傅里叶变换来表示它

傅立叶变换有一个非常重要的特性

就是如果一个函数或者信号可以用傅立叶级数

或者傅立叶变换来表示的话

那么这个信号就可以完全的通过傅立叶反变换来进行重建

并且不丢失任何信息

这是傅立叶变换的一个非常重要的特性

那傅立叶变换的特点呢，其实是对于图像来说

我们是把图像从空间域转换到频率域

从空间域转换到频率域之后呢，就可以把图像中

复杂的卷积运算转换成频域中的简单的乘积运算

这就大大减少了计算量

那图像的傅立叶变换已经在图像增强、特征提取

图像恢复中得到了广泛的应用

首先我们来看一维离散傅立叶变换，我们来回顾一下

我们先看一下傅立叶变换的定义

对于一个有限长的序列f(n) 这个n取从0到N-1

也就是这个长度为N的一个序列f(n) 它的离散傅立叶变换

就可以定义为f(n) 等于根号下N分之1

n从0到N-1 f(n) 乘一个W大N的au次方

那这是它离散傅立叶变换，它的反变换同样也可以给出

小的 f(n) 就是这个原始信号，可以等于根号下N分之1

n从0到N减1 f(u)W N的负au次方

这里边我W N其实称为是变换核

那W N等于e的负的阶 乘以N分之二π

那么，这是一个复数的形式

所要注意的是对于正变化里边我们的变换核是wn的nu次方

那么对于反变换的时候是wn的负的nu次方

这是正变换和反变换之间的区别，大家一定要注意

那对于刚才那个表示式我们也可以用矩阵的形式进行表示

其实就是把我们这个序列f0到fN减1写成一个列向量的形式

把他所对应的傅立叶变换后的结果呢，F(0)、F(1)

直到F(N-1)也写成一个列向量的形式

中间的这个变换核呢，我们把它写成一个变换矩阵

写成W，这时我们就可以把刚才这个一维离散的傅立叶变换

写成一个矩阵的形式，F等于U乘f

那其中因为U是一个变换矩阵，而从U的构成

我们可以看出来，U是由变换核组成的

而我们的变换核WN是等于什么呢，等于1的负的j N分之2π

所以说这个WN的uv次幂和WN的vu次幂，他是相等的

比如说我们在这个地方WN的01次幂，和WN的10次幂

它是相等的，因为它是指数次幂

所以说这个变换矩阵U它其实是一个对称矩阵

也就是说，U是和U的转置是相等的

我们进一步也可以证明U乘U的工作的转置是等于单位阵

这样的话，这个变换矩阵U其实就是一个U矩阵

因为我们刚才看了他的变化矩阵是由变换矩阵的核来组成的

所以用这个变换核来组成的，变换核是e的负的jN分之二π

所以，这是一个负数

所以说，我们得到的这个变换矩阵不是一个实矩阵

它是一个含有虚部的这样的一个举证

既然证明了U是一个对称的，而且它还是一个正交的话

那我们就可以得到U矩阵的逆矩阵

就是等于U的共轭的转制，也就等于它U的共轭本身

所以说，因为离散傅里叶变换，它是正交变换

由于他是正交变换，我们就可以得到它的反变换

它的变换核其实就是U的逆 f等于U的逆乘F

那就直接就等于U的共轭乘以F

一维离散傅立叶变换得到之后我们看下二维离散傅立叶变换

二维离散傅立叶变换的定义是这样给出的

因为我们说图像是二维的嘛

所以我们要对图像做离散傅立叶变换的话

需要用二维离散傅立叶变换来做

那这次上它有两个维度

所以在这个求和的这一部分呢，有两个求和号

那它的反变换也同样可以给出来

这里面WN仍然是指的是这个变换核

跟我们之前一维离散傅立叶变换的变换核是一样的

那其中呢，这里边m、v、 n、u都是整数

他们的取值范围就是从0到N-1之内的整数

同样要注意的是，他的正变换和反变换之间

在变换核的这一部分是多了一个负号

有了这个二维离散傅立叶变换的定义呢

我们给大家介绍几个相关的参数

因为我们刚才看到变换核呢，他仍然是一个虚指数的形式

所以二维离散傅立叶变换得到的仍然是一个复数的形式

既然是复数的形式，我们就可以把它分开来写

分成实部和虚部

那么这是实部，这是虚部，那么这个式子呢

我们已经可以用指数的形式来表示，就是

F(uv)的这个模值，其实就是图像f(m，n)它的幅度谱

或者说是我们说它的频谱

φ(uv)呢，我们称为他的相位

那F(uv)这个模值是怎么计算的呢？

它可以有这个复数形式的实部和虚部得到

F(uv)的模值是等于R的平方加上I的平方然后开根号就可以

那φ(u,v)等于什么呢，等于arctan I(u,v)除以一个R(u,v)

我们还可以进一步去得到频谱的这个平方

我们称为功率普及P(u,v)等于R的平方加上I的平方

就是,二维离散傅立叶变换的几个参数

接下来我们看一下离散傅立叶变换所对应的几个重要的性质

首先，第一个性质是变换核的可分离性

在离散傅立叶变换中

由于我们采用的这个变换核是一个虚指数的形式

也就是exp的-j N分之二π乘以个mu加上个mv

那我们把它简记为WN的mu加上nv次幂

因为这是一个指数的形式，大家看这个地方

其实是可以进行拆分的，这个地方是求和

那么，所以这个式子是其实是等于

那我们把这个结论呢

带入到我们刚才的二维离散傅立叶变换的定义里面去

看能得到什么样的结果

其实这个式子就是我们刚才那个二维离散傅立叶变换的定义

我们把这个拆了之后呢

将这个拆成两项带入进去，来计算

那么可以看到这个地方，我们把这个nv放在前面

nv放在前面之后，因为这个求和项是n从0到n-1

这里边不含有这个m项求和

所以我们把WN的mu次幂呢，把它放到外面来

那么所以这式子上面F(u,v)这个二维离散傅立叶变换的结果

就可以等于根号下N分之1 m从0到N减一的求和

中括号里面是根号下N分之1 n从0到N减1

那这样的话，大家可以看一下

我们注意这个中括号里边的一部分

这一部分大家看是不是刚才讲到的那个一维离散傅立叶变换

就相当于对这个图像的列方向

对这个n这个维度上去做一维离散傅立叶变换

那么这个时候，我们把它的这个一维离散傅立叶变换的结果

即为F(m,v)直接带入进去之后呢

我们再把这个前面的求和号，加进来之后

那么大家看，这又是一个一维离散傅立叶变换

也就是说这个地方仍然是一个维离散傅立叶变换

而这个求和呢，是m，所以他应该是对m所做的

也就是说，对F(m,n)的行所做的离散傅立叶变换

因此，最终的结果它就等于F(u,v)

那这个性质说明了什么呢

本来是一个二维离散傅立叶变换

我们发现，它可以通过一维离散傅立叶变换来进行实现

所以说，这个性质就可以给我们提供了一个

二维离散傅立叶变换的实施途径

我们可以把这个二维离散傅立叶变换

通过两次的一维离散傅立叶变换来完成

比如说我们可以通过以下两个思路来进行

第一个思路，那比如说我们可以先把f(m,n)

沿这个列做一维离散傅立叶变换

得到F(m,v)，然后再对他行方向做一维离散傅立叶变换

我们也可以对这个原始图像先按行做一维离散傅立叶变换

得到F(u,n),也就是先对行做得到F(u,n)

然后再对它沿列做，也可以得到二维离散傅立叶变换的结果

那，这就说明

我们这个变换二维离散傅立叶变换是有可分离性的

它可以分成两步来完成

而分成两步呢，都是一维离散傅立叶变换

我们学过数字信号处理都知道一维离散傅立叶变换

它是有快速算法的，所以我们就可以借用

一维离散傅立叶快速算法

对二维离散傅立叶变换用快速算法来完成

所以说,这个快速算法其实就是

我们在对它做一维离散傅立叶变换

比如说先对n做的时候，我们就对它用快速算法

然后再对m做也就是在对行做的时候也用快速算法来完成

这就为二维离散傅立叶变换的实施提供了一条便捷的途径

就是离散傅立叶变换的第一条性质可分离性

它非常的重要，我们这个图像变换提供了很多的便利

接下来我们看图像的离散傅立叶变换第二个性质

我们称为移位特性

如果f(m,n)所对应的离散傅立叶变换是F(u,v)的话

那么，我们首先来看他的空间移位性

也就是说当对mn做了个m0和n0的平移呢

那他所对应的傅立叶变换就相当于在原来的这个F(u,v)上

那么第二个是做频域的移位

如果在频域里边进行了移位，移了u0和v0位的话

那就相当于在实域里边f(m,n)乘以一个Wn负的mu0加上nv0

那么通过这两个性质可以看到，移位的时候

不管是实域的移位还是空域的移位,乘的都是wn的指数向

因为wn是一个亿的虚指数的形式

所以在移位的时候，这个幅度是不变的

也就是说，它所对应的这个模植是没有发生变化的

只是相位上的变化，这是第二个移位特性

那么移位特性给我们图像带来了一个优势

我们称为频谱中心化

如果这个图像是一个N乘N的

那么这时候我们令u0和v0都等于2分之N

这时候，我们就可以利用刚才的这个移位性质得到

f在频域里边进行移了u0和v0的单位的时候

相当于在实欲里面乘以一个负1的m加n次幂

这个如果我们带入原来的刚才那个变换核的话很容易算出来

那，移位的目的是什么呢？

这就使得这个f(m,n)的这个频谱呢

从原点00移到了2分之N和2分之N这个位置上

那2分之N和2分之N这个位置是个什么位置呢？

我们通过下面这个例子来看

这是一个原始图像

这是对它求傅立叶变换的F(u,v)的示意图

后面这个是对他进行了频谱中心化的时候

也就说对它进行移位时得到的结果

从这个地方可以看出来，如果是不进行中心化的时候

他的这个低频的部分都分布在4个角上

那，我们对他进行中心化了之后

或者说对他移位之后发现它的低频集中在中间了

那这时候，我们要对这个图像进行滤波器设计的时候

我们就可以通过，只设计一个低通滤波器

就可以把中间这个去进行过滤

这样的话，对图像滤波的时候就比较方便一些

这是第二个性质，第三个性质我们称为旋转不变性

旋转不变性，我们要借用极坐标的形式来证明

那如果说原始图像和变换后的这个F(u,v)

我们都把它变换到极坐标中去表示的话

比如说m，我们让他等于r cosθ n等于r sinθ

那u等于ω cosφ，v等于ω sinφ

这时候，f(m,n)以及他的傅立叶变换F(u,v)

都可以转化为极坐标的形式表示分别转化为小f(r,θ)和F(ω,φ)

那么有了这个，我们就可以得到这样的结果

其实因为f(m,n)对应傅立叶变换是F(u,v)

我们换到极坐标中，它也是对应的

就是f(r,θ)对应的傅立叶变换是F(ω,φ)

这时候如果我们对原始图像旋转了个θ 的话

也就是说在θ 上加上一个角度的话

那么他所对应的傅立叶变换就相当于在φ也旋转了一个θ

所以他前后可以保持这个角度的一致性

这就是我们说的旋转不变性

我们通过一个例子来进行展示，这里有个旋转不变性的例子

这是一个原始图像我们对它进行傅立叶变换之后得到这个

频谱图是这样子的，这个当然已经是进行频谱中心化了

这个是旋转之后的图像

是对这个上面这个图，旋转了45度

你再去计算他的傅立叶变换的时候计算它的频谱时候

你会发现这个频谱的图

也是对它原来的这个傅立叶变换的屏幕图进行了旋转

所以说，旋转不变性

就保持了图像和他的频谱之间的这个角度的一致性

第四个比较重要的性质呢，是卷积定理

所谓的卷积定理也是离散傅立叶变换里边

它的应用最广泛的一个地方

那这个卷积定理的这个核心的地方是什么？

如果我们在实域里面对两个图像进行卷积的话

那么，他所对应的傅立叶变换是相乘的形式

如果对两个谱相相乘的话

那么它对应的频域里边是两个各自对应的傅立叶进行卷积

这个，我们提供了什么方便呢？

因为我们平常处理图像的时候，我们经常用一个模板

对图像进行卷积，而这个计算起来的

我们大家都知道，卷积的计算量是非常大的

这时候我们就需要，如果我们有了这个卷积定理

我们就可以把它变换到频域中变成相乘的形式

计算量就大大的降低

那这个和之前有一个区别的地方，是这个地方是个fe

这个h是个he，这是为什么呢？

我们先来看一下,fe和he的定义

fe它等于当m和n在这个ab这个尺度内的话

他是和原来的这个图像是一样的

当他大于这个的时候，他是等于零的

那其实就相当于对原始的这个图像做了一个0扩展

同样he也是这样，而he他在m大于0小于c减1

n大于0小于D减1的这个范围内，它就是h(m,n)

那么下面在这个范围之外的是零，就相当于是什么呢

这相当于对原图这个f(m,n)和h(m,n)对他做了一个零扩充

为什么要做零扩充呢，是因为这个地方用的卷积之后呢

如果我们只是用原来的这个图像进行卷积的话

他的尺度会超过原来图像的尺度

因为它就对原来的图像基于延拓

这样的话，这个像素点的个数就超出了我们原来的这个范围

就是说超出这个范围的，我们还有地方存放

所以我们就对fe和he进行了一个零扩展

这是卷积定理，卷积定理也是我们应用最广泛的定理

这个定理的证明，我们就不给出了

因为这个计算那整个的过程跟我们之前信号与系统里面学的

这个傅立叶变换的卷积的证明是一样子的

接下来我们看是第五个性质，是周期性和共轭对称性

周期性是只说是f(m,n)如果它是一个周期图像

就说f(m,n)加上aN，n加上bN

它给原始图像是一样就说f(m,n)是一个周期为n的

这样一个图像的话，那么它所对应的这个傅立叶变换呢

也会是一个周期的

这个性质我们可以利用我们之前的这个一维性质来进行证明

这个就相当于m加上个aN，n加上个bN

就相当于对这个原始图像做了一个aN和bN这个平移

平移之后对应到傅立叶变换域里边的

就像那F(u,v)乘一个WN的

那么这个因为含有N的整数倍，我们带进去

这个续指数就会发现他是等于1的

所以你将这个图像进行周期旋转之后

它的傅立叶变换是不变的

接下来还有一个称为共轭性

就是说，如果这个图像f(m,n)

我们因为是数字图像，他肯定是一个实数

所以我们称他为实函数

但是它的傅立叶变换F(u,v)它是一个负数

那F(u,v)是具有共轭对称性的，什么什么意思呢

就说是因为他是一个负数，所以F(u,v)的共轭

它是等于F(-u,-v)的

然后就可以进一步得到低于这个两边，求模值的时候

就可以得到F(u,v)和F(-u,-v)的模植是一样的

所以他有共轭的对称性

第六条性质呢，是线性性

线性性是指的是如果我们假设ab是常数

那么F1、F2二是两个图像

如果对两个图像F1、F2作线性求和的话

比如说是a乘f1，加上b乘以f2，那就对他们线性求和的话

它所对应的傅立叶变换的结果呢

是对f1和f2各自求傅立叶变换之后再进行线性组合

也就是说是af1(m,n)加上个bf2(m,n)所对应的傅立叶变换

他就等于a倍的f1的傅立叶变换，加上b倍的f2的傅立叶变换

对于二维离散傅立叶变换的逆变换也同样有这种相似的

这种线性性质

比如说如果是f1和f2两个傅立叶变换的线性组合的话

那么求它的这个线性组合的逆变换的时候

得到的结果就是对各自f1 f2去求他的傅立叶变换的逆变换

然后再进行线性求和

这个是图像二维傅立叶变换线性性质

那么第七个性质呢，是比例性或者是尺度变换的性质

如果f(m,n)对应的傅立叶变换是F(u,v)的话

那么如果对f(m,n)做一个尺度变换

比如说m维度上也就是它的行上乘以a在n维度上乘以b的话

那么它所对应的傅立叶的变换就相当于

对原始的这个F(u,v)做以下的变换

左边成一个a和b的模分之1，然后在这个uv这个地方呢

是a分之u和b分之v，这是二维离散傅立叶变换的尺度变换

那么二维离散傅立叶变换还有几个性质

比如说是 蛇偶函数的离散傅立叶变换

解耦函数的离散傅立叶变换

以及平均值性质,还有相关定理

那这几个呢，因为时间关系我们就不再详细讲述了

如果大家有兴趣的话，对这一部分的相关的知识

可以去参考数字信号处理的相关内容

包括每一个性质的证明都可以从这个从相关课程里面找到

好，这节课就讲到这里，谢谢大家