当前课程知识点：现代图像分析 > 第三章 图像变换 > 3.4 图像变换的一般表示形式 > 3.4.1 图像变换的一般表示学习视频
同学们好 这节课我们来讲
图像变换的一般表示显示形式
我们前面已经学过了二维离散傅立叶变换
我们知道二维离散傅立叶变换它是一种可分离的正交变换
根据它的计算方法和特性
我们给出图像变换的一般的表达式
这个是二维离散傅立叶变换的定义
我们先从它的定义可以看出来
变换核是跟mu和nv都是有关系的
我们对这个变换核Wn进行泛化
得到图像变换的更一般的表达式
其实就是用g函数和h函数去代替
原来的正变换和反变换的变换核
这个时候就得到图像变换一般表达形式
就是F(u,v)等于m从0到N-1 n从0到N-1
f(m,n)乘以这样一个变换核g(m,n,u,v)
这就是一个正变换，这是正变换的变换核
我们有一个g函数来表示
那它的反变换的变换核呢，我们用一个h函数来表示
它里边仍然是和mnuv有关系
那这时候 它对应的这个图像变换的反变换呢
就是f(m,n) u从0到N-1 v从0到N-1
两个求和之后 F(u,v)乘以h
这就得到了图像变换的一般的表达式
接下来我们看一下正交变换
因为我们之前学的二维离散傅立叶变换就是正交变换
那么对于一般的这个图像变换呢
一般表示其是它的正交变换是什么样子的呢
那首先我们来看一下正交矩阵的概念
如果我们将图像的这个变换公式中的正变换
写成矩阵的表达形式的话，那就是得可以得到F=Gf
这是一个就是图像变换的一般表示形式
其中这个G是称为变换矩阵
如果这个G是满足G乘以G的转置等于单位阵的话
这时候我们称这个矩阵即为正交矩阵
或者说如果这个矩阵G是一个负数组成的矩阵
那这时候如果有G乘以G的共轭的转置等于单位阵的话
这时候我们称这个G为酉矩阵
那正交矩阵有几个性质
如果G为正交矩阵的话 那么这个G的逆矩阵就等于G的转置
那如果G是为一个酉矩阵的话
就是它是一个含有负数的这样一个矩阵的话
那么G的逆矩阵就是它的共轭的转置
如果这个时候G是一个正交矩阵
那么在G中的各行或者是各列的向量的模值为1的时候
任意不同行或不同列的向量之间又正交
那么这时候G矩阵就称为正交归一化矩阵
如果G是一个正交矩阵的话
它的行列式的模值肯定是等于1的
第四条性质是说如果G是一个正交矩阵或者是酉矩阵的话
那么它的转置和它的逆也是正交矩阵或者是酉矩阵
再就是如果G1和G2两个都是正交阵的话
那么G1乘以G2得到的矩阵也是正交矩阵
如果G1和G2是酉矩阵的话 那么它们俩相乘也是酉矩阵
那有了正交矩阵的这个概念
我们就可以得到正交变换的这样的概念
我们先看一下，如果变换矩阵是一个正交阵或者是酉阵的话
我们称这个变换为正交变换
比如我们之前学的这个二维离散傅立叶变换就是正交变换
那正交变换有什么性质呢
一个非常重要的性质就是二维正交变换下的能量守恒
f(m,n）对它做一个正交变换的时候
变化后的这个能量跟变换前的能量是相等的
只有这样的话 我们才可以对这个F
就是变换后的这个结果对原始的这个f(m,n)进行重建
这是变换过程中能量没有损失
那么接下来我们看一下可分离变换
首先 我们看一下可分离变换核
如果我们刚才说的这个正变换的变换核g(m,n,u,v)
可以写成g1和g2相乘的形式
这时候称这个正变换核是可分离的
同样的如果h(m,n,u,v)等于h1(m,u)乘以h2(n,v)
就说它是可以分成两部分的话则称这个反变换核是可分离的
如果这个变换核是可分离的话
那么这时候这个二维变换就可以称为可分离变换
既然是可分离变换
那么这个二维可分离变换就可以有两步一维的变换来完成
这个性质跟我们之前的二维傅立叶变换的性质是类似的
就是说如果这个变换核是可分离的话
那么我们对这个f(m,n)做的这个二维的这种变换
就可以分成先按列来做 然后再对行进行做
或者是说是我们可以对它先对行做变换
然后再对列做变换，也就说是它达到的效果是一样的
只不过是你可以把二维变换转成一维变换
中间就可以减少计算量
接下来我们看一下可分离正交变换
如果F等于G1的转置乘以f乘以G2
那么这里边的这个G1 G2视为
正变换核g分离后得到的变换矩阵
其中G1这个函数得到的矩阵
那么大的这个G2呢，是由G2这个变换核函数得到的矩阵
如果它可以写成G是可分离的话
那么F就可以写成G1的转置乘以f乘以G2
如果分离后的这个G1和G2都有逆矩阵存在的话
直接可以得到它的反变换核f等于G1的转置的逆
乘以F乘以G2的逆
如果这个变换核为可分离的正交变换的话
则我们称为是可分离正交变换
分离后的这个变换矩阵G1和G2都是正交矩阵或者是酉矩阵
根据证交矩阵的性质
就可以得到可分离正交变换的反变换为
f等于G1乘以大F乘以G2的转置
这是如果G1 G2这两个变换矩阵是正交阵的情况下
如果它们是酉矩阵的话 那么
f就等于G1的共轭乘以F乘以G2共轭的转置
因此可分离正交变换的一般矩阵的表示形式就可以写成这样
正变化我们可以写成F等于G1的转置 乘以f乘以G2
那反变换呢 要分两种情况
就是看这个变换矩阵是一个实阵还是一个负数阵
如果它是有一个实数组成的矩阵
它的反变换就是f等于G1成一个F乘以G2的转置
那如果它是一个G1 G2是一个酉矩阵的话
那么小f就可以写成
G1共轭乘以大F 乘以G2的共轭的转置
那我们上一节介绍的二维离散傅立叶变换就是
可分离的正交变换
它的变换核呢 也是对称的
离散傅立叶因为它是复数运算
所以它的运算量非常大，不便于实时处理
那一般面对这种时候我们希望把这个复数这一部分去掉
能够变成实数运算
所以我们经常通过构造函数的形式
把这个变换函数构造成为偶函数
那么偶函数的二维离散傅立叶变换里面
就是仅含有实部 不含有虚部
这个时候所形成的变换
也就是后面我们会提到的离散余弦变换
好，这节课就到这，谢谢大家
-1.1 图像及图像的基本概念
--1.1.2 图像及图像的基本概念作业
-1.2 数字图像处理的起源
--1.2.2 数字图像处理的起源作业
-1.3 数字图像处理的步骤和方法
--1.3.2 数字图像处理步骤和方法作业
-1.4 数字图像处理系统的组成
--1.4.2 数字图像处理系统的组成作业
-1.5 数字图像处理主要应用领域
--1.5.2 数字图像处理主要应用领域作业
-2.1 色度学基础
--2.1.3 色度学基础作业
-2.2 人的视觉特性
--2.2.1 人的视觉特性作业
-2.3 图像数字化
--2.3.2 图像数字化作业
-2.4 数字图像特点
--2.4.2 数字图像特点作业
-3.1 图像变换的基本概念
--3.1.2 图像变换的基本概念作业
-3.2 图像的几何变换
--3.2.2 图像的几何变换作业
-3.3 图像的离散傅立叶变换
--3.3.2 图像的离散傅立叶变换作业
-3.4 图像变换的一般表示形式
--3.4.2 图像变换的一般表示形式作业
-3.5 图像的离散余弦变换
--3.5.2 图像的离散余弦变换作业
-3.6 图像离散沃尔什-哈达玛变换
--3.6.2 图像离散沃尔什-哈达玛变换作业
-3.7 K-L变换
--3.7.2 K-L变换作业
-4.1 图像的对比度增强
--4.1.2 图像的对比度增强作业
-4.2 直方图修正
--4.2.3 直方图修正作业
-4.3 图像平滑
--4.3.4 图像平滑作业
-4.4 同态滤波
--4.4.2 同态滤波作业
-4.5 图像锐化
--4.5.2 图像锐化作业
-4.6 图像的彩色增强
--4.6.2 图像的彩色增强作业
-5.1 退化模型及常见退化模型
--5.1.2 退化模型及常见退化模型作业
-5.2 图像的无约束恢复
--5.2.2 图像的无约束恢复作业
-5.3 图像有约束最小二乘恢复
--5.3.2 图像有约束最小二乘恢复作业
-6.1 概述
--6.1.1 概述作业
-6.2 图像编码基本理论
--6.2.2 图像编码基本理论作业
-6.3 无损编码理论
--6.3.2 无损编码理论作业
-6.4 霍夫曼编码
--6.4.2 霍夫曼编码作业
-6.5 算数编码
--6.5.2 算数编码作业
-6.6 预测编码
--6.6.2 预测编码作业
-6.7 正交变换编码
--6.7.2 正交变换编码作业
-7.1 图像分割的定义及依据
--7.1.2 图像分割的定义及依据作业
-7.2 边缘点检测
--7.2.2 边缘点检测作业
-7.3 边缘线跟踪
--7.3.3 边缘线跟踪作业
-7.4 门限化分割
--7.4.2 门限化分割作业
-7.5 区域分割法
--7.5.2 区域分割法作业
-7.6 聚类分割法
--7.6.3 聚类分割法作业
-8.1 像素间的基本关系
--8.1.2 像素间的基本关系作业
-8.2 目标物的边界描述
--8.2.2 目标物的边界描述作业
-8.3 目标物的区域描述
--8.3.2 目标物的区域描述作业
-8.4 图像的几何特征
--8.4.2 图像的几何特征作业
-8.5 特征描述子
--8.5.4 特征描述子作业
-9.1 图像匹配
--9.1.2 图像匹配作业
-9.2 图像分类
--9.2.2 图像分类作业
-9.3 图像识别
--9.3.2 图像识别作业
-9.4 模式识别分类专题
--9.4.4 模式识别分类专题作业
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