L'Hospital's Rules (洛必达法则)慕课视频播放-微积分-1-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们你们好

欢迎来到mooc在线课程微积分

上一讲中呢我们讲到了

现阶段非常重要的一组定理

就是中值定理

也就是平均值定理

应该说这些定理

为整个微积分大厦的构建

起到了非常重要的理论支撑

而这节课呢我们将看到

在实用计算方面

最重要的工具之一

就是洛必达法则

同学们或许在前面

计算极限的时候已经体会到了

就是零比零型的极限问题

通常都比较难解决

那么我们今天要讲的

这个洛必达法则呢

就是专门处理这种极限问题的

非常有力的武器

好的下面我们就看一下

洛必达法则是怎么解决这种问题的

Chapter 4 Derivatives 导数

Unit 6 L’Hospial’s Rules

洛必达法则

好的同学们

我们看一下什么是洛必达法则

这就是我们的

Theorem one point one

let f and g be differentiable

functions on the interval

open interval a to x naught

and x naught to b their union

注意我们的前提是

假设f和g是两个可微函数

在哪里呢

在两个开区间的并集上

这个开区间实际上就是

从a到b但是去掉了一个点

就是其中的x0点

and g prime x is not zero

everywhere for all such x

in that set we mentioned before

前面讲的这个集合中

我们任取一个点都假设

g在那个点的导数不等于0

接下来我们看其他的条件

assume that the limit of f of x

as x approaches to x naught is zero

and the limit of g of x as x

approaches x naught is zero

我们同时假设f和g

这两个函数在x

趋近于x0的时候都趋向于0

if more over the limit of

f prime over g prime as x

approaches x naught exists then

还有一个条件就是

f一撇除以g一撇这个函数

在x趋近于x0的时候

极限也要存在则

the limit of f over g as x

approaches x naught is exactly

the limit of f prime over g prime

as x approaches x naught

这就是所谓的洛必达法则

这个定理描述起来非常的长

前提也很多但是结论

实际上是非常清晰的

它的意思是说

如果f在某个点趋近于0

g在某个点x0处也趋近于0

那么f除以g这个极限

通常是不定的

因为很难计算

但是它一定会等于

f一撇除以g一撇

在x趋近于x0过程中的极限

如果这个极限存在的话

换言之

我们把一个0比0型的极限

转化成了另外一个极限

这就是洛必达法则的威力

其实洛必达法则还有另外的形式

我们再看一个定理

let f and g be differentiable functions

on the open interval a to x naught

union with x naught to b and g prime

at x is not zero everywhere for all

x in that interval assume further that

limit of f of x as x approaches

x naught is plus infinity and

the same thing for that of g

我们要同时假设f和g在

x趋近于x0的时候

都趋紧于正无穷

and further assume that

the limit of f prime over g prime

as x approaches x naught exists

then the limit of f over g

as x approaches x naught is exactly

the limit of f prime over g prime

as x approaches x naught

请看这个定理的陈述方式

跟刚才我们说的

洛必达法则的陈述方式

基本上非常的类似

唯一的差异就是

这个地方不是0比0型的极限

而是无穷比无穷型的极限

因为我们假设了f和g在

x趋近于x0的时候

都趋近于正无穷

也就是说这个定理告诉我们

无穷比无穷型的极限该怎么找

以上这两个定理都叫洛必达法则

洛必达法则是非常有用的

它的目的是求某一类型的极限

比如0比0型或者无穷比无穷型

要想严格证明这两个定理

还是比较复杂的

这个超越了我们这门课的要求

如果同学们感兴趣的话

可以参阅有关数学分析的教材

我们有这样一个注记

remark one point three

the above limit of f over g

as x approaches x naught

is often called an indeterminate

of the form zero over zero or

infinity over infinity

刚才这两个定理中

遇到的极限类型

通常叫做不定型的极限

具体而言就是0比0型

或者无穷比无穷型

there are other indeterminate forms

for example zero times infinity

infinity to the zero-th power

zero to the zero one to the infinity

and infinity minus infinity

they can be evaluated by transforming

them into equivalent limits

zero over zero or infinity over infinity

and using the L’Hospital’ rules

也就是说还有一些

其他类型的不定式

比如0乘无穷无穷的0次方

0的0次方 1的无穷次方

无穷减无穷等等

遇到这种类型的极限

我们通常会把它转化成

刚才这两个定理的形式去求

下面我们用几个例子

来看一下如何使用洛必达法则

example this example is

of the type zero over zero

这个例子讲的是0比0型的极限

考虑的是这个极限

e的2x次方减1除以x

上下同时趋近于0

只要x趋近于0

好了用洛必达法则

我们上下分子分母同时求导数

它就变成了这样一个极限

limit as x approaches zero

上面是2倍的e的2x次方

底下求导变成了1

到这一步一下子就可以

求出它的结果了等于2

再看一个例子

这个例子展示的是

无穷比无穷型的极限

我们看一下

limit of x square times e to the

minus x

它呢可以转换成另外一个样子

就是x square over e to the x as

x approaches infinity

还是使用洛必达法则

上下分子分母同时求导

会得到这样一个求极限式

two x over e to the x

然后我们再用一步洛必达法则

因为刚才这个式子

还是无穷比无穷型

好了再求一次导数就变成了

2比e的x次方

那么现在我们一眼看出

这个结果就是0

好的我们看更多的例子

example one point six

这个例子中是0乘以无穷型的

请看

limit as x approaches zero plus

x square times ln x

注意这里x趋近于0的时候

是从单侧趋向于0的

也就是从右侧

当然相应的洛必达法则

也是成立的

好了我们看一下

我们该怎么求这个极限呢

很简单把它转化一下

变成现在写的这个式子就是

ln x over one over x square

这样的话上下都是无穷型的

于是变成了无穷比无穷型

好了现在利用洛必达法则

上下同时求导数

就变成现在这个样子

经过化简以后我们最后变成

这个求极限的公式

那么一下子就求出它的结果

就是0

好接下来再看一个例子

这个例子的特点是

1的无穷次幂形式的请看

limit as x approaches zero

cos x to the one over x square

它的答案我们现在已经写出来了

但是假设我不告诉你答案的话

这个求极限问题是非常难的

因为cos x 是趋近于1的

而它的指数1除以x的平方

是趋于无穷的

一般而言这个极限是非常难求的

那么它的结果为什么是

e的负二分之一次方呢

我们来解释一下实际上

我们对刚才这个极限式中

要求的那个函数

我们取一个ln

就可以转化成另外一个极限

我们这里看一下这个极限是什么

limit as x approaches to zero

ln cos x over x square

这个新的极限类型

它是0比0型的

所以可以应用洛必达法则了

好的我们现在应用洛必达法则

就得到这个式子

到这里呢同学们就直接可以

算出它的极限值了

如果有的同学还愿意

再用一次洛必达法则的话也行

因为它还是0比0型的

好的我们再用一次洛必达法则

上下同时求导数就会变成

现在看到的这个式子

这个式子在取x趋近于0的时候

就直接算出来它的结果

是负二分之一

于是原来的极限的结果就是

e的负二分之一次幂

其实还有更多的例子我们再看

example one point eight

这个类型是无穷的0次幂型

我们举的例子是这样的

e的3x次方减去5x

外面还要去x分之一次幂

它的结果是e的3次方

我们看一下为什么

我们还是把刚才这个极限式

取一个ln

然后就会变成

另外一个极限的问题

现在我们写出来它就是

as x approaches infinity

ln of something over x

这个时候我们看出来

它实际上是无穷比无穷型的

于是可以使用洛必达法则

上下同时求导数

这个过程我们就不详细解释了

总之连续用两次洛必达法则

再用一次洛必达法则

实际上我们用三次洛必达法则

就会得到现在这个式子

它就可以直接求出解答了是3

于是原来的极限就是e的3次幂

好的我们再看一个例子

这个例子是0的0次幂型

它是这样的sin x 的x次幂

as x approaches zero plus

这个极限的结果是1

为什么呢

我们这里简要的写了一下结论

我们就不做太细致的解释了

同学们自己

把其中的一些细节找出来

我们再看一个无穷减无穷型的例子

example one point ten

sec x minus tan x

as x approaches a half of pi

我们先做一个变形把它变成

one minus sin x over cos x

as x approaches a half of pi

好了

现在就可以利用洛必达法则了

这是求导以后的结果

于是我们就算出了这个结果是0

同学们要注意并不是所有的

无穷减无穷型的结果都是0

同学们刚才这些例子中

我们见到的函数都非常的怪异

通常的方法是

求不出它们的极限的

而使用洛必达法则以后

就可以使问题迎刃而解

当然我们在体会到

洛必达法则的威力的时候

也要小心

就是每次使用洛必达法则的时候

一定要检查这个函数是否满足

洛必达法则的先决条件

好的同学们

在刚才这一讲中呢

我们已经学会了洛必达法则

当然呢我们还需要

更多的练习和思考

才能够熟练地牢固的

正确的掌握洛必达法则

这件非常有力的武器

希望同学们课后能够

认真复习多做练习

好了这节课就到这里谢谢大家

同学们我们下堂课再见

微积分-1课程列表：

Chapter 1 Numbers and Sets 数域与集合 (first part)

-Unit 1 Review of Real Numbers (回顾实数)

--Review of Real Numbers (回顾实数)

--Exercise1-1

-Unit 2 Exponentiations, Logarithms and Sets (指数、对数与集合)

--Exponentiations, Logarithms and Sets (指数、对数与集合)

--Exercise 1-2

-Unit 3 Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)

--Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)

--Exercise-1-3

Chapter 1 Numbers and Sets 数域与集合 (second part)

-Unit 4 Bounds and Completeness (有界性与完备性)

--Bounds and Completeness (有界性与完备性)

--Exercises-1-4

-Unit 5 Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)

--Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)

--Exercise-1-5

-章节测验1

--章节测试1

Chapter 2 Sequence 数列 (first part)

-Unit 1 Limit of a Sequence (数列的极限)

--Limit of a Sequence (数列的极限)

--Exercises-2-1

-Unit 2 Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)

--Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)

--Exercises-2-2

-Unit 3 Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)

--Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)

--Exercises-2-3

Chapter 2 Sequence 数列 (second part)

-Unit 4 Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)

--Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)

--Exercises-2-4

-Unit 5 Nested Intervals Theorem and Cauchy’s Convergence Criterion (区间套定理和柯西收敛准则)

--Nested Intervals Theorem and Cauchy’s Convergence Criterion (区间套定理和柯西收敛准则)

--Exercises-2-5

-章节测验2

--章节测试2

Chapter 3 Functions, Limits and Continuity 函数，极限与连续性(first part)

-Unit 1 Functions and Graphs (函数与图像)

--Functions and Graphs (函数与图像)

--Exercises-3-1

-Unit 2 Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions (代数函数，超越函数与反三

-- Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions(代数函数，超越函数与反三角函数)

--Exercises-3-2

-Unit 3 Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions (双曲函数与反双曲函数)

--Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions(双曲函数与反双曲函数)

--Exercises-3-3

-Unit 4 Maximum and Minimum, Increasing and Decreasing (极大值与极小值，单调增与单调减)

--Maximum and Minimum, Increasing and Decreasing (极大值与极小值，单调增与单调减)

--Exercises-3-4

Chapter 3 Functions, Limits and Continuity 函数，极限与连续性(second part)

-Unit 5 Limits of Functions (函数的极限)

--Limits of Functions(函数的极限)

--Exercises-3-5

-Unit 6 Infinity (无穷)

--Infinity (无穷)

--Exercises-3-6

-Unit 7 Theorems on Limits and Special Limits (极限相关定理与特殊极限)

--Theorems on Limits and Special Limits (极限相关定理与特殊极限)

--Exercises-3-7

Chapter 3 Functions, Limits and Continuity 函数，极限与连续性 (last part)

-Unit 8 Continuities (连续性)

--Continuity (连续性)

--Exercises-3-8

-Unit 9 Theorems on Continuity (关于连续性的定理)

--Theorems on Continuity (关于连续性的定理)

--Exercises-3-9

-Unit 10 Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性，一致连续性与不连续性)

--Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性，一致连续性与不连续性)

--Exercises-3-10

-Unit 11 Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)

--Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)

--Exercises-3-11

-章节测验3

--章节测试 3

Chapter 4 Derivatives 导数 (first part)

-Unit 1 Basics of Derivatives (导数基本定义)

--Basics of Derivatives (导数的基本定义)

--Exercise-4-1

-Unit 2 Differentiability on Intervals, Piecewise Differentiability and Differentials (区间上的可微性，逐段可微性与

--Differentiability on Intervals, Piecewise Differentiability and Differentials (区间上的可微性，逐段可微性与微分)

--Exercise-4-2

-Unit 3 Basic Methods of Differentiation (基本求导方法)

--Basic Methods of Differentiation (基本求导方法)

--Exercise-4-3

Chapter 4 Derivatives 导数 (second part)

-Unit 4 Derivatives of Commonly Used Functions (常见函数求导)

--Derivatives of Commonly Used Functions (常见函数求导)

--Exercise-4-4

-Unit 5 Higher Order Derivatives and Mean Value Theorem (高阶导数与中值定理)

--Higher Order Derivatives and Mean Value Theorem (高阶导数与中值定理)

--Exercise-4-5

-Unit 6 L'Hospital's Rules (洛必达法则)

-- L'Hospital's Rules (洛必达法则)

--Exercise-4-6

Chapter 4 Derivatives 导数 (last part)

-Unit 7 The First and Second Derivative Tests (导数判别法)

--The First and Second Derivative Tests (导数判别法)

-Unit 8 The Taylor Formula (泰勒公式)

--The Taylor Formula (泰勒公式)

--Exercise-4-8

-章节测验 4

--章节测试4

Chapter 5 Integrals 积分(first part)

-Unit 1 Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)

-- Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)

- Exercise 5-1

-Unit 2 Properties of the Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus (定积分的性质与微积分基本定理)

--Properties of the Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus (定积分的性质与微积分基本定理)

--Exercise-5-2

-Unit 3 Integrals of Elementary Functions and Integration by Substitution (初等函数的积分，换元法)

--Integrals of Elementary Functions and Integration by Substitution (初等函数的积分，换元法)

--Exercise-5-3

-Unit 4 Integration by Parts and Special Techniques(分部积分法与特殊技巧)

--Integration by Parts and Special Techniques(分部积分法与特殊技巧)

--Exercise-5-4

Chapter 5 Integrals 积分(second part)

-Unit 5 Integrations of Rational Fractions and Trigonometrical Rational Functions(有理分式函数与三角有理函数的积分)

-- Integrations of Rational Fractions and Trigonometrical Rational Functions(有理分式函数与三角有理函数的积分)

--Exercise-5-5

-Unit 6 Arc Length(弧长)

--Arc Length(弧长)

--Exercise-5-6

-Unit 7 Areas and Volumes(面积与体积)

--Areas and Volumes(面积与体积)

--Exercise-5-7

-章节测验5

--章节测试5

课程讲义

-课程讲义

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