当前课程知识点:微积分-1 > Chapter 3 Functions, Limits and Continuity 函数,极限与连续性(first part) > Unit 3 Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions (双曲函数与反双曲函数) > Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions(双曲函数与反双曲函数)
同学们你们好
欢迎来到MOOC在线课程微积分
前面两讲呢 我们已经谈到了
各种各样基本的函数类型
但是有一种函数同学们以前没有见过
就是双曲函数
实际上 双曲函数还有他们的反函数
也就是反双曲函数
在高等数学以及其他的科学中呢
会非常的常见
将来我们学习微分方程的时候
也要用到这种函数类型
因此我们要准确明白地
把握双曲函数
还有反双曲函数
好的 一切从定义谈起
下面我们就看一下什么是双曲函数
Chapter 3 Functions Limits and Continuity
函数 极限与连续性
Unit3
Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions
双曲函数与反双曲函数
Section1 Hyperbolic Functions双曲函数
在讲双曲函数之前
我们先回顾这样一件事情
就是eiφ=cosφ+isinφ
这公式我们在第一章已经讲过了
它就是所谓的欧拉公式
好在这个公式中我们把刚才的φ取成-φ
我们看一下
就是e-iφ=cosφ-isinφ
通过这两个公式
我们可以得到这样一个事情
就是cosφ=(eiφ+ e-iφ)/2
也就是说cos这个三角函数
可以通过指数函数的组合来实现
类似的还有
sinφ=(eiφ- e-iφ)/2i
所以呢通过这两个式子我们看出来
指数函数实际上可以给出三角函数
那么
类比这两个cos和sin的定义
我们下面就要给出所谓的
hyperbolic functions
也就是双曲函数
双曲函数这个概念
就是通过刚才三角函数的形式来类比引入的
来我们看一下
六个双曲函数的定义式
defintion1.1 hyperbolic function
Hyperbolic Functions are defined
in terms of exponential functions
双曲函数是通过指数函数的组合来定义的
它呢一共有六个
我们分别来讲一下
there lists as below
sinhx
这个英语中可以读作sinh of x
它的定义是这样的
sinhx=(ex- e-x)/2
另外呢还有coshx
cosh呢也可以读作cosh of x
它的定义式是这样的 coshx=(ex+ e-x)/2
注意这个定义式就恰好和刚才的sin
cos和指数函数关系呢是非常类似的
这就是所谓的两个最基本的双曲函数
sinh and cosh定义式
另外呢我们还有其它几个
重要的双曲函数
比如说tanhx
它的定义式是这样的
也就是sinhx/coshx
这个关系式非常类似于tan(x)与sin(x)
cos(x)的关系
再比如cothx= coshx /sinhx
以及cschx=1/sinhx
以及sechx=1/coshx
所以啊
通过两个最基本的
sinh和cosh就可以
把剩下四个双曲函数都定义出来
当然同学们可以
把它们重新化成e的指数的样子
好下面我们看一下这些函数的图像
这里我们画的是y=sinhx
以及y=coshx
以及y=tanhx的图像
注意啊
这些图像和三角函数图像都是不一样
但是sinhx是一个奇函数
coshx是一个偶函数
tanhx是一个奇函数
好我们再看y=cothx
y=cschx和y=sechx的图像
这些图像同学们可能以前没有见过
希望同学们通过观察这些图像能够
熟悉以上这些基本的双曲函数
好我们注意这样一个事情
就是sinh0=0
csch的定义和coth的定义都是
负无穷到0以及0到正无穷
唯独不能取到零
同学们
上面我们通过三角函数的定义
类比定义了这些双曲函数
双曲函数也有一些
与三角函数类似的恒等关系
下面呢我们就枚举一些恒等关系
同学们可以发现这些关系和
三角函数的恒等关系呢非常地相似
但是其中呢也有一些地方不一样的
需要特别的注意
请看we list some of the
hyperbolic identities below
下面我们枚举一些
双曲函数的恒等式
sinh( x ) = sinh x
也就是sinh实际上是一个奇函数
cosh( x ) = cosh x
也就是cosh是一个偶函数
cosh2x - sinh2x = 1
注意啊这个式子中
中间是一个减号
而相应的sin函数和cos函数的平方和
等于1之间呢是加号
这是一个不同点
再比如we have moreover the following
1- tanh2x =sec2hx
sinh(x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
cosh(x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
以上这两个公式呢
就是sinh与cosh的和公式
section2 inverse hyperbolic functions
反双曲函数
同学们以前我们学习了三角函数
同时呢学习了反三角函数
现在呢我们学习了什么叫做双曲函数
也就自然地要引入
什么叫反双曲函数了
我们把双曲函数的反函数
就叫做反双曲函数
这里我还是要提醒大家要特别注意
反双曲函数的定义域和值域
也就是它们的象集是怎么规定的
好 下面我们看一下具体的定义
好下面呢我们枚举一下
这些反双曲函数
第一个就是arcsinhx
它呢是sinhx的反函数
实际上我们可以写出它的表达式
它的表达式是ln(x+sqrt(x2+1))
其中呢x取遍整个实数集
另外呢还有一个重要的反双曲函数
就是arccoshx
它呢可以具体地写出来表达式
就是lnx=(x+sqrt(x2-1))
注意这里的X就有取值范围了
也就是arccosh
它的定义域是有约定的
我们约定x in one to infinity1
从1到无穷
x可以取到1
也就是x是全体比1大
或等于1的实数的集合
这就是arccosh的定义域
好我们再看另外一个反双曲函数
就是arctanhx
这个是tanhx的反函数
它呢也可以具体地解出来就是
0.5ln((1+x)/(1-x))
这个函数中这个x也是有取值范围的
它的取值范围是x is in -1 to 1
开区间-1到1
x不能取到-1也不能取到1
注意这里边这个arcsinh
有的时候也写作sinh-1
当然类似的其它几个
反双曲函数也有类似的记法
我们就不一一枚举了
接下来我们看
另外的几个反双曲函数
arcschx就是cschx的反函数
它呢也可以具体的解出来
就是ln﹙1/x+sqrt(x2+1)/丨x丨﹚
这里我们约定x的定义域
就是x is not zero
凡是不等于零的x都可以取arcschx
另外还有arcsechx
它呢解出来就是ln((1+sqrt(1-x2))/x)
注意这里x的取值范围是x in (0,1]
x cannot be 0 but x can be one
x处在一个半开半闭区间中
0到1
0不能取到
1可以取到
最后一个arcothx
它解出来就是0.5ln((x+1)/(x-1))
好这里我们强调一下x 的定义域
就是x in minus infinity to 1
and 1 to positive infinity
它是一个并集
是从负无穷到负一
包括了负一以及
一到正无穷包括了一
这样一个非常特殊的集合
这里呢我们把所有的
这些函数的图像都画一下
第一个我们画的是arcsinhx
arccoshx
以及arctanhx的图像
接下来我们画的是arcschx
arsechx
以及arcothx的图像
这些图像呢希望同学们熟悉一下
并且最好能推导一下
这些函数的表达式
为什么是刚才我们
所列举的那些样子
有些同学呢
可能要深入地追究一下这些
反双曲函数表达式是
怎么推导出来的呢
我们可以以y=coshx这个函数
的反函数为例来说明一下
那么其它几个反双曲函数的推导呢
同学们自己可以类似地做一下
好的
下面呢
我们看怎么找一个
具体的双曲函数的例子
就是我们要找y=coshx
这个函数的反函数
也就是arcoshx
In order to find out
the inverse function
我们要解一个方程
we must solve for x from
the equation y = cosh x
也就是e2x-2yex+1=0
这个方程实际上就是
刚才y=coshx的
具体解开以后并且
简化以后的方程式
从中我们要求解y
也就是把y用x来表示出来
好我们看一下
这个方程其实并不难解
同学们可以把它直接解出来
x是什么样子
这个解是x=ln(y+-sqrt(y^2-1)
这里呢就有加减号的问题了
我们在刚才这个解中取
其中一个分支作为特解
也就是we take x= ln(y+sqrt(y^2-1)
where y is greater or equals to one
把这个解呢作为反函数的特解
并约定它就是y=coshx的反函数
这个解呢也叫做
the branch of principle values
主值之一
同学们
在这一单元我们学习了
两种重要的常用函数
就是双曲函数与反双曲函数
这部分内容有一点机械死板
但是希望同学们对双曲函数
和反双曲函数的符号以及
它们的定义 图像等等
有一个清晰的印象
并且能够独立地把它们都写出来
同学们 以上就是本讲的内容
我们学习了双曲函数
还有反双曲函数
截至目前我们用了三节课的时间
给同学们介绍了微积分中
常见的各种各样的基本的函数类型
这为我们后面研究函数打下了很好的基础
从下一讲 我们就要开始研究函数的性质
下一讲的内容是
极值与单调性
希望同学们提前预习一下
好的 我们下一节课再见
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-Unit 2 Exponentiations, Logarithms and Sets (指数、对数与集合)
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-Unit 3 Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)
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-Unit 4 Bounds and Completeness (有界性与完备性)
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-Unit 5 Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)
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-章节测验1
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-Unit 1 Limit of a Sequence (数列的极限)
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-Unit 2 Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)
--Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)
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--Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)
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-Unit 4 Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)
--Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)
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--Nested Intervals Theorem and Cauchy’s Convergence Criterion (区间套定理和柯西收敛准则)
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-Unit 2 Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions (代数函数,超越函数与反三
-- Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions(代数函数,超越函数与反三角函数)
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-Unit 3 Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions (双曲函数与反双曲函数)
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-Unit 4 Maximum and Minimum, Increasing and Decreasing (极大值与极小值,单调增与单调减)
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-Unit 8 The Taylor Formula (泰勒公式)
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-Unit 2 Properties of the Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus (定积分的性质与微积分基本定理)
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--Exercise-5-7
-章节测验5
--章节测试5
-课程讲义