The First and Second Derivative Tests (导数判别法)在线视频

同学们 你们好

欢迎来到mooc在线课程微积分

上节课 我们学习了洛必达法则

这是导数的最重要的应用之一

这节课呢

我们要继续学习导数的应用

也就是利用导数值

来判断函数的单调性

和求解函数的极值 最值问题

这就是一阶导数判别法

与二阶导数判别法

通过这部分内容呢

相信同学们会更加深刻的理解导数

及其在解决数学问题中的巨大威力

好的 下面我们从一阶导数判别法讲起

Chapter 4 Derivatives 导数

Unit 7

The First and Second Derivative Tests

导数判别法

Section 1 The first Derivative Test

一阶导数判别法

好的 我们讲一下

什么是一阶导数判别法

请看定理

Theorem 1.1

Assume that f of x is continuous

and differentiable

on the open interval I equals (a,b)

假设某个函数f(x)

它呢在开区间(a,b)上是连续的

可微的 好的

If f prime of x is positive or zero

for all x in I

如果对所有的x

都有f一撇x大于等于零

then f of x is increasing on I

and if f prime of x

is less than or equal to zero

for all x

then f of x is decreasing on I

好啦 看完这个定理

我们马上明白

这个定理想干什么了

它呢 就是

单调升与单调减的判别方法

也就是说

如果导数值处处非负

则函数呢一定是单调增加的

如果导数值处处非正

则函数呢一定是递减的

好的 我们看一个具体的

判别函数单调性的例子

Example

We take the function f of x

equals 3 x to the fourth

minus 4 x cubed minus

12 x squared plus 3

这是一个多项式函数

好啦 我们看一下它的单调性

我们怎么做呢

先找它的first derivative

f prime of x equals

12 x cubed minus 12 x square

minus 24 x

再做因子分解

Equals 12 times x

times x plus 1

times x minus 2

为什么要做因子分解呢

因为做了因子分解

我们就可以看出来

f一撇的符号了

根据f一撇的符号

我们可以看出来

f呢就在-1到0

以及2到正无穷区间呢

是增函数

因为在这段区间上

f一撇是正值的

而在负无穷到-1以及(0,2)之间

f一撇是负值

所以f是递减的

所以这个例子就告诉我们

通过观察f一撇的符号

可以断定f的单调性

接下来

我们讲一个非常重要的概念

就是临界点

英语叫做critical point

Suppose that

f is a continuous function

on a neighborhood x0 minus r

to x0 plus r of x0

假设函数f是x0点的

某个邻域上的连续函数

We call x0 a critical point of f

我们把x0点叫做f的一个临界点

如果

f prime of x0 is zero

or f prime of x0 does not exist

什么意思呢

x0点称作函数f的临界点

如果f在x0处的导数值为零

或者呢它在x0处不可导

关于临界点啊

我们有一个非常重要的定理

它的名字叫做费马定理

Fermat Theorem

Let f from open interval

to R be a function

假设呢某一个函数f

定义在开区间(a,b)上

If f attains

its relative maximum or minimum

at some x0 in (a,b)

假设f

在开区间(a,b)中的某个点x0处

取到了

它的局部极小值或者局部极大值

Then x0 is a critical point of f

那么这个点啊一定是f的临界点

这个费马定理告诉我们啊

f取到的极值点

不管是极大值或者是极小值

这些点呢一定是某一个临界点

换言之

要找极值点在哪里找呢

在临界点中去找

好的 接下来

我们就介绍一阶导数判别法

The First Derivative Test

Suppose that f is a continuous function

on a neighborhood

x0 minus r x0 plus r of x0

还是假设f是x0点附近的

一个连续函数

and x0 is a critical point of f

并且假设x0呢是f的一个临界点

If f prime x is positive or zero

on where

on x0 minus r to x0

什么意思呢

如果f的导数

它在x0的左侧是处处非负的

and f prime of x is less than 0

or equal to 0

on x0 to x0 plus r

而f一撇x

在x0的右侧是处处非正的

这个时候呢

我们可以断定

f(x) has a relative maximum at x0

也就是说

我们断定这个临界点x0

一定是f的局部极大值点

这个定理还没有完

我们接着看 Continued

If f prime of x

is less than or equal to 0

on x0 minus r to x0

and f prime of x is positive or zero

on the other side

then f has a relative minimum at x0

这部分啊和刚才说的那一部分呢

是完全平行的

也是非常容易理解的

它的意思是说

如果f一撇在x0的左侧呢

是小于等于零的

右侧呢是大于等于零的

那么f一定在x0这个临界点处呢

取到局部极小值

好啦

接着看这个定理的最后一部分

Theorem continued

If f prime of x is positive

on the left hand-side of x0

and f prime of x is positive also

on the right hand-side of x0

then f has neither a relative maximum

nor a relative minimum at x0

这句话的意思是说

如果f一撇

在x0的左侧右侧附近呢

都是正值

则x0一定既不是极大值点

也不是极小值点

这段话什么意思呢

意思是说

如果f一撇在x0的左侧右侧

都是取正值的话

那么x0点

既不可能是局部极大值点

也不可能是局部极小值点

那么与之平行的呢

还有定理的另外一部分

就是

If f prime is negative

on the left hand-side of x0

and also negative

on the right hand-side of x0

then this point x0

is neither a relative maximum

nor a relative minimum

所以啊这个一阶导数判别法

的定理呢陈述起来非常得长

它包含了刚才我们说的这几条

那么总结一下

就是说

在f一撇改变符号的地方

一定能够取到极值点

根据改变符号的方式

我们可以判定

这个极值点是极大值点

还是极小值点

好的 我们看一个例子

还是考虑刚才

我们考虑过的那个函数

Again consider the function

which is a polynomial

of fourth degree

这个四阶的多项式函数

好了 对这个函数f of x

我们先找一下它的临界点

怎么找呢

就是求解f一撇x等于零的

这个方程

这个方程啊

前面我们已经见过了

所以呢很容易求出它的根

是x等于-1 0 2

These are the three critical points

of f of x

因为在这些点

f一撇取值为零

它们是临界点

那么它们到底是怎样的极值点呢

这是我们需要判定的

Apply the First Derivative Test

and checking the sign of f prime

near those points

在刚才这几个点呢附近呢

我们要观察一下

f一撇改变符号的方式

那么我们就可以断定

在0处呢

f有一个局部极大值点

在x等于1和2呢

是f的局部极小值点

Section 2

The Second Derivative Test

二阶导数判别法

好的 刚才我们学习了

一阶导数判别法

二阶导数判别法

也是研究极值点的判定的

这个定理是这么描述的

The Second Derivative Test

二阶导数判别法

Suppose that f of x is

twice differentiable at a point x0

and f prime x0 equals 0

假设小f它在x0处

是二阶可微的

而且f一撇x0等于零

这就告诉我们

x0呢已经是一个临界点了

If f double prime of x0 is positive

如果在x0处的二阶导数值为正

then f of x

has a relative minimum at x0

则可以直接断定

x0就是f的一个局部极小值点

类似的

If f double prime of x0

is negative then f of x

has a relative maximum at x0

也就是说

如果f的二阶导数在x0处

是小于零的

那么f一定在x0处

取到局部极大值

这个二阶导数判别法

和前边我们说的

一阶导数判别法的差异

就在这里体现出来了

就是

要断定x0点是怎样的极值点呢

我们并不需要观察

f一撇在x0处附近符号的变化

而是直接看x0点二阶导数的符号

好了 这就是二阶导数判别法

但是呢

有同学可能觉得有疑问了

这里边没有谈到

f double prime at x0 equals 0

这种情况

二阶导数在x0点取值为零

会怎么样呢

这就是我们下面说的remark 2.2

If double prime of f at x0 is 0

then the test is inconclusive

什么意思啊 也就是说

f of x may have a relative maximum

a relative minimum

or neither at x0

这个注解的意思是说

如果出现了

二阶导数在x0处等于零的情况

则二阶导数判别法

无法判定x0的情况

它有可能是极大值点

也有可能是极小值点

也有可能都不是

好的 接下来呢

我们看一个使用二阶导数判别法

来判定极值的例子

请看

Consider the function f of x

equals 3 x to the fifth power

minus 5 x cubed

这个函数啊阶数比较高

如果我们直接去找它的

极大值极小值点是比较困难的

那么怎么做呢

We begin by finding the critical points

也就是说我们先找一下

这个函数的临界点

也就是f一撇x等于零的那些地方

好的我们列一下这个方程

We have f prime of x equals

15 x to the fourth power

minus 15 x squared

equals 0

这个方程很容易求解

它呢可以因子分解

就是 x平方

乘以x加1 x减1等于零

那么它的解的情况呢

就看出来了

the solutions are -1 0 1

也就是说

f的临界点在哪里发生呢

在-1 0 1

好了

接下来我们要用二阶导数判别法

来断定这三个点

是怎样的极值类型

To apply the Second Derivative Test

we need to check the sign

of f double prime of x

at these three points

好的 我们来算一下

f两撇到底是什么

We compute

f double prime of x

equals 60 x cubed

minus 30 x squared

然后再做因子分解

it becomes

30 times 2 x cubed minus x

这样呢我们带入就可以算出

f两撇的符号了

f两撇在-1处取值为负值

f两撇在1处取值为正值

于是 我们可以马上断定

f has a relative maximum

at x equals -1

and a relative minimum

at x equals 1

在-1处f取到局部极大值

在1处f取到局部极小值

那么还有一个点就是0

该怎么断定呢

实际上

这个二阶导数判别法在0处啊

就失效了

为什么呢

因为f double prime at 0 equals 0

The Second Derivative Test fails

所以在0处啊

我们无法用二阶导数判别法

来断定0点的情况

那么该怎么弄呢

Instead we need to apply

The First Derivative Test

这种情况下呢

我们还是要用一阶导数判别法

In fact the sign of f prime

in the interval -1 to 0 and 0 to 1

are both negative

实际上 我们可以算出来

f一撇在0的左侧右侧啊

都是负值 于是呢

x0呢它一定既不是极大值点

也不是极小值点

同学们 以上我们学习了

两个重要的判别法

一阶导数判别法与二阶导数判别法

它们都是非常有力的微积分工具

不仅在数学中 也在其它的科学

与工程计算中会用到这些判别法

来求极值

所以 它们非常的重要

希望同学们课后多多练习 牢固掌握

好的 这节课就到这里

谢谢大家 我们下堂课再见