Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)在线视频

同学们 欢迎来到 mooc

微积分在线课程

目前 我们已经温习了

很多中学的数学知识

今天我们要学一些新的内容

它们是 邻域 开集 聚点 与闭集

这些都是比较抽象的概念

因此希望同学们 在今天

这一讲中 要认真听讲 仔细揣摩

多加思考

好的 我们从邻域讲起

Section One Neighborhoods and Open Sets

邻域与开集

前面 我们复习了很多区间

比如说开区间 半开半闭区间等等

开区间中呢 有一种特殊的开区间

我们把它就做邻域

就是下面我们要讲的

它的特殊性呢 就在于

给定邻域 要指定

它的中心和半径的大小

好 我们看一下它的严格定义

neighborhood 就是邻域

需要给定a点

以后我们把这个a点叫做中心

还有另外一个正数 delta

给定这两个数a与delta

就可以定义什么叫做邻域了

就是这样的集合

such x in R

the absolute value of x minus a

is less than delta

这句话什么意思呢

就是

这样的x 它与a的距离

不超过 delta

这个集合呢

我们就把它叫做a点的delta 邻域

还是用一个图来看一下吧

请看这幅图

在这幅图中

我们标记了

什么叫做以a为中心的delta邻域

如果我们用区间的语言写出来

就直接可以写成这样的开区间

从a减delta开始到a加delta

也就是delta neighborhood

is aspecial open interval

centered at a with radius delta

再往下看

我们还有一个类似的定义

叫做deleted neighborhood

汉语的意思呢就是去心邻域

它依然需要事先指定

中心a in R和另外一个半径

Delta大于0

它的集合描述是这样的

Such elements in R

the absolute value of x minus a is

greater than zero and less than delta

你看这个集合和上面的delta邻域的

定义呢有细微的差异 就在

加了一个条件

就是绝对值要大于0

所以x不能等于a

我们把这个集合就叫做

the deleted delta neighborhood

of the point a

a点的delta去心邻域

我们下面看这幅图

它表示 去心的delta邻域是什么样子

你看这幅图和前一副图的区别

就在于我们把中间的a点挖掉了

用区间的语言写呢 就是

开区间从a减delta到a加delta

但是要去掉中心的a点

因此我们把这样的集合叫做

delta去心邻域

有了邻域和去心邻域的概念

我们还要引出一些其他的概念

比如说 interior point 内点

什么叫内点呢 这是针对于

给定的某个给定集合而言的

假设给定的某个集合S

以及S中的一个点x

if请看这里出现了一个新的符号

是倒写的E 这个倒写的E

读作exist 它的意思是 存在

if there exists

an open neighborhood U of x

这句话的意思是说

存在x的某一个邻域

这里我们没有确定这个邻域大小

只是存在某一个邻域就可以了

if there exists an open neighborhood U

of x such that

整个的 U包含在S中

这个时候我们就叫 x是S的一个内点

we call x an interior point of S

好 我们强调一下

刚才这个符号

倒写的E它表示存在

这个符号我们后面要反复用到

刚才这个interior point的定义

我们可以等价的写出来

就是x是S的一个内点的

充分必要条件是什么

充分必要条件我们在中学的时候

经常用这样的符号来表示

这个在英语中

通常把它读作if and only if

意思是等价或者当且仅当

好 我们说x是S的一个内点

当且仅当 if and only if

按照刚才的definition one point three

是什么呢

意思就是说

存在这样的delta 大于0

使得 整个这样一个delta邻域

以x为中心的delta邻域

包含在S中

这时候我们就把x叫做

interior point 内点

笼统的讲

内点就是集合内部的点

我们明白了什么叫内点的定义之后呢

我们要用它来定义什么叫开集

open set

假设我们有一个实数集的子集S

我们把S叫做一个开集

it is called open if

任意的x属于S

都怎么样呢

is an interior point of S

任意的x在S中呢

都是 S 的内点

也就是说S中除了内点

别无它点

这样的S就叫做开集

好 我们还是强调一下这里头

出现的这个符号

我们以前接触过 它表示

any for all任意的意思

这样的符号我们后面反复会用到

同学们一定要牢记

还有一个要注意的事项

就是 刚才定义中没有提及

这个S是空集的情况

如果S是空集的话

我们也约定它是一个开集

这是符合逻辑的一种约定

好 我们看一个例子

开区间a b

这就是一个典型的开集

因为我们可以画一个图

看出来a b区间中的

任何一个点都是内点

因为它总是存在一个

delta邻域包含在这个开区间中

我们再看

全体实数构成的集合R

它也是开集

这是显然的

我们再看 R中去掉一个点

就是把零点去掉

它呢还是开集

这个呢请同学们想一想为什么

最好 自己在纸上画一下就明白了

好 我们再看一个例子

半开半闭的区间

from a to b where a

is in the interval b is not

这个时候我们说 它不是开集

同学们能想想为什么吗

因为在这个区间中

有一个点它不是集合的内点

谁呢 a

a不是这个半开半闭区间的内点

因为 在a处 你找不到

任何一个邻域使得这个邻域

包含在整个区间中

再看一个例子

S是这样的集合

它是R中去掉所有的

n分之一形式的数

构成的集合

比如说R中要去掉1

去掉1/2 去掉1/3 and so on

这个集合它是开集吗

答案是否定的 它不是开集

要说清楚 为什么这个S

不是开集呢 不是那么容易的

我们需要从定义出发

只要找到S中的那个点

它不是S的内点就行了

也就是说 只要证明S中存在一个点

它不是内点

那么S按定义就不是开集了

那个点是谁呢

同学们想到那个点是什么了吗

可能有的同学 通过

画一张图能够找到那个点

可能有的同学 还是需要

再仔细考虑一下

我建议同学们

在这个地方暂停一下

自己在纸上把这个问题解决

我们这就 暂时不公布答案

Section Two Limit Points and Closed Sets

聚点与闭集

在上一小节我们搞清楚了

什么是开集

那同学们自然就会想到了

既然有开集 那也应该有闭集

要想定义什么是闭集

我们需要先来学习

一种特殊的点

它叫做极限点 也叫做聚点

我们后面可能更多的

用的是聚点这个术语

好 我们先看一下定义

point of accumulation

就是聚点的定义

还是给定一个R的子集S

什么叫做S的极限点呢

比如这个点l

l is called a limit point 极限点

or point of accumulation 聚点

是针对S这个集合而言的

如果 满足这个条件就是

l的任何一个去心邻域

都包含一个或者更多的S的点

这句话 逻辑上有点复杂

请同学们认真地仔细地 揣摩一下

整个这句话的意思

我们给一个例子

S是半开半闭区间 从0到1

其中0是包进去的

1不包进去

如果我们按刚才上面的

聚点的定义

我们找一找S的聚点有哪些

注意这个时候我们找的时候

是 你只要看这个点的

任何一个去心邻域中

是否还包含S的点

那可能有的同学 已经找出来了

那就是从0到1全体数

包括了0到1

整个闭区间中的任何一个点

都是刚才这个集合的聚点

注意其中0也是1也是

我们这里有一个注记

同学们一定要注意

刚才的定义中我们说的

集合S的聚点l

它和S的关系

使用逻辑关系给出了

但是我们要小心

l不一定是S的点

也就是说 S的聚点

不一定一定要在S中

limit points of S

do not have to be elements of S

为什么呢

我们不妨看刚才那个例子

就是说 半开半闭区间从0到1

它的全体聚点在哪呢

从0到1 包括了0 1

马上同学们就看出来了

其中有一个点1 就不在原来集合

半开半闭区间0 1 之中

那么还有一个注记

希望同学们注意一下 就是

elements of S may not be

a limit point of S 什么意思呢

意思就是说 S中的点

也不一定是S自身的聚点

咱们还是看一个例子

来说明这件事情吧

请看 这样一个 example

这样的x属于R

X介于0 1 之间 包含了0

或者x等于2

同学们想一下

它的聚点是哪些呢

如果同学们在纸上画一下的话

可能大概看出来了

它的聚点的全体是 0 1之间

任何一个数 包括了0 和1

但是你看有一个点2

不是刚才这个集合的聚点

因此我们说集合中的点

不一定是集合本身的聚点

同学们现在应该已经明白

什么是聚点了

下面我们要用聚点的概念

来定义相对于开集的另外一种集合

叫做闭集

什么叫闭集呢请看定义 closed set

a set S is called closed

一个集合叫做闭集

满足什么条件呢

if it contains all its limit points

意思就是说 如果这个集合中

包含了它全部的聚点

也就是说

只要是S的聚点就不在别处

一定在S之中

这样的集合叫做闭集

我们看一个例子

比如 闭区间 a to b

它就是闭集 为什么呢

因为这个闭区间它的

全部聚点恰好是它自身

因此它就是闭集

我们再看一个例子

1到正无穷

这个道理跟刚才也差不多

可以说明 它的全部聚点

也恰好是从1到正无穷包括了1

因此呢它是一个闭集

我们这里有一个注记

空集按通常的约定也认为是闭集

我们再看一个例子 比如说

one a half a third a fourth

and so on

这个集合S它是闭集吗

其实它真的是一个闭集

要想说清楚这件事情

需要我们套用一下定义

我们要说明什么呢

我们要说明这个集合S的

全部聚点都在S中

那它的全部聚点是哪些呢

can you find all the limit points of S

可能有的同学已经找到了

实际上这个集合S只有一个聚点

那就是0

x equals zero is the only limit point of S

要想理解这件事情 希望同学们

认真地 严格的

套用刚才聚点的定义

就可以说明了

好了讲完了什么叫开集 什么叫闭集

那开集和闭集 从名称上

就好像是相对的两种集合

那么他们之间到底有什么关系呢

我们呢 有这样一个定理

这个定理是这样说的 它说

the complement of an open set

is a closed set

开集的补集是闭集

the complement of a closed set

is an open set

闭集的补集是开集

看了这个定理 你马上就明白了

原来开集与闭集为互补的关系

好的我们看一个例子

比如还是刚才这个S

包括了zero and all the numbers

that are of the form one over n

这个我们刚才已经说过了

它是一个闭集

按照刚才这个定理

我们知道S的余集应该是一个开集

但是这个S的余集 到底是什么呢

你能把它写出来吗

我建议同学们 暂停一下

自己试着把S的余集写出来

好的 我们公布一下答案

S的余集是

这样一个比较复杂的集合

它包括了从负无穷到0

以及全体这样的开区间

从n+1分之1 到n分之1

以及从1到正无穷

你看这样的集合 它是开集

但是它并不是简单的开区间

它是一系列复杂开区间的并集

好我们再看一个例子

R这个集合它是既开又闭

空集也是既开又闭

我们再看

R中任何一个有限的集合都是闭集

所谓有限集合就是说

它只由有限个点构成

比如说1个点2个点n个点

这样的集合

我们再看一个稍微复杂的例子

就是Q 全体 有理数集

这个集合它到底是开集呢

还是闭集呢

这个请同学们思考一下

答案是说它既不开也不闭

要想说清楚这件事情

希望同学们能够自己

写一个简短的证明

并不是很困难

同学们 今天这堂课

我们学习了四个新的概念

它们是

邻域 开集 聚点 与闭集

它们都是比较抽象的概念

希望同学们能够仔细揣摩

我们给出的定义和例子

自己 最好也能举一反三

深入的领会

下堂课 我们还要学习一些

比这更加抽象的内容

因此 我还是请同学们

提前预习一下 下一节的内容

好的同学们 下堂课再见