Integrals of Elementary Functions and Integration by Substitution (初等函数的积分，换元法)在线视频

同学们 你们好

欢迎来到mooc在线课程微积分

在之前的课程中

我们已经基本了解了

积分与微分之间的关系

总结成一句话就是

定积分问题可以归结为

不定积分问题

因此 从现在开始 我们就重点研究

求不定积分的各种方法与技巧

在这一节中 我们先来介绍一些

常见函数的不定积分

这构成我们要讲解的第一部分内容

就是不定积分表

另外 我们要介绍一种

最基本的积分方法 换元法

首先我们要讲的这个不定积分表呢

给出了我们常见的

函数类型的不定积分

这是一切积分计算的基础

换元法的目的呢

也是把复杂问题转化成

不定积分表所涵盖的积分类型

所以呢 一定要掌握

这一章不定积分表

好的 下面我们就一条一条的

来看一下这一章不定积分表

Chapter 5 Integral 积分

Unit 3

Integrals of Elementary Functions

and Integration by Substitution

初等函数的积分以及换元法

Section 1

Integrals of Elementary Functions

初等函数的积分

同学们

前面我们求导数的时候呢

总是从那些最简单常见的函数出发

那么我们现在要求积分了

我们说 定积分的问题

划归成不定积分的问题

求一个函数的不定积分

我们也是要从

最简单的函数出发

先找到那些

常见的函数的不定积分

因此 下面我们要给同学们

讲一个不定积分表

这里边就会给出相当一部分

常见函数的不定积分的结果。

请看下面的内容

好的在下表中

我们总是假设C是某一个常数

那么请看

the indefinite integration

of u to the n’s power

is u to the n plus one over

n plus one

plus constant C

也就是说u的n次幂的不定积分

我们统一地给出了这样一个式子

这个式子当然同学们可以

检验一下它的确是对的

但是我们要小心

这里头出现了分母n+1

因此n一定不能等于-1

换言之 u的-1次方

也就是u分之1的这个函数

我们还没有给出它的不定积分

那么u分之1不定积分是什么呢

这就是我们下面这个公式 它是

lnu+C

好的 接下来我们来看

a to the u’s power

它的不定积分是什么呢

实际上是a^u/ln a

当然这里强调一下

a是一个大于零的数

and a is not one

好的我们再往下看

特别的 上述公式中

取a等于e

就会变得简单

也就是e的u次幂

的不定积分

就是e^u

上面这些公式非常的常用

所以同学们一定要要牢牢记住

下面呢

我们也要讲一些非常常用的

三角函数积分

也是要求同学们牢牢记住的

请看

the indefinite integral of sin u is

minus cos u plus C

while cos u

it’s indefinite integration

sin u plus C

sin和cos的不定积分

特别的常用

一定要记住了

再看 tan u

the integration is lnsec u

or can also be written as

minus lncos u plus C

注意啊

我们这里给出了tan u的不定积分

但是我们用了两个不同的式子

这两个不同式子中

都带着一个C

这并不表示这两个式子中的C

是同一个C

实际上它们两个是不同的C

同学们要自己检验一下

为什么这里可以这样写

类似的 我们有

cot u

the indefinite integration is

lnsin u

and sec u

the integration is

lnsec u + tan u

以及csc u的不定积分

是csc u - cot u

总之呢

这些简单的三角函数的原函数

就是通过这个表给出来

同学们最好自己亲自去验算一下

我们这里就不逐条计算了

好的

我们再看一些其它的三角函数的

不定积分

sec u square

the integration is tan u

while csc u square

integrates to minus cot u

and sec u times tan u

integrates to sec u

and ssc u times cot u

integrates to minus csc u

好的 这一屏中

我们看到的这些公式

可能不是那么容易记忆的

那么同学们熟悉它就可以了

将来我们用的时候查表即可

与三角函数类似的

也有双曲函数的积分表

我们来看一下

请看 sinh u

它的不定积分是cosh u

类似的 cosh u

integrates to sinh u

and tanh u

integrates to ln cosh u

coth u

integrates to lnsinh u

and sech u

integrates to arctan(sinh u)

好的另外呢

还有一些其它的双曲函数的

不定积分表

我们这里就不逐条给

同学们解释

同学们只要自己课后把它

验算一遍就可以了。

好的

下面我们再看一些

稍微复杂一点的积分表

好的 我们看一下

根号下a平方减u平方分之一

这个函数的积分结果

同学们一定要记住

它可以写成

arcsin u除以a

也可以写作-arccos u除以a

当然这里边同时出现了两个C

这两个C实际上是不一样的C

特别的 如果a取成了1

我们就有这样的式子

the integration of square root one

over one minus u square is arcsin u

plus C or minus arcos u plus C

我们再看

跟刚才这个不定积分公式

非常相近的呢

是下面这个

同学们要小心它们的差异

请看

the integration of one over square root u

square plus or minus a square

它的积分结果是

lnu+sqrt(u^2+-a^2)+C

注意这两个公式千万不要混淆

In particular, if a = 1

我们还有一个特别的公式

这个公式

同学们也要牢牢记住

另外我们要注意这样一个式子

就是

one over u square plus a square

注意这个跟前面式子差异

就是不带根号

那么它的结果是

one over a arctan u over a plus C

当然也可以写作

minus one over a arccot u over a plus C

这两个式子都可以

In particular, if a = 1, we have

the integration of one over

u square plus one

equals arctan u

or minus arccot u

还有一个跟它相仿的是

u平方减a平方分之一

这个积分结果我们这里也列出来

同学们可以自己把它验算一下

以及特别的a=1的时候的情形

好的以上这些公式

同学们最好自己把它牢牢记住

而下面我们要列的公式

只需要同学们自己验算一遍

就可以了

我呢就不给同学们逐一地念了

同学们自己用笔去验算一遍

就能够熟悉它们

以后我们查表的时候

也非常快的

能够找到这些公式的位置

好的我们快速地浏览一下这些公式

同学们 上面这个积分表

我们并不要求同学把

所有的公式都背下来

但是其中几个非常重要的呢

一定要牢牢记住

后面呢

我们要做一些比较多的练习

通过练习我们就会掌握

使用积分表的方法

Section 2

Substitution of Indefinite Integrals

不定积分换元法

同学们

前面我们已经学习了

微积分基本定理

明白了定积分要转化成

不定积分的计算

而不定积分我们已经掌握了

一个不定积分表

但是面对着一个具体的函数

通常直接在积分表中

找不到这个函数

那么怎么办呢

一个特别常用的方法就是换元法

可以把函数转化成

我们能够在积分表中

找到的那个函数

好的 我们看一下换元法的定理

它是这么说的

If u = g (x) is differentiable

and f (x) is continuous

假设u关于x是可微的

而f是连续函数 then

请看 这里有一个不定积分

这个不定积分

是关于x的函数

而这个函数呢

是f复合g乘以g’(x)

好的

这个不定积分怎么做呢

换元法 怎么换呢

换u=g(x)

做了u=g(x)的替换之后

原来的不定积分就转化成了

这样一个积分 请看

这积分呢是f(u)du

也就说它是关于f(u)的不定积分

的结果再代入

u=g(x)

这个式子其实很容易验证

直接使用链式法则就可以了

好的 下面我们看一下

一个具体例子

来使用这种换元法求不定积分

Example 2.2

现在我们面对的是这样一个

不定积分

这个不定积分

在积分表中是找不到的

那么怎么做呢

我们先把它换一个样子

请看 把它换成了

cos (x^4+2) times x^4+2

and then take derivative

times dx

注意前面还多了个4分之1

这样才能保证它是一个等式

现在面对右边这个式子

我们可以直接做替换

做哪个替换呢

u= x^4+2

而原来的积分呢

直接就是cos u的不定积分

而cos u的不定积分

我们知道它是sin u

当然还要加一个C

前面有一个4分之1呢

我们不能把它丢掉

注意 到此为止

并没有得到最终的结果

还要代入原来的替换

就变成了

1/4sin(x^4 + 2) + C

注意啊

不定积分最后一定还原回去

变成x的函数

好的请看下一个例子

consider the integration of 2x plus one

这怎么做呢

很简单

我们把它换成另外一个不定积分

只要做这样的替换

u = 2x + 1

这里呢

我们省略了一些步骤

同学们自己把它填充出来

好了 化到这一步呢

我们立刻就可以直接套用

不定积分的公式了

就是套用u的n次方的

不定积分的公式

直接算出来

就把它看成u的2分之1次方的

不定积分

直接算出来的结果

当然我们还要再替换回去

就得到最终的结果

好再看一个例子

现在我们要算tan x

当然这个tan x

其实我们前面

有它的积分表中的公式

假设我们忘掉了

该怎么办

我们用换元法来求一下

请看

tan x is sin over cos of course

那么现在该怎么做替换呢

把它换成du/u

这里u呢就是cos x

当然这么一替换会多一个负号

同学们要小心

到这里直接可以积分了

就是lnu

当然最后再替换回去

就是lncos x

同学们可以对比一下

我们积分表所给出的那个结果

通过上面三个例子

我们应该对换元法的流程

大概明白了

这个过程其实不是很复杂

但是一定要小心系数

符号这些细节

Section 3

Substitution of Definite Integrals

定积分换元法

同学们

前面我们学了不定积分的换元法

对定积分呢

换元法是差不多的

但是要小心在替换过程中

上限下限也要跟着走

好 我们看一下为什么

我们把这个定积分换元法

总结成一个定理

if g is differentiable over

closed interval [a,b]

and g prime is continuous over

closed interval [a,b]

and f is continues

on the range of u = g (x)

这里头我们一口气说了三个条件

同学们自己把它仔细地解读一下

好了

then we have this formula

the integration of f composed

with g(x) times g prime of x dx

注意这个样子

就跟我们前面做

不定积分的替换的时候的样子

差不多了

只是这里是定积分

有上下限a,b

这个积分呢 可以做替换

替换成f(u)的定积分

注意

它的上下限也要跟着换了

换成了g(a) g(b)

这就是定积分换元法

定积分换元法

并不需要把函数替换回去

也就是说把u=g(x)

替换回去

但是一定要把上下限

做相应的替换

请看这个例子

the integration of one over three

minus five x square over one to two

好怎么做替换呢

很简单

做这样的替换

u= 3 - 5x

注意我们这里一口气换到底了

在换的过程中

要小心出现的一些常数的倍数

以及上下限的替换

这个计算细节

我们就不重复了

到现在这个样子

马上就可以直接做定积分了

因为 u平方分之1

可以利用前面我们讲过的

幂形式的不定积分的基本公式

去找到它的原函数

也就是U分之1

好的

现在我们直接替换上下限

做差 就能够得到结果 1/14

好的 再看一个例子

the integration of ln x over x

over the interval one to e

这个怎么做替换呢

很简单

我们做u=ln x

这个替换

于是它马上变成了u du的样子

而积分限也要跟着换

换成0 1

这个时候我们可以直接算出结果了

非常的简单结论是2分之1

好的 我们再看一个简单的例子

这个例子我就不给同学们

做仔细的解释了

同学们自己可以看着我们的讲义

明白其中的每一个步骤

最好自己再实际操作一遍

就可以了

好的 通过这三个例子呢

同学们对定积分的换元法也明白了

但是我还是要提醒同学们

做替换的时候呢

一定要认真地检查系数的变化

上下限的变换

千万不要漏了其中某一项

否则最后的结果就是错误的

同学们 以上就是这一讲的全部内容

我们主要介绍了一些

常用函数的不定积分

也就是常用函数不定积分表

希望同学们结合以前我们学过的

导数表来学习这部分内容

另外呢 希望同学们在课后

对其逐条的推导一下

我们还学习了简单的换元法

这个方法同学们应该很快就能学会

但是 一定要在课后多多练习

才能够熟练的掌握巩固知识

好的 这节课就到这里

同学们 我们下节课再见