Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)在线视频

同学们 你们好

欢迎来到mooc在线课程微积分

在前面学习极限的时候呢

我们接触到了一种特殊的极限

就是无穷大 与之相应的呢

也有无穷小的概念

这就是我们这节课的重点

无穷小量与等价无穷小量

同学们 所有的数学理论

都是建立在正确 完整

合理的定义基础之上的

因此 我们要想学好微积分

一定要从掌握定义

这么一张入场券开始

下面 我们就定义

什么叫做无穷小量

Chaper3 Functions, Limits and Continuity

函数 极限与连续性

Unit 11 Infinitesimals and Bounded Quantities

无穷小量与有界量

Section 1 Infiniticimals无穷小量

同学们

我们先从无穷小量的定义讲起

Definition of Infinitesimals

Assume that f is defined

in a deleted neighborhood of a

假设f在a点的某个去心邻域内有定义

and if limit of f(x)

is zero as x approaches a

如果x在趋近于a的时候f的极限是零

then we call f is an infinitesimal

我们就把f叫做一个无穷小量

或者infinite small quantity

也就是说我们把极限为零

这种特殊的函数

就叫做一个无穷小量

And we write f(x)等于o(1)

这个符号同学们可能以前没有见过

读作f(x) equals little o of one

这个小o(1)在英语里读作little o one

或者呢写成f(x) belongs to little o one

这种符号的含义是非常明确的

就是表示f 在某个极限

as x approaches a的时候它的极限为零

当然 这个小o1这个符号

它实际的含义是什么呢

is the set of all such infinitesimals

也就是说小o1实际上它是一个集合

就表示全体这样

在a处极限为零的函数的集合

好 注意

naught f may not be defined at x equals a

也就是说所谓无穷小量

通常我们并不要求f在a那个点有定义

如果有定义的话

并不影响它是否为无穷小量

So here is an example

sin(x) is infinitesimal as x approaches zero

sin(x)它就是零点的一个无穷小量

类似的x square还有呢

exp(-1/x^2)

这三个函数它们都是

在x趋近于零的时候的无穷小量

当然最后一个例子稍微有点复杂

希望同学们呢自己仔细的思考一下

为什么它是一个无穷小量

同学们

刚才我们看到了无穷小量的定义

但是呢 无穷小量有很多很多

它们之间呢千差万别

比如说x 自己就是一个无穷小量

x的平方呢 它是x乘x

当然趋近于零的速度更快

它也是无穷小量

那么两个无穷小量之间

怎么比较这个趋近于快慢呢

这就是我们下面要引入的一个定义

Definition 1.3 Assume that f and g

are defined on a deleted neighborhood of a

还是假设f, g

在a点的某个去心邻域中有定义

if limit of f over g

as x approaches a is zero

如果f除去g这个新的函数

在x趋近于a的过程中极限是零 那么

we say that f is dominated by g near a

我们称f是被g掌控的一个量

In such a case这种情况呢

we write f belongs to little o(g)

or f equals little o(g) as x approaches a

这个符号与我们之前写的

小o(1)的符号非常类似

但是这里我们强调

f这个量它是被g所控制的

is dominated by g

而这里的这个小o(g)

它和刚才这个小o(1)的符号差不多

它表示

the collection of all such f that is subject to

the condition that limit f over g

equals zero as x approaches a

好的 我们看一个典型的例子

example 1.4

在这个例子中我们先考察这样的极限

limit as x approaches zero one minus

cos(x) divided by x

考虑1减去cos(x)除x这个极限

注意这个分子实际上是可以写开的

也就是两倍的sin平方x/2

到这个程度呢

同学们自然可以找到它的极限了

极限当然是零了

所以呢根据这么一个事实呢

我们马上可以说one minus cos(x) equals

little o(x) as x approaches zero

也就是说1-cos(x)趋近于零的速度

比x趋近于零的速度要更快

好的我们再看一个例子

example1.5

consider limit again x approaches zero

分子呢是tan(x)-sin(x)

分母呢是x平方

好的我们看一下它的结果是什么

我们把这个式子分解成两部分

一部分是sin(x) divided by x times cos(x)

另一部分呢是1-cos(x) divided by x

这个当然是恒等变形

好的我们来观察一下

这个结果呢是零

为什么呢

因为1-cos(x)除x这部分已经趋近于零了

而前面有一部分是sin(x)/x这个趋近于1

而cos(x)在x趋于0的过程中

实际上是趋于1的

因此整体极限趋于零

这个同学们应该能够

自己想明白为什么

好的 至此我们就可以说

we have tan(x) minus sin(x)

equals little o(x) square as x approaches zero

也就是说tan(x)减去sin(x)

趋于零的速度

比x平方趋于零的速度还要快

Section2 Bounded Quantities有界量

同学们

上一小节中我们引入了小o 这样的语言

但是小o(f)小o(g)这种东西它并不能够

表述所有的无穷小量之间的比较关系

比如说2x是一个无穷小量

x也是个无穷小量

2x除x的极限是一个有限的数 2不是0

所以我们没法表述2x和x之间的关系

为此我们需要引入一个新的语言

就是下面我们要引入的有界量的概念

Definition2.1

bounded quantity有界量

Let f be a function defined in a deleted

neighborhood U of a

假设f呢还是在a点的

某个去心邻域中有定义

if there exists some m which is positive

and δ, which is positive again

such that the absolute value of f(x)

is bounded by m for all x in U intersect

with u a minus δ and a plus δ

这句话什么意思呢

意思就是说

f在a点的附近它是有界的

这种情况下呢

we call f a bounded quantity near a

我们把f叫做

a点附近的一个有界量

and write f(x) equals big O(1) or

f belongs to big O(1) as x approaches a

注意这里的O呢是大写的O

我们把它读作大O

大O1 这就表示

全体满足刚才这个有界性条件的f

这个原理跟我们刚才讲过的

小o1的情况非常的相似

这样的符号同学们要熟记它们的含义

好的我们接下来看另外一个定义

definition 2.2 assume that u(x)

v(x) both are functions near a

but not necessarily at a

还是假设uv是两个定义在a附近的函数

if u over v is defined

in a deleted neighborhood of a

假设u除以v在a点的临近也是有定义的

and u over v 这个函数它是个有界量

it belongs to big O(1)

这个时候we say that u(x) is bounded

by v(x) as x approaches a

and denote this fact by u(x) belongs to

big O v(x) or u(x)

equals big O v(x) as x approaches a

也就是说如果u除去x

还是个有界量的话

我们就用这样的大O(v)

来表示它们之间的关系

同学们 刚才这个定义中

我们引入了这样一个概念

就是u(x) is bounded above v(x)

汉语叫做u(x)的界是v

也就是说u以v为界bounded above by v(x)

好我们看一个具体的例子

example 2.3

we naught that x times sin(1/x)

and x are both infinitesimals

as x approaches zero

注意到x乘以sin1/x和x这两个函数

都是x趋近于零过程中的无穷小量

但是它们两个相除

x times sin(1/x) divided by x

它的结果总是被1所控制

也就是它的界是不会超过1的

thus we can write x times sin1/x equals

big O(x) as x approaches zero

也就是说x times sin(1/x) is infinitesimal

which bounded above

by another infinitesimal x

section 3

Equivalent infinitesimals

等价无穷小量

同学们

在数学中我们注意到

特别重视各种各样的关系

特别是相等的关系

我们现在要引入一个跟相等差不多的关系

它叫做等价无穷小

好的请看定义

Definition 3.1

assume that f, g are in little o(1)

也就是说假设f, g是两个无穷小量

as x approaches a

if limit f over g as x approaches a is one

如果f除以g在x趋近于a的时候

极限恰好是1的话

we say that f and g are

equivalent infinitesimals

我们称f, g是等价的无穷小量

In this case, we write f(x) same g(x)

注意中间这个符号把它读作same

也可以读作similar

它实际上就是中学时候我们见过的

那个相似那个符号变形过来的

所以通常我们把它读作same

f(x) same g(x)

as x approaches a

注意这里f, g是两个不一样的无穷小量

因此我们不能说它们两个是相等的关系

只能说它们两个是等价的关系

好的 我们看一个典型的例子

example3.2

the fact that sin(x) over x as x approaches zero

the limit is one

sin(x)除x在x趋近于0的时候极限是1

这是我们熟知的情况

所以呢 根据刚才定义

我们说什么呢

说sin(x) 和x是等价的无穷小量

sin(x) same x as x approaches zero

同学们我们有这样一个注记

刚才我们引入这样的符号

小o大O还有等价

the notation little o

big O and same should be used

in the same limitation

if they appear in the meantime

如果在同一件事情中

我们提到了小o 大O 还有等价

那么我们通常指的是

在同一个极限过程中

如果是不同的极限过程的话

一定要强调在什么情况下

是有这样的关系

So we should add the mark as x approaches a

to emphasis the limiting process in necessary

好的同学们

现在呢我们给出一些

常用的等价无穷小量

here is account of common

use of equivalent infinitesimals

以下所列的这一些等价无穷小量

都是指在x趋近于零的过程中

等价无穷小量 请看 第一个

sin(x) is equivalent to x

这个我们刚才已经讲过

再比如tan(x) is equivalent to x

and exp(x)-1 is equivalent to the x

这三个无穷小量

是非常基本的无穷小量

当然第二个和第三个呢

其实证明起来都不难

实际上只要用定义套用一下就可以了

再看1+x^p-1

这个当x趋近于零的过程中

当然是趋近于零的

它呢和px是等价的无穷小量

这里的p是指数

是一个事先给定的常数

这个证明需要我们做一些等价的变换

把极限变成另外一个极限去证明

所以希望同学们在课后完成这个

1+x^p-1 is equivalent to px

这件事情的证明

再看1-cos(x) is equivalent to x^2/2

这件事情证明起来

需要我们同学们

用cos(x)的一些三角函数的性质

这个证明也不是很难

最后我们看一个

ln(1+x) is equivalent to x

all the above are equivalent infinitesimals

as x approaches zero

这里我们列出了

一共有六个等价无穷小量的关系

这些都是非常常用的等价无穷小量

希望同学们牢牢把它们记住

等价无穷小的函数在极限的过程中

是经常做替换的

所以对于复杂的求极限的过程中

我们经常要做这样的替换

我们来看一个典型的例子

Example find such a limit

请看这个极限

这个极限的函数非常的复杂

但是我们注意到

这些函数关系是怎样的呢

是乘 除这样的组合来的

因此凡是乘除过程中

我们都可以用等价无穷小量的替换

来达到我们简化计算过程的目的

请看过程

The above sin(x) square times ln one plus

tangent x times one over one

plus x cubed square minus one

这么长的一个公式

我们一点一点来做等价替换

首先把sin(x) square

等价替换成x square

因为sin(x) 等价于x

然后呢ln(1+tan(x))

可以替换成tan(x)

最后(1/1+x^3)^2-1

我们也做了等价替换

变成了两倍的x三次方

这里刚好就用到了

我们前面提到的几个等价关系

好的这还没完 我们接着做

注意tan(x)

它呢又可以等价成x

于是再做一次替换以后

化简就变成了二分之一

于是我们可以断定

the limit is just a half

上面这个极限结果就是二分之一

从这个例子中我们可以看出来

等价无穷小的替换

可以非常大地帮助我们

简化计算的过程

这样的方法我们后面还会用到

希望同学们通过课后的练习

牢牢掌握

同学们 第三章的内容

到这里就结束了

这一章中 我们学习了很多很多的知识

下面呢 我们一起整理一下

首先 我们定义了什么是函数

接下来 介绍了各种各样

基本的函数类型

然后学习了函数的极值与单调性

本章的重点是函数的极限

由极限 我们引出了连续性

总之 这里边是环环相扣

逻辑线索非常的清晰

希望同学们在课后再复习巩固一下

下一章 我们将开启

微积分中微的部分

也就是导数与微分

希望同学们能够提前预习一下

好的 我们下一章再见