Infinity (无穷)在线视频

同学们 你们好

欢迎来到MOOC在线课程微积分

上一节课我们讲了

函数在特定点的极限这个概念

其实关于极限

还有另外两种特殊的情形

一种就是

函数在无穷远处

趋近于某个特定的极限

还有一种 是函数在某个特定的点

趋近于无穷大

这两种无穷

都是微积分中非常重要的概念

希望同学们认真学习

多加思考 举一反三

好的 我们先讲一下

函数在无穷远处的极限

Chapter 3 function limits and continuity

函数 极限 与连续性

Unit 6 infinity

无穷

Section 1 limit of functions at infinity

无穷远处的极限

同学们

前一节我们讲的函数的极限

都是只在某个特定的点

的临近而言的

不管是极限以及单侧极限

都是这样的

而下面我们要讲的这个极限呢

是发生在无穷远处的

函数行为的描述

这个定义类似于我们前面讲的

序列函数极限的定义

请看下面给出的严格定义

Sometimes we will need to examine

the behavior of function f of x

when x increases or decreases

without bound

which is written as

x approaching minus infinity

or x approaching plus infinity

respectively

因为我们有的时候呢

是需要考虑x越来越大

或者是越来越小的时候的行为

这时候呢 要考虑它的极限

而这个时候通常写成

x is approaching minus infinity

表示x越来越小 小到负无穷

以及x approaching positive infinity

也就是x趋近于正无穷的情形

好 请看我们的定义

Definition 1.1

Let f be defined on a to positive infinity

假设f呢在从a到正无穷的

这样的开区间中呢

都有定义

and L in R be given

又假设给定了另外一个数L

We say that the limit of f

as x approaches infinity is L

我们说 当x趋向于无穷的时候

f的极限是L

denoted by limit as x approaches

positive infinity f of x equals L

用这个记号来表示

刚才说的这句话

或者呢

x approaching positive infinity f of x equals L

注意这个第二个记号中

这个加号呢 可以省略

也就是说我们写x趋近于

正无穷或趋近于无穷呢

实际上都表示的是

x趋近于正无穷

如果满足什么条件呢 请看

if for all ε positive

there exists some S

which is bigger than a

such that for all x bigger than S

we have the absolute value

of f of x minus L

is less than ε

也就是说 对任意的ε大于零

存在着某个充分大的数S

当然呢已经要求它大于a了

使得对任意的x大于S

我们都有

f of x减去L的绝对值呢 比ε小

这个定义啊

和我们前面讲的序列极限的定义

非常的相像

只是呢前面

我们的变量呢是离散变量

也就是n

现在呢是这一个连续变量

也就是x

好 我们这里呢 给出了一幅图

来表示f

在无穷远处的极限的含义

请看

这里呢 我们从a到正无穷的区间上

f都是有定义的

L是事先给的一个数

我们说

limit as x approaching positive

infinity f of x equals L

如果什么呢

如果对任意的ε大于零

存在着某一个大S

使得当x比大S大的时候呢

这个函数图像呢

都夹在了这样一条窄带中

也就是f of x减去L的绝对值呢

要小于ε

Similarly the limit of a function f

as the independent x approaches

negative infinity

is defined as below

类似的呢 我们可以定义

所谓x趋近于负无穷的时候

f的极限

它和刚才

x趋近于无穷的时候的极限呢

非常的相像

只是要求x越来越小

请看定义

Let f be defined on minus infinity to a

假设f呢在从负无穷到a的

某个开区间中有定义

and L in R is given

We say that the limit of f

as x approaches negative infinity is L

我们称 当x趋近于负无穷的时候

f的极限是L

denoted by limit x approaching

minus infinity

f of x equals L

用这样一个符号来表示这句话

如果满足什么条件呢 请看

if for all ε positive

there exists some S less than a

存在着某一个比a还小的数S

使得任意的x小于S

for all x which is less than S

we have

the absolute value of f(x)

minus L is less than ε

这个定义啊 和刚才这个

当x趋近于正无穷的情况呢

是完全类似的

所以呢 这里呢

就不做特别的解释了

当然呢 我们可以用这样一幅图

来表示刚才这个定义中

所描述的函数的行为

好 同学们

我们看一个非常典型的例子

Example 1.3

在这个例子中啊 我们取谁呢

取arc tangent这个函数

当x趋近于正无穷的时候

arc tangent of x

它的极限呢实际上是二分之π

但是 当x趋近于负无穷的时候呢

它的极限

实际上是负的二分之π

这个事实啊我们可以

通过函数图像观察出来 请看

这就是y equals arc tangent of x的图像

当x趋于正无穷的时候

它的确是越来越贴近于二分之π

当x趋近于负无穷的时候 它呢

也是越来越贴近于负的二分之π

好 我们再看一个例子

limit as x approaching positive infinity

one plus two x over x

这个函数的极限是多少呢

实际上 这个极限啊 结果是2

这个呢 同学们可以自己画一幅图

来理解一下为什么这个极限是2

也可以呢 把这个函数呢 化简一下

来观察出它的极限就是2

好 再看一个例子

limit as x approaching negative infinity

e to the x power

当x趋近于负无穷的时候

这个指数函数 它的极限是多少呢

实际上 它的极限呢 是零

这个呢也需要我们

通过观察函数图像来理解

so the reader is suggested to plot graphs

of these functions to see these facts

Example 1.6

请看这个例子

这个例子呢 稍微复杂一点

我们要求的是

当x趋近于无穷的时候

three x square plus five x minus three

over five x square minus seven x plus five

这样一个函数的极限

这个函数的样子啊

稍微有点复杂

但实际上呢

我们可以把它化成另外一个样子

就容易看出它的极限了

请看

上下呢同除了x平方

那么 这个函数呢就变成了

three plus five over x

minus three over x square

over five minus seven over x

plus five over x square

化成这个样子中 我们看到

当x趋近于正无穷的时候

有很多项啊是越来越趋近于零的

例如 x分之五 x平方分之三 等等

那么我们可以看出

那些趋近于零的项呢

就越来越小

以至于它们在函数的贡献呢

就越来越小了

所以呢我们说它的极限

最后啊实际上是五分之三

我们再看一个例子

Example 1.7

For the function

f of x equals square root x plus one

minus square root x minus one

对于这个函数 我们能否找到

它在x趋近于正无穷的时候

它的极限呢

实际上这个极限的结果呢是零

这是为什么呢

can you figure out the details of this fact

这件事情啊

我们就不在课堂上

做更细致的解释了

希望同学们呢

仔细地推导一下这件事情

Section 2 Infinity

无穷大

同学们 上面呢

我们所讨论的这些极限啊

不管是一个点的左侧 右侧

以及该点的极限

还是无穷远的极限 负无穷的极限

等等呢 都是某个确定的实数

但是有一些函数啊 比如

y equals one over x square

也就是x平方分之一这个函数呢

它在零处 它的极限是多少呢

通常而言啊 这个极限呢

它是不存在的

但是这个函数值

它是越来越大 越来越大

因此呢 我们在数学中

要引入另外一种概念

也就是无穷的概念来表示这种趋势

we know that one over x square

is not defined at zero

here is the figure of one over x square

这里呢 我们画了 x平方分之一

这个函数的图像

注意这个函数在零点

是没有定义的

但是我们可以看出来

当x趋近于零的时候呢

这个函数呢是 函数值越来越大

以至于在这幅图中呢

我们没有办法把函数的图像画全

We can read from the figure that

one over x square increases

without bound when x approaches zero

同学们 在这个例子中啊

当x趋近零的时候呢

函数值呢

并不趋近于一个确定的实数

但是呢是越来越大 越来越大

以至于可以大于

任何一个给定的实数

这时候呢 函数在这个点的极限

当然是不存在的

我们需要引入无穷这个概念

来描述这种现象

这就是下面我们要来定义的无穷

Definition

Assume that f is defined

in a deleted neighborhood U of c

假设f呢

在c的某一个去心邻域中有定义

We say that f of x tends to positive infinity

也就是正无穷

也叫作 plus infinity

at c

if 满足这样的条件

for all M positive

there exists some δ positive

such that for all x in c minus δ c plus δ

intersects with U

也就是说对任意的x

只要它距离c的距离呢不超过δ

而且这个x呢

还在原来定义域U中

这时候我们要求

We have f of x is bigger than M

f(x)比M大

如果整个这个条件成立呢

我们就叫作

f在c处呢趋近于正无穷

in such a case we write

limit as x approaching c

f of x equals plus infinity

这个符号啊

它是一个非常特殊的记号

它表示x在趋近于c的时候

f的值是没有上界的

它趋近于正无穷

但是这个符号呢

并不表示f呢在c处呢有极限

实际上这个极限是不存在的

这点呢同学们要特别注意

好 我们看一个例子

limit as x approaches zero

of one over x square

这就是我们刚才这个图中

所展示的这个函数

当然我们可以说

这个极限呢是正无穷

尽管我们说它的极限是正无穷

实际上它的真实极限是不存在的

说它极限是正无穷呢

是以一种数学语言来

描述这种特殊的情况

再比如

limit as x approaches one

one over x square minus one square

这个极限呢 也是正无穷

类似的

我们可以定义什么叫作负无穷

Similarly we can define negative infinity

So called minus infinity

下面就是这个定义

这个定义呢跟刚才这个

正无穷的定义啊是完全相仿的

Assume that f is defined

in a deleted neighborhood U of c

We say that f of x tends to

negative infinity at c

If for all M positive

there exists some δ positive

such that for all x in c minus δ c plus δ

intersects with U

We have f of x is less than minus M

整个这句话的意思就是说

对任意的M大于零

我总能找到某一个δ大于零

只要x距离c的距离呢

不超过δ

并且x在定义域U中

我们就有f的值呢

比负M还要小

in such a case we write

limit as x approaches c

f of x equals minus infinity

我们再次强调一下

这是一个数学记号

它有点像以前我们写极限的方式

但是它并不表示

x趋近于c的时候

f是有一个特定极限

实际上这个特定极限是不存在的

好我们看一个例子

limit as x approaches zero

ln the absolute value of x

这个极限 它就是负无穷

再比如

limit as x approaches zero

one over cosine x minus one

这个极限 也是负无穷

同学们

我们有这样一个重要的注记

就是

there are analogous definitions

of the situation that

x approaching c minus

or say approaching c plus

也就是说当x趋近于c

从左侧或者从右侧的时候呢

也有类似的定义

所谓的负无穷 正无穷的情形

这个呢 跟刚才我们定义完全相仿

需要同学们呢

自己去给出严格的定义

我们来看几个例子吧

examples

limit as x approaches half of π

from negative side

当x从左侧趋近于二分之π的时候

the limit of tangent of x是多少呢

实际上它是正无穷

但是呢 从另一侧

the limit of tangent of x as

x approaches half of π

from positive side

也就是从右侧趋近于二分之π的时候

这个tangent x 它的极限

实际上是负无穷 minus infinity

这里呢 我们画了一下

tangent of x在零与π之间

这个函数的图像

注意这个函数

它在这个二分之π处

实际上是没有定义的

它呢从左侧和右侧

趋近于不同的无穷

从左侧呢趋近于正无穷

从右侧趋近于负无穷

这就是刚才这个例子中的

数学表达式所表示的含义

我们再看一个例子

consider the function f of x

equals e to the x power

也就是指数函数e x

我们说

the limit of f of x as

x approaches minus infinity

这个指数函数

当x趋近于负无穷的时候

它的极限呢 是零

这个我们前面已经提过了

但是呢

the limit as x approaches

positive infinity f of x

它的极限呢实际上是正无穷

同学们 刚才呢我们举了一些

简单的例子

应该说这些例子中的极限呢

并不是特别难理解

只要同学们

充分理解了极限的定义

并且呢

能够仔细地观察函数的形式

还有函数的图像 等等

就能算出来

或者呢观察出来这些极限

但是在实际应用中啊

我们会碰到很多

不能直接观察出来的极限

这个时候我们需要用更多的

理论和方法去求这些极限

这就是我们后面要学习的内容

希望同学们呢

坚持不懈地学习下去

同学们

今天我们学习了无穷这样的概念

我们了解到当自变量趋近于

无穷远的时候 函数有可能

趋近于某一个极限值

也有可能在自变量

趋近于某一个特定值的时候

函数趋近于无穷远

这两种无穷 都是非常重要的

函数极限的概念

在这些极限概念的基础之上

下一堂课 我们将学习

如何求函数的极限

以及一些基本的极限公式

好的 同学们

我们下堂课 再见