Bounds and Completeness (有界性与完备性)在线视频

同学们 欢迎来到

mooc微积分在线课程

今天 我们要学习三项内容

他们是 有界 确界 完备性

这三个概念都有一定的难度

但是我相信同学们只要认真学习

就一定能够搞懂这些内容

好的 我们从有界性谈起

Chapter1 Numbers and Sets 数域与集合

Unit4 Bounds and Completeness

有界性与完备性

Section One Bounds

有界性

再给出有界性的定义之前

我们需要了解一下什么叫上界

什么叫下界

好 我们先看定义

这些定义

我们笼统地都叫做有界的定义

请看 第一

什么叫做一个集合有上界

a set S is called bounded above

如果存在某一个数M

使得任意的x属于S

我们都有x小于等于M

in other words

all the elements in S

are less than or equal to M

也就是说 S中的任何一个点

都不会比M更大

such M is called an upper bound of S

这个M叫做S的一个上界

可以看出S其实可以有很多上界

好 类似地 我们有下界的定义

a set S is called bounded below

有下界 if 存在某一个小m

if there exists some little m in R

such that for all x in S we have x

is great than or equal to little m

也就是说S中的任何一个元素

都要比m大一些或者等于m

这个小m我们就叫做

s的一个下界 a lower bound of S

好 我们最后看一下有界的定义

a set S is called bounded

S叫做有界的 怎么样呢

它既有上界又有下界谓之有界

也就是说 if there exists m and M

注意是little m and big M 怎么样呢

使得所有的S中的元素

都介于这两个数之间

For all x in S we have

x is in between little m and big M

当然x可以等于小m或者大M

好 我们看一个例子

负无穷到1这个集合

就是bounded above 有上界

但是呢 is not bounded below

它无下界

类似地 我们看一个例子

从1到正无穷包括1

它怎么样呢

它是无上界有下界 是吧

好的 我们再看一个例子

sin x for all x in Q 这个集合

它是有界的 为什么呢

因为任意的x带入 sin x

她的值都介于负1与1之间

如果x特别的取成有理数

更是如此 因此这个集合

is bounded 那么这个集合呢

把n取遍全体整数

这样的分式

n plus one over n square plus one

它也是有界的

这个我希望同学们自己推导一下

为什么它是有界的

但是 另一个集合 就是由这个

example one point five 延伸出来的

把刚才例子1.5中的数

全部取一个倒数 你看

就这样的一个集合

n square plus one over n plus one

n 取遍全体整数 但是n不等于-1

它是无界集 is neither bounded above

nor bounded below

既没有上界也没有下界

这个 请同学们最好自己

严格的证明一下为什么是这样

Section Two

Least Upper Bound and Great Lower bounded

上确界与下确界

好的同学们 我们刚才讲清楚了

什么叫上界 下界

但是 同学们可能已经注意到了

给定一个上界

其实比这个上界还大的数

依然是上界

也就是说有很多很多个上界

同样的如果有一个下界

那么比这个下界还小的数

仍然是下界

那么 在这么多上界与下界之中

哪个界是真正有价值的 有意义的呢

这就是下面我们要讲的

上确界与下确界

也就是最小上界与最大下界

好的 我们还是先看一下定义

least upper bound

也就是我们刚才用英文简写的

LUB 上确界

请看它的定义

given a set of numbers S which is bounded above

假设我们现在给了一个

有上界的集合S

好了 对于这样一个S

如果我们能找到某一个数

big M underline

请看这个符号

M底下划着一根横线

我们通常把它读作M underline

叫做S的上确界

如果它满足什么条件呢

请注意看

if for all x in S X is less than

or equal to M

这句话的意思是说

M underline should be an upper bound of S

就是 M下划线是S的上界之一

起码它是一个上界

但是 这并不是上确界的全部

它还有一个更重要的条件

就是下面这句话

And for anyε positive

对任意的大于0的数ε

这是我们第一次碰见ε这个数

它通常表示一个非常小的正数

好 对任意一个大于0的正数ε

都有怎么样呢

都存在 这样的x in S

such that x is bigger than M underline minus ε

这个第二个条件

可能没那么容易理解

它的意思就是说

只要比这个大M小一点点

我总能找到S中的元素x

它比大M减ε 还要大

这句话也可以这么理解

意思就是说 只要比这个大M

下划线小一点点

它就一定不是S的上界了

好了 如果这两个条件同时满足

我们就称

M underline a least Upper bound of S

M 下划线是S的一个上确界

而且 我们有特定的符号 请看

in such a case we write M underline equals sup S

在今后 我们用sup S

来表示一个集合的上确界

这是通用的数学符号

好的 我们再看一个 example

比如S等于 负无穷到3

这是一个有上界的集合

那么 它的最小上界

也就是上确界 是谁呢

我们看出来它就是3

尽管3并不在这个集合S中

再看一个例子

如果S是全体自然数的集合

那么它的上确界是什么呢

我们一套定义就发现不对了

为什么呢因为这个S本身

不是有界集 它是没有上界的

所以这时候我们说

the least upper bound of S does not exist

它没有上确界

如果一个集合没有上确界

我们就通常规定它的上确界

是正无穷

in such a case we write sup S

equals positive infinity

下面 我们看一个重要的注记

就是 如果M

是给定集合S的一个上确界的话

而同时我们又有S的另一个上界M one

那么 M和M one 之间有什么关系呢

我们一定可以断言出

这个M one 一定比M大

或者相等

也就是说 任何S的上界

一定要比上确界大

或者等于这个上确界

换句话说 上确界

是全体上界中那个最小的上界

我们上面看到 一个集合的上界

确实有无穷多个

但是呢

最小上界只有一个

就是所谓的上确界

这就是我们想要研究计算的有用的上界

下面我们看另一个相仿的定义

就是 greatest lower bound 下确界

也就是我们刚才用英语的简写

GLB表示的那个含义

好 我们看它的定义

它和上确界的定义差不多

同学们很容易理解 我们看一下

given a set of numbers S which is bounded below

任何给定一个有下界的集合S

如果我们能找到一个这样的 little m bar

你看这个地方 m上面划了一条线

在英语中通常读作m bar

m bar 叫做S的下确界

the greatest lower bound of S

如果怎么样呢 if

还是两个条件

第一 任意的x属于S

x is bigger than or equal to m bar

意思就是说任意的S中的元素

都要大于或等于m bar

也就是说m bar 是S的下界之一

第二个条件是说 对任意的ε大于0

for any ε positive

总能找到这样的x 存在x 属于S

使得 x 小于 m bar plus ε

第二个条件相当于说

只要比这个小m bar 大一点点

我就能找到另一个x属于S

它比这个m bar 加ε 要小

换句话说 任何比m bar

大一些的数 都不再是下界了

如果这两个条件同时满足的话

我们就叫 m bar the greatest lower bound of S

我们有特定的符号就是

m bar equals inf S

inf S 表示S的下确界

好的 我们还是有一个注记

同学们要注意一下 就是

the greatest lower bound

Is indeed the biggest lower bound

什么意思呢

下确界是最大的下界

好 看一个例子

假设 S是这样的集合

such x in Q x square is less than two

or x is less than zero

这个集合我们在上一堂课中

其实已经见过了

这个集合 它上确界等于多少呢

可能同学们能看出来

它就是 根号2

但是我们注意 这个根号2

并不在集合S中

它有下确界吗 下确界是没有的

所以呢我们写成 inf S 等于minus infinity

我们再看一个相仿的例子

S等于such y in Q

y square is bigger than or equal to two

and y is positive

好了 这个集合我们以前也见过

那这个结集合有没有上确界下确界呢

研究一下 最好同学们在纸上画一画

就能看出来 它的下确界还是根号2

但是它没有上确界

所以我们写

sup S equals positive infinity

好的 以上对集合的确界的介绍

我们其实已经初步涉及到了

与极限有关的思想

那么在本堂课的最后

我们来给出与实数完备性有关的

一些重要定理

完备性其实也是描述极限现象的数学语言

我们了解一下

Section Three Completeness of Real Numbers

实数的完备性

好 我们先看第一个定理

它的名称叫做

Bolzano-Weierstrass theorem

这个定理的汉语名称通常叫做

波尔察诺-维尔斯特拉斯原理

这个定理不长 我们看一下它是怎么描述的

请看

every bounded infinite set

任何一个有界的无限集

请看 所谓有界 我们前面已经解释过了

那么infinite set什么意思呢

意思是 这个集合中的元素

是无穷多个 不是有限个

every bounded infinite set

has at least one point of accumulation

什么意思呢 任何一个有界的无限集

至少有一个聚点

它可以有更多的聚点 但是呢

一定不会没有聚点

这就是这个定理

这个定理是非常深刻的定理

它的证明也比较复杂

我们当然这门课中不会讲

好 我们看一个例子

假设有这样一个集合

它是由一序列数构成的

such Xn Xn 是这样给定的

通过 X1 X2 X3 这样递推下去

它的递推关系是

X1 equals one

Xn+1 equals a half parentheses

Xn plus two over Xn

通过这个递推关系

来定义的这个集合

我们把它记成{Xn} 这个集合

好 这个集合一看就是个无限集

因为指标n可以跑到无穷

因此它是个无限集

它呢 也是个有界集

我们就可以断定它一定有一个聚点了

根据刚才的 Bolzano-Weierstrass定理

那么这个聚点是什么呢

这个问题希望同学们自己仔细研究一下

答案是

The only accumulation point of The set {Xn}

is square root of two

这个集合有唯一的聚点就是根号2

the reader is suggested to prove this fact

我们把这个事情

就留给同学们自己去证明一下

这不是一个很简单的问题

需要认真地 仔细地 缜密的

去证明这件事情

好 我们看下一个定理

theorem three point three

它说

every nonempty set of real numbers

having an upper bound

什么意思呢 任何一个非空的

有上界的实数的子集

都怎么样呢

must have a least upper bound

都一定有上确界

也就是说

有上界必有上确界

当然 跟它相仿的还有另外一个定理

就是 every nonempty set of real numbers

having a lower bound

must have a greatest lower bound

任何有下界的集合一定有下确界

这两个定理看上去好像挺显然的

其实要证明起来是非常复杂的

这门课我们就不涉及了

好 我们再看一个例子

example three point five

这个集合是什么呢

是这样的 sin n 构成的集合

其中n要跑遍全部的自然数

这个集合 比较抽象

我们想找一下它的上确界 下确界

分别是什么 这个集合

不是那么容易理解的

我们可以画一个图来看一下

请看 这就是 sin n 的图像

横坐标 我们画了

n从1一直到1000 纵坐标

我们画的是 sin n 的函数值

您看看这个图中

有很多很多的点 但是呢

他们都没有超过 两条线

也就是y等于1和y等于-1这两条线

这个时候 我们就可以猜出来

它的上确界是1 下确界是-1

根据刚才这个图像 我们可以

有一种直觉

就是 它的上确界是1下确界是-1

但是呢要严格说明这件事情

还不是这么容易

需要一些比较复杂的三角关系等等

我们还要注意到

刚才这个图中

有两条线y等于1和y等于-1

上面好像画了很多点

那些点实际上并没有碰到这些线

它们只是接近 y equals 1

y equals minus 1

但是1和-1 是这个集合的

上确界与下确界

这是确定无疑的

这个同学们可以理解一下

就可以了

好的 最后我们有一个注记

就是上述3个定理

包括 Bolzano-Weierstrass原理

还有 有上界必有上确界

或者有下界必有下确界

这三个定理 我们都把它叫做

completeness property of real numbers

描述实数完备性的定理

同学们 这堂课 我们学习了

三个比较难懂的内容 它们是

有界 确界 与完备性

通过这部分内容的学习

我想同学们以经逐渐适应了

高等数学 这种抽象的语言

和思维方式 恭喜同学们

微积分的大门已经向你们敞开了

在下一讲 我们要学习一些

与代数有关的内容

请同学们 提前预习好

好的 下堂课再见