Differentiability on Intervals, Piecewise Differentiability and Differentials (区间上的可微性，逐段可微性与微分)在线视频

同学们 你们好

欢迎来到mooc在线课程微积分

上节课 我们已经学习了

函数的导数与单侧导数的概念

在此基础之上 这节课呢

我们将学习区间上的可微函数

另外我们要引入函数的微分的概念

微分与导数是两个紧密相关

而又有所区别的概念

这一讲中我们就要搞懂

它们之间的关系

整个微积分的知识体系

是非常庞杂而严密的

同学们一定要牢牢掌握

正确的定义和概念

好的 下面我们就从

区间上的可微函数讲起

Chapter 4 Derivatives导数

Unit 2 Differentiability on Intervals

Piecewise Differentiability and Differentials

区间上的可微性 逐段可微性与微分

Section 1 Differentiability on an Interval

区间上的可微性

同学们 我们知道

函数的定义域并不一定是全体实数

比如说根号x这个函数呢

他的定义域就是实轴的一部分

就是从零到正无穷

对于一个具体的函数而言

我们希望研究它的可微性

也就是说我们希望

在他的定义域上考虑他的可微性

那么该如何定义函数

在其定义域上的可微性呢

请看下面的定义

首先 我们看一下函数

如何在开区间上定义可微性

请看定义

Definition 1.1

Differentiable on an open interval

在开区间上的可微性

A function f is said to be differentiable

on an open interval (a, b),

written as f belongs to D(a, b)

注意啊这里我们强调的是

在开区间上(a,b)上

如果怎么样呢

if it is differentiable at any x0 in (a,b)

这个定义非常的简单

意思是说f在开区间上可微

当且仅当f在这个开区间中

每一点都是可微的 接下来

我们要考虑在闭区间上的可微性了

请看定义

Definition 1.2

Differentiable on a closed interval

A function f is said to be differentiable

on a closed interval from a to b

written as f belongs

to D closed interval [a, b]

什么条件呢

if it is differentiable

at any x naught in the open interval (a,b)

and both f’+(a) and f’-(b) exist

什么意思呢

一个函数如果定义在闭区间[a,b]上

他称作在这个闭区间上是可微的

如果它在这个除去端点以外的

开区间里边每一点都是可微的

而且在端点处单边导数都存在

在a处存在着右侧的导数

在b处存在着左侧的导数

因此这个定义也是很容易理解的

也就是说在闭区间的时候

我们需要考虑

在端点处的单侧导数的存在性

我们来看一个例子吧 example

f(x) equals square root one minus x square

这个函数我们见过

it belongs to D(-1,1)

but here is open interval

可能有的同学觉得奇怪了

这个函数他不是

定义在闭区间从负一到一吗

为什么我们这里写的是

从开区间负一到一的可微函数呢

这个原因呢

如果我们回忆一下上节课的内容

自然就明白了

因为这个函数在端点处

它的单侧导数是不存在的

因此我们最多只能说

它是开区间-1到1的可微函数

我们可以看一下它的图像

就明白为什么了

请看这就是函数的图像

这个函数他在两个端点处的单侧导数

都不存在

如果我们真的要求出它的导数的话

我们可以画出它的导数的图像

我们可以看到它在两个端点处

这个导数实际上都是不存在的

当然这里头有一些细节

我们后面自然就明白了

我们接着看一个例子

example1.4,

f(x) is defined to be one minus x square

and then take absolute value

f(x)是1减去x平方的绝对值

这个函数定义域呢

当然是整体的实轴

现在我们把它局限在

从负一到一这一段区间上看

它就是一个可微函数

it belongs to D closed interval [-1,1]

这个原因

是因为这个函数在开区间

负一到一中都是可微的

而且在端点-1 1处

单侧的导数都存在

我们可以看个图理解一下为什么

请看这幅图

这就是刚才的这个函数的图像

它在这个区间的内部的每一点

都存在着切线

而在端点处

单侧的切线显然都是存在的

因此我们说这个函数

的确是闭区间-1到1上的可微函数

Section 2

Piecewise Differentiability

分段可微性

同学们 上一小节我们讲了

函数在开区间或者闭区间上的可微性

有的函数他是很多个小段拼起来的

这个时候我们也有一个类似的定理

就是所谓函数分段可导

请看定义

definition2.1

piecewise differentiable分段可微

请看分段可微是如何定义的

If f (x) is differentiable on

some finite number of intervals

如果一个函数f(x)

它在有限个区间上都可微

当然这个可微性是我们刚才

第一小节所定义的可微性

and the union of these intervals

is the domain of f

而f的定义域恰好就是

这些小段区间的并集

then we say that the function f (x)

is piecewise differentiable

这时候我们就说f(x)是逐段可微的

好的我们看一个例子

Example 2.2 f(x)=|sin(x)|

if restricted to any finite interval [a, b]

只要把刚才这个函数sin(x)的绝对值

它呢限制在有限的区间段上

从(a,b) 这个时候呢

it is piecewise differentiable

这是为什么呢

因为有限长度的闭区间(a,b)

其中总可以分成有限段

每一段的分割点就是那些π的整数倍

而在那些π的整数倍处

我们知道这个函数是单边可导的

因此我们整体而言就说

这个函数是逐段可微的

来我们看一下

刚才我们讲的这个函数

sin(x)的绝对值

如果我们分段的看呢

每一段上的确他都是一个可微函数

它是很多的可微函数

逐段的接起来的

这里我们还画出了

这个函数的导数的图像

当然这个导数的图像是怎么来的

我们后面自然就明白了

现在我们只要

定性地理解这件事情就可以了

好我们再看一个例子

Example 2.3

The Heaviside function H(x)

is piecewise differentiable

Heaviside函数我们前面讲过

这个函数他就是逐段可微

为什么呢 因为Heaviside函数

他的定义域可以分成两半

一半是从负无穷到零 不包括零

另一半是零到正无穷 包括零

这两段上H(x)都是可微的

因此它是两段可微函数拼起来

所以也叫逐段可微

Section 3 Differentials 微分

同学们

微分是个非常重要的概念

它和导数非常的类似

但是又有一点点差异

下面我们解释一下

这个差异在什么地方

笼统而言

微分就是函数的微小变化

好我们先给出严格的微分的定义

Definition3.1 Differentials 微分

Δx is defined to be dx

is called the differential of x

这句话什么意思呢

对自变量x而言 它的微分

就是前面我们提到的那个量 Δx

这是我们数学中的约定

It represents a small change in x

它表示自变量x的一个微小变化

这个是一个抽象的量

通常我们不必真的来指出

这个变化是多少

If f is differentiable at x

假设一个函数f在某个点x处可微

then df is defined to be dy

defined to be f’(x)dx

is called the differential

of the function y = f (x) at x

第二段话比较长

我一点一点解释一下

假设某一个函数f在x处是可微的

这时候我们定义它的微分

用的符号是什么呢 是df

df和dy是同样的含义 df=dy

它的真实含义是什么呢

是f’(x)乘以dx

这个量f’(x)乘以dx就叫做f的微分

当然前提条件是f在x点是可微的

注意df和跟刚才的dx就不太一样了

因为这个df是特指y是x的函数

y=f(x)的情况下才这么写的

同学们

刚才这个定义还是比较抽象

下面我们看一下图

图中就说明了一切

这幅图中我们给出了y=f(x)的图像

以及取定了图像上两个特定的点P,Q

这点对应的横坐标假设是x

那么x有一个变化

我们取成了Δx

他变化到的点就是x+Δx

对应的图中我们画出了R点还有S点

S点是P点的切线

与QR的交点

这幅图中Δx就是dx

而其中的Δy是前面定义过的

表示y的纯变化量

另外我们看到

有一个量dy

dy就是刚才我们说的f的微分

它这幅图中实际上就是

RS这一段的长度

所以说dy和Δy是不同的量

dy实际上是表示的是切线的变化

而Δy表示的是f的真实的变化

这两个量我们画的差异比较大

但是我们可以想象

当Δx非常非常小的时候

这两个量实际上是非常的接近的

也就是说dy它表示切线的变化量

这个变化量非常接近于

函数f的实际的变化量Δy

好同学们

我们把刚才这幅图中

所阐述的这些量再总结一下

In the above figure, we have

we have Δy=f(x+Δx)-f(x)

这是f的真实变化量

我们可以把它换一种写法

写成这样 然后呢

we note that dy and Δy are different

这个我们刚才解释过了

因为dy和Δy在图中是两个不同的量

well geometrically, dy is represented

by the line segment SR

and Δy is represented

by the line segment QR

We also notice that

我们还要注意到 dy/dx

刚才这个dy除以dx就是切线的斜率

这个量是怎么来的

它是取极限来的

也就是说他是limit of f(x+Δx)-f(x)

divided by Δx and then take the limit

as Δx approaches zero

当然这个极限的存在

就是说明f在x点是可微的

也就是我们刚才用的f’(x)这个符号

换言之

dy除以dx它恰好就是Δy除以Δx的极限

上面我们讲清楚了微分

对于一些简单的函数

我们可以直接用定义

来求它的微分或者导数

请看我们下面的例子

Example 3.2

Consider the function y = sin x

三角函数

y等于sin(x)

我们试一下求它的导数或者微分吧

since prime of sin(x)

or derivative of sin(x)

is defined to be a limit of this guy

请看

这里我们给出了它的极限的定义式

这就是导数定义

但是这个样子我们没法求极限

怎么做呢

把它做一下变形

用和差化积公式

这就是我们通过和差化积公式

变出来的样子

这里边的很多细节

我们就不详细解释了

同学们一定要在草稿纸上

自己画一遍

好了 写成这两个极限的样子

我们就可以真实地求极限了

前面cos(x)是个连续函数

直接可以求

而后面sin(Δx/2)/(Δx/2)

这个样子我们以前见过

它的极限就是1

因此我们看出来

整个取极限的结果就是cos(x)

于是我们得到这样的结果

就是sin(x)的导数就是cos(x)

好了那么它的微分按定义就是

d(sin(x))=cos(x)dx

对任意的x属于实数

这都是对的

接下来我们再看一个简单的函数

就是ln函数

consider the function y = |lnx|

它的定义域是x不等于零

好了我们看一下能否找到它的导数

for x positive

we have the derivative of ln(x)

is defined to be such a limit

这里我们给出了导数的极限定义式

好的 这个样子

我们还是无法直接求出极限

我们要做一点点变化

这个变化就是我们下面要写的式子

请看我们上面把两个ln合并了

底下把Δx变成了Δx除以x

另外多出一个因子

就是x分之1放在了整个式子的前面

只要写成这样

后面这个极限就可以求了

因为这是我们前面讲过的

常见的极限公式之一

这个极限的结果就是1

因此整个极限的结果是x分之1

于是我们知道ln(x)的导数就是x分之1

其中x大于0

Similarly, when x is negative

we have the same result in fact

(ln|x|)’ is exactly one over x

实际上在x小于0的时候

刚才这个导数公式还是对的

同学们可以自己再推导一下

根据上面结果呢我们可以得到

d（ln|x|）=1/xdx

对任意的x不等于零

这个公式非常重要

同学们一定要牢记

总之 函数的微分

是非常重要的数学概念

它和导数的关系

同学们一定要搞清楚

这个写法同学们一定要熟悉

因为我们后面

要反复用到这样的符号

好的 以上就是本讲的全部内容

在这一讲和前一讲中呢

我们已将完整定义了函数的导数

微分以及可微函数等等基本概念

在掌握这些内容的基础之上呢

接下来我们要学习

导数的运算规则 计算方法

计算技巧以及一些重要的性质

这将是下节课的内容

好的 这一讲就到这里

我们下一讲再见