当前课程知识点：系统工程原理 > 第六章 系统决策 > 第四节 贝叶斯决策方法 > 贝叶斯决策方法
接下来我们来学习第四节
“贝叶斯决策方法”
前面我们所介绍的风险型决策问题的解决方法中
涉及到这样一个问题
就是要确定
各种自然状态的概率
怎么来确定自然状态的概率呢
有这样几种方式
第一个是用统计概率
就是根据历史资料
采用数理统计的方法来把
各种自然状态的概率把它找到
第二个是主观概率
就是决策者或者专家根据经验
直接给出这样一个各种自然状态的概率的
一个初步的认识
直接给出来的概率数据
那么无论是采取什么样的方法
都会遇到这样两个问题
第一个是概率估计是不是准确的
要知道如果概率估计不准确
会造成什么样的结果呢
如果采用不同的概率估计的话
算到的益损值的期望值是会完全不一样的
那么这样的话如果概率估计不准确
决策方案有可能会出现方向性的偏差
选错了
这种是完全有可能出现的
第二个 一般来说
如果我们能够增加一些调查或者
一些实验的话
总是能够提高
决策的把握的
能够带来一些新的信息
从而对这个
自然状态的概率的认识
更加清晰了
从而使得决策更加有效
期望效益应该是更加高的
但是进行这样的调查
或者试验又是需要付出成本的
这个成本付出是不是划得来
所谓的划得来就是
既然你做了调查
做了试验
能够带来更高的效益
就是比不做调查不做试验更加高的期望效益
带来的这个增值
是不是比调查或者试验的成本
要更高呢
那么这样的问题
就是我们在这第四节
将要来回答的问题
就是贝叶斯决策
首先来举个例子
这个例子是说有五个零件
都是一个圆片
本来两面都是白的
接下来要做的一个工序就是
要使得这个零件的
一面 要涂成红色的
这样的话一个合格品
应该是一面白的一面红的
可是在工作过程中漏了其中一个
也就是说这五个零件里面有一个次品
这个次品两面都是白的
现在把这五个零件都装在一个袋子里
你伸手一抓
随意地抓一个
问你抓到一个次品的概率是多少
当然是1/5
如果是让你随手一抓 并且
在手上看一下
只看其中一面
或者说干脆就是往上一扔掉地下
你看到其中一面
看到这一面是白色的
那么请问
这是一个次品的概率是多大
如果看到这面是红色的
那当然它是次品的概率就是0%了
如果看到这面是白色的 那次品概率是多大
还是1/5吗
应该不是了
因为增加了这次试验
增加了这次调查
增加了这次观察 你掌握的信息更多了
应该怎么来判断这个问题呢
如果是扔了
1000次的话
那么应该怎么来分析这个问题呢
从这个图上我们可以看到
在所有出现的
白色的那一面的情况里面
有1/3
是由这个次品 就是第五个产品
所造成的
所以
如果往上一扔发现它是白色的
那么它是次品的概率应该是1/3
前面我们说随意摸一个
它是次品的概率是1/5
现在是1/3
为什么 是怎么来的
就是因为增加了一次观察
增加了一次试验
我看到了有一面是白的
所以它是次品的把握更加大了
这就是观察和试验或者说增加调查
它所带来的关于
这个概率的修正
这个概率的修正是有助于我们进行决策的
接下来我们来回顾一下
概率论与数理统计中的贝叶斯定理
这个贝叶斯定理
就是可以用来解释前面那种现象
假设Ai和Bj是两个随机事件
它的发生概率分别为P(Ai)和P(Bj)
P(Ai Bj)是Ai Bj同时发生的概率
称作为联合概率
条件概率是指
在Bj发生的前提下或者条件下
Ai发生的概率
记作P(Ai|Bj)
那么我们会有
这样一个条件概率
就是Bj条件下Ai发生的条件概率
可以这样来表达
分母是P(Bj)
分子是P(Ai Bj)联合概率
而P(Ai Bj)联合概率又可以表达为
P(Ai|Bj)×P(Bj)
其实这就是条件概率和联合概率的定义
这个问题也可以这样来表示
P(Bj|Ai)
等于分母是P(Ai)
分子是(Ai Bj)的联合概率
而(Ai Bj)的联合概率又可以表达为
P(Bj|Ai)×P(Ai)
我们可以拿
最下面这一行的公式来做文章
把(Ai Bj)联合概率
的展开 把它代入
最下面这一行左边这个公式
然后P(Ai)呢
用全概率公式来展开
P(Ai)就等于
P(Ai Bj)
联合概率
在Bj上进行累加
也就等于P
(Ai|Bj)
×P(Bj)
在Bj上进行累加
于是可以得到贝叶斯公式
我们仔细地观察这个贝叶斯公式
并且把它映射到我们的决策问题上来
把Bj理解成
出现第j种自然状态的事件
把Ai理解成
得到第i种
调查结果的这样一个事件
那么贝叶斯公式告诉我们什么呢
就是说如果我们预先知道
或者说可以估计出来
出现任何一种
自然状态的概率 就是P(Bj)都可以得到
并且还可以得到
出现任何一种自然状态的条件下
你会得到什么样的调查实验结果的
条件概率
就是P(Ai|Bj)
遍历所有的i和j都是可以得到的话
那么根据贝叶斯公式就可以获得
我得到了什么样的调查结果的条件下
实际上系统应该会遇到什么样的自然状态的
条件概率是多少
这个条件概率我们就可以用于
后面的决策了
如果不考虑贝叶斯公式
直接用P(Bj)进行决策
那就是前面
第三节我们所介绍的内容
给出两个定义
一个是先验概率
就是试验前
对各种自然状态的估计的概率
反映的是各种自然状态发生的可能性
一般是根据以往经验得出来的
它是在试验之前得到的
一个主观的估计
所以把它称作为先验概率
也叫事前概率
第二个概念
叫做后验概率 也叫事后概率
它指的是进行了试验
或者观察
或者调查之后
然后利用这个试验结果
来修正先验概率
改进了对自然状态的概率的认识
从而得到的那个概率
把它称作为后验概率或者事后概率
如果是我们前面第三节的内容
那就是直接利用先验概率进行决策
现在我们看到的第四节贝叶斯决策内容
就是要利用后验概率来进行决策
怎么来得到后验概率
利用贝叶斯公式
所以贝叶斯决策它的求解的思路
首先是根据经验
要得出各个自然状态
Bj以及它的发生概率P(Bj)
也就是先得到先验概率
第二步 收集与各个状态有关的数据资料
Ai 然后得到在
Bj的条件下取得
Ai这样一种试验结果的
条件概率
遍历所有的i j
都要清楚 再接下来
利用贝叶斯公式
得出在Ai
的试验条件下
未来自然状态是Bj那种自然状态的后验概率
遍历所有的i j
然后根据Ai以及
后验概率 就是Ai的条件下
Bj这种自然状态发生的概率
来做出更加符合实际的决策
通过贝叶斯决策
能够使得收益的期望值有所增加
但是它能不能超过
为了获得这个情报资料
为了进行这个调查试验
所付出的代价
这个是需要进行比较的
那么接下来我们来通过一个例题来了解一下
贝叶斯决策的应用
这个问题的背景是
有一个公司要考虑生产一种新的产品
已知新产品的销售情况
将取决于市场的需求情况
并且可以预见到生产后的销售结果
分别为好 中 差三种情况的概率
以及相应的盈利额
在这个表格里面
现在要进行决策
是不是应该进行市场调查
来获取市场需求出现好 中 差的后验概率
第二个
是不是要生产这种新产品
假设调查费用是6000元
那么条件还不够
根据历史资料可以得到这样一张表
这个表格是什么意思呢
首先给出了先验概率
就是三种自然状态的预先的概率估计
分别是0.25 0.30和0.45
其次 是在
各种自然状态下
会取得什么样的调查结论的这个条件概率
也是要当作历史资料能够统计获得的
先验知识
就是说
在这个表格的黄色部分我们看第一列
的第一行元素
0.65表示的意思呢 是说
如果未来的自然状态是
销售好
那么调查结论
也会得到好这个结论的条件概率是0.65
如果实际的销售结果是好
但是调查结论
是差 这个概率应该是比较低
那么这个条件概率是0.1
这就是这一组条件概率它的解释
其他的情况 在各种自然状态下实际上
取得不同的调查结论的条件概率
都在这个表格里面给出来了
那么有了这些先决条件以后
我们就可以进行贝叶斯决策了
首先求联合概率和全概率
把我们前面已经给出来的基本条件
套入
联合概率和全概率的公式就可以了
可以算到联合概率和全概率
在这个表格里面都已经给出来了
其次 求条件概率
就是Ai的这样一种
调查结论的情况下
实际上自然状态是Bj的条件概率
这个条件概率就是贝叶斯公式
所算出来的这个后验概率
在这个表格里面给出来了
稍作解释
第一行第一列元素
0.575表示的意思就是说
调查结论认为销售好的条件下
实际上应该是
销售好的这种真实自然状态的概率应该是0.575
第三行第一列元素0.055
它所表示的意思就是说
如果调查结论认为销售不好 销售差
在这种条件下
真实的自然状况
销售状态应该是好的概率很低
是0.055
其他的情况
其他的后验概率是类似的解释
第三步求盈利值
首先我们看看在不做调查的情况下
利用先验的概率进行
决策应该怎么进行呢
就是0.25 0.30 0.45分别乘以
三种自然状态下的
收益15 1和-6
得到1.35万元 就是
利用先验概率
或者说是不进行调查的情况下
得到的生产这种新产品的期望盈利
如果按照贝叶斯决策的话
调查结论分别是好 中 差的情况下
生产这种新产品的期望盈利
就应该是
按照这个后验概率矩阵
分别去乘以
自然状态真实为好
中 差的情况下的收益15 1和-6
我们可以看一看
在最下面这个公式的左边矩阵
第一行 第二行 第三行
其实分别就代表了
调查结论分别是好 中和差
三种情况 那么
这个矩阵相乘
得到了结论
7.937 2.519和-3.452
其实就分别代表了调查结论
分别是好 中 差的情况下的
期望收益
那么我们可以观察这个结果
发现有一个负值
意思就是说如果调查结论是差的话
那么期望收益是负的
在这种情况下
当然实际上就不会进行生产了
因此可以强制地
把这个负值置为0
就是认为在调查结论为差的情况下
不进行生产
再把这个负值的元素
强制置为0以后
对这个向量左乘以
调查结果分别是好 中 差的
全概率向量
就是0.2825
0.2650和0.4525
结果是2.91万
进入第四步
进行决策
前面我们得到的结果是
调查的情况下期望盈利是2.91万
而调查费用需要0.6万
这样的话
减去调查费用还盈利2.31万
而不进行调查的期望盈利呢 是1.35万
所以决策的结论应该是
要进行市场调查
而且如果调查结果是好或者中
就应该生产这种产品
如果调查结果是差
就不应该生产这种产品
这样的话
我们就采用贝叶斯决策的方法
来解决了这样一个问题
课下大家可以再思考一下
贝叶斯决策
可不可以跟我们前面所介绍的决策树方法
相结合呢
相结合起来以后
给出一个更加清晰的
更加明确的 更加直观的表达
是不是更有助于我们进行
解决一个系统决策问题呢
这个问题留给大家思考
我们也可以在网络平台
进行交流
-课程概述
--课程概述
-为何学习系统工程
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--扩展阅读
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-第四节 贝叶斯决策方法
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-引言
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-第七章 网络计划技术--引言
-第一节 网络图的组成与绘制
-第一节测试 网络图的组成与绘制
-第二节 网络图的参数计算
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