层次分析法在线视频

接下来的几节

我们一起来学习几种特别的系统评价方法

首先来看层次分析法及其应用

层次分析法是一种非常有名的系统评价方法

它的简称是AHP

我们首先看一个引例

在一个军校

我们要对优秀学员进行评价

到年终了

要评选优秀学员怎么办呢

你很难对几十个学员

或者几百个学员

进行一次性的排序

找出前几位

哪几个是优秀学员

那么我们一般的思考过程是这样的

把问题分成层次

怎么来评选呢

从德 智 军 体几个方面来考虑

那么这几个方面再进一步地往下分解

逐步地具体化

比如说德

可以分为政治觉悟 思想品质

坚持原则 团结协作等等

智呢

包括基础课的成绩

学术研究 学科竞赛等等方面

从这些方面去考虑

哪些学员是优秀学员

但是虽然这些指标已经非常具体了

依然很难针对任何一个指标

一次性地把所有的学员进行排序

现在我们看到的这个结构

其实上面的三个层次

跟我们前面所介绍的指标体系是一样的

下面最后一层

给出来的学员1到学员n

其实就是代表着待评价的那些对象

再看一个例子

这个例子是说有一个军工企业

要选择一种民用产品进行发展

作为它的支柱产品

可选的方案有民品1 民品n

怎么来决策呢

你很难直接对这若干个方案进行排序

这样的话责任太大了

一旦排序错误

或者说有比较大的偏差

造成的风险是不可接受的

那么思考的过程会是怎么样的呢

也是首先从宏观目标去进行分解

分解成几个方面

比如说有经济效益的

有社会效益的

还有技术可行性方面的

这几个方面再进一步地进行分解

逐步地具体化

在经济效益方面

可以分成几个方面

如投资省 利润高 见效快

适销对路 潜在市场广阔等等

于是分解成了再下一层的指标

那么针对这若干个指标

任选一个

接对这n个可选的方案进行排序

依然是很难的

需要怎么做呢

能够有什么样的办法呢

虽然说针对任何一个指标

直接对这若干方案进行排序是很困难的

但是有一个办法

就是针对任何一个指标

对这若干个可选的方案

进行两两的比较

谁优谁劣

这个是相对容易的

如果接下来

我们能够从这些两两比较的结果

进行一定的综合计算

得到所有的可选方案

相对于顶层目标而言

它的综合排序

那么这个评价的目标不就实现了吗

所以

这就是AHP它的基本思想

首先将一个复杂的问题

分解成若干个组成要素

然后将这些要素按照因果支配关系

形成一个递阶的层次结构

这就是AHP的层次结构模型

第三个

通过若干次的两两比较

来确定层次中的各个要素的相对重要性

这个两两比较是怎么进行的呢

就是在这样一个层次结构里面

以任何一个上层结点为标准

对它的所有的同样父结点的

所有的子结点

去进行两两比较

然后按照这个两两比较的结果

去进行综合计算

综合出决策者的判断

从而确定各个方案的总排序

这就是层次分析法它的基本的思路

那么接下来我们来看一看

层次分析法它的分析步骤

首先把这个问题抽象化

根据一个问题

首先要建立一个层次结构模型

现在我们看到的

就是一个层次结构模型的一个示意图

这个层次结构模型包括这样几层

第一个是目标层

这个反映的是这个系统评价的顶层的目标

这个目标往往是比较宏观的

比较概括的

然后往下分解

分解成若干方面

或者称为若干个准则

在这个示意图里面有准则C1, C2到Cm

对于一些相对复杂一点的问题

有可能准则层还要继续分解

逐渐地具体化

最下面一层是方案层

就是所有的待评价的那些方案

都在这里面把它列出来

在这个示意图里面有方案P1到方案Pn

对于一个系统评价和决策问题

我们经常是这样思考的

从顶层目标具体化

逐步地分解

到达相对来说比较具体的

容易进行比较的那个指标层次

然后相对任何一个指标

以它为标准

对各个方案去进行两两比较

层次结构模型有几种形式

首先第一种是完全相关型的结构

这里给出一个小例子

它的背景是说医疗废物的安全处置技术

怎么样进行评价

处置技术的综合评价

可以从几个方面进行考虑

分别是经济指标 环境指标和技术指标

这三个指标继续往下分解

具体化

包括总投资 单位建设投资 运行成本

等等等等

一个个最具体的

能够方便进行两两比较的

一些指标

然后可选的方案是什么呢

有四个

包括高温处理技术

高温蒸汽灭菌法等等等等

所谓的完全相关型结构是指

所有的指标

跟所有的可选的方案

有对应关系

或者说所有的指标

对所有的可选的方案

待评价的那些对象都是适用的

所以在这个层次结构模型上

表现出来的就是

所有的指标

跟所有的待评价的对象

它们之间都是有连线的

在这个层次结构里面

目标层就是处置技术的综合评价

准则层分成了具体的两层

方案层就是四个待评价的对象

第二种层次结构模型是完全独立型结构

这里面看到的这个例子是说

减少交通事故损失的措施

怎么样进行评价

可以建立一个层次结构模型

我们所看到的这个层次结构模型

是说顶层目标是减少交通事故的损失

准则层就包括三个具体一点的评价准则

是指防止事故发生

减少事故发生和促进恢复

方案层呢

这三个准则

并不是对所有的方案都适用的

防止事故的发生

只对前三个方案适用

减少事故发生只对4 5 6方案来适用

促进恢复是对最后两个方案

于是画出来的层次结构模型

就是这个模样

防止事故发生

和4 5 6

和7 8

这五个方案

相互之间是没有连线的

其他的也类似

第三种形式是混合型结构

现在看到的这个例子

是说对于一个企业

有一笔经费应该怎么样使用

有五种可选的方案

要对它进行评价

而建立了一个层次结构模型

目标是经费使用的有效性

或者说使用效益

准则层呢

从三个方面来考虑

首先一个是调动职工的积极性

其次是提高组织的技术水平

三是改善职工的物质文化生活

五个方案

这五个方案跟前面有什么不一样呢

首先 第三个准则和第五个方案

是没有直接关系的

或者说对它是不太适用的

所以在这里面

第三个准则和第五个方案之间没有连线

同样道理

第二个准则和第一个方案之间

是没有直接关系的

它们之间也没有连线

而第一个准则和五个方案

都有直接关系

所以第一个准则和五个方案

它们之间都有连线

所呈现出来的层次结构模型

就是这个形态

称作为混合型的结构

前面说的是第一步

建立层次结构模型

就像我们前面所说的

针对一个准则

要对所有的待选的方案

或者待评价的方案进行排序

这是很难进行的

我们所说的

层次分析法里面给出来的一个办法

就是针对任何一个准则

对各个方案两两之间进行比较

这个过程

我们把它称作为构造判断矩阵

先回到这个层次结构模型的示意图

构造判断矩阵

要从哪些角度进行呢

首先要从各个准则任选一个准则

比如说准则C1

对方案P1到Pn

两两之间进行比较

对准则C2也要建立一个判断矩阵

到准则Cm也要建立一个判断矩阵

这就有m个判断矩阵

除此以外

在这个示意图里面

还要以目标A为准则

对C1到Cm

这一个个评价准则

进行一个两两比较

判断各个准则之间

两两的重要性的比较

所以在这个示意图里面

要建立m+1个判断矩阵

就是在一个层次结构模型里面

只要有一个结点

作为一个父结点存在

就要为它建立一个判断矩阵

要以这个父结点为准则

对它的下属的各个子结点之间的

两两比较重要性

建立判断矩阵

那么我们举一个生活上的例子

来看看有没有可能

从这个两两比较

从这个两两比较

假设有n个西瓜

量分别为W1到Wn

总重量为1

那么如果我们能把它称准的话

W1到Wn是可以知道的话

就很容易得到

n个西瓜的相对重量关系的这个判断矩阵

这个矩阵A的每一个元素

第i行第j列元素

就代表着i西瓜的重量比上j西瓜的重量

如果W1到Wn是可以准确测量的

那么这个判断矩阵就可以准确建立的

而且它满足这样一些性质

就是一 对角线上的元素都是1

第二个

以对角线对称的位置的两个元素

是互为倒数

第三个性质很重要

就是aij等于aik比上ajk

就是i西瓜的重量比上j西瓜的重量

可以通过i西瓜重量比上k西瓜重量

以及j西瓜的重量比上k西瓜的重量

这两个比值再求比例

通过这种方式来得到

这个性质叫做一致性

只要W1到Wn是准确测量的

那么这个一致性一定是可以满足的

那么判断矩阵建立出来了的话

就很明显有这样的性质

就是判断矩阵A×W

就正好等于nW

在线性代数上

我们把n称作为A的一个特征根

也就是每个西瓜的重量

是A对应于特征根n的

特征向量的各个分量

就是每个西瓜的重量就是W

它的各个分量

这个时候得到的解

正好是一个精确解

因为W1到Wn是准确测量的

现在我们换一换

如果不能够准确测量各个西瓜的重量

或者说不给你这个秤呢

对于这个问题

我们可以通过手感来得到

就是对两个西瓜进行两两的比较

每两个西瓜都来掂一掂看

哪个更重要一点

对于那些

对这种重量的感觉比较灵敏的人

这个判断矩阵也是能够得到的

尽管它不如

前面所建立的那个判断矩阵那么精确

如果也能够得到这样的判断矩阵A

那么就可以通过求解特征根的问题AW=λmax×W

求解这样一个问题

得到A的特征根和正规化的特征向量

从而得到

n个西瓜的相对重量的排序

这不也是可以得到的吗

这样的话

其实我们就解决了这样一个问题

不给你个秤

但是你要得到若干个西瓜

它们的相对于重量这个准则的一个排序

这个问题相对容易

因为各个西瓜的重量

这个准则去进行排序的话

去进行两两判断的话

相对来说还比较具体

如果换一个问题

就是前面我们举的例子

一个支柱产品的选择的一个问题

怎么来根据

下面的若干个具体指标

去进行各个产品的待选方案的

两两比较呢

这个比较当然就没有那么具体了

那么建立的判断矩阵

我们要对它进行一般化

针对于一般性的问题进行一般化

我们把问题一般化的话

就是要构造一般问题的判断矩阵

就是针对一个层次结构模型的

任何一个上层因素

都要对它的下层因素的重要度进行两两比较

构造出一个判断矩阵来

这个判断矩阵上的所有的元素aij怎么取呢

给它一般化的话

它的取值原则是这样的

通常取为1 2 3 4 5 6 7 8 9

以及它们的倒数

aij等于1

代表的意思就是Pi和Pj是一样重要的

就是你这个评价者是这样判断的

Pi和Pj认为同样重要

那么就取aij等于1

如果你认为

Pi比Pj稍微重要一点

那么就取aij等于3

如果你认为Pi比Pj是明显重要

那么aij取作5

如果认为Pi比Pj重要的多

那么就取aij等于7

如果认为Pi比Pj是极端重要

或者绝对重要

那么就取aij等于9

其间的数2 4 6 8

以及各个数的倒数

具有相应的类似的意义

前面通过建立判断矩阵

实际上我们就把

相对于某一个准则而言

各个方案之间的两两的判断

定性的判断给它定量化了

用一个判断矩阵来进行定量化

接下来要做的就是层次单排序

次单排序的目的

是要根据一个判断矩阵

来计算相对于上层某个因素而言

本层与之有关的

各个因素的重要性次序的权值

它的方法其实就是

如果你有了判断矩阵

那么就去计算它的特征根

和特征向量

也就是对判断矩阵A计算满足AW=λmax×W的

特征根和特征向量

所得到的W的各个分量Wi

也就是相应的各个元素的单排序的权值

这里面有一个非常重要的问题

就是判断矩阵的一致性的问题

前面我们说了一个性质

说如果判断矩阵具有完全的一致性

它具体就是指

对于所有的i、j、k

等于1到n都要成立的

那么对于一般性的问题

其实是很难精确地保证

这样的完全一致性存在

因为这个比较是比较粗略的

是定性的比较

然后用1 2 3 4 5 6 7 8 9

来去进行一个大致的量化

所以很难精确地保证具有完全的一致性

工程上只能要求A具有满意的一致性

这个时候

是稍大于矩阵的阶数n的

而其他的特征根都是接近于0的

为了使所有的判断都保持一定程度上的一致

就需要进行一致性检验

那么这就是第四步

层次单排序的一致性检验

为了检验判断矩阵的一致性

定义了一个一致性指标CI

它等于判断矩阵的最大特征根

减去矩阵的维数n

再除以(n-1)

层次分析法里面

还提供了一个

平均随机一致性指标RI

在这个表里面给出来

那么一致性检验它的准则就是

如果你根据一个判断矩阵

所计算得到的这个CI

比上按照矩阵的阶数

在这个表里面找到的这个RI

如果这个比值小于0.1的话

就称这个判断矩阵

是具有满意的一致性的

这个比值

给它命名为随机一致性比例CR

如果CR不能小于0.1

那么就认为这个判断矩阵

不具有满意的一致性

需要对判断矩阵进行调整

是因为前面在建立判断矩阵的过程中

一定是两两比较

出现了不可接受的偏差

第五步是进行层次总排序

按照前面的步骤

我们已经能够得到这样的结果

就是针对任何一个上层的结点

它的所有有关的下层结点的

一个权重向量

或者说一个定量的排序

已经得到了

接下来要做的就是

针对于顶层目标

就是目标层的目标A

要得到一个所有的最底层的

那些待评价的方案的

一个综合的排序

这个怎么来进行呢

我们观察一下这个示意图

在这个层次结构模型的基础上

按照前面的步骤

我们已经得到了

相对于顶层目标就是目标A而言

准则C1 C2 C3的权重

分别是c1 c2和c3

还得到了

相对于各个准则而言

各个方案的权重

举个例子

相对于准则C1而言

得到的P1 P2 P3

3个方案的权重分别是

b11 b21和b31

就是在这个层次结构模型的示例上

在各个方案下面

给出来的红色字体表示的

各个权重值

相对于准则C2 C3

情况也是类似的

在这个基础上怎么来进行层次总排序呢

就是得到相对于目标A而言

P1 P2 P3的一个综合排序呢

在这个层次结构模型上

我们可以打一个比方

就好比是祖父给他的几个孙子进行分遗产

就是祖父A分给了准则C1

c1那个比例

分给了准则C2

c2那个比例

分给了准则C3

c3的那个比例

然后准则C1再分给各个方案

分给了P1 b11那么多遗产

分给方案P2

b21那么个比例的遗产

分给了方案P3

b31那么多的遗产

b11、b21和b31之和等于1

c1 c2 c3之和也等于1

那么 其他的结果也是类似的

最后怎么得到综合结果呢

方案P1的综合结果应该是

就是把它从三个父亲辈

得到的遗产的比例

把它累加起来就可以了

写出来的公式是这个样子

我们不再对这个公式进行讲解了

那么通过前面的步骤

我们就可以知道

层次分析法它是怎么应用呢

首先要针对一个问题

建立层次结构模型

其次

对这个层次结构模型上的

每一个父结点

要建立判断矩阵

第三

针对每一个判断矩阵进行计算

要得到相对于每一个父结点而言

它的有关的下层结点的

一个排序向量

第四

要对每一个判断矩阵进行一致性检验

检验通过以后

才能继续往下走

如果检验不通过

要去调整判断矩阵

第五步进行层次总排序

得到相对于顶层目标而言

各个待评价对象的

它们的排序或者权重向量

接下来我们要看一看

层次分析法它的一些应用的例子

层次分析法

自从上个世纪70年代提出以来

经在很多领域内得到了应用

包括方案的选择

人才的评价

资源分配 质量管理等等等等

我们要举的一个例子是说

在经济改革中

有一个军工企业

面临着产品结构的调整问题

按照国家和市场需要

要充分发挥技术优势

要选准 选好支柱产品

大力发展民用产品

那么要建立一个军民结合型的产品结构

问题是 怎么来进行选择呢

假设这个企业有三种可选的产品

分别是民用汽车

民用的小型飞机和复合材料

评价的准则有三个

就是经济效益 社会效益和技术可行性

在这个问题里面我们把它简化了

实际上这三个准则还可以继续往下分解

分解成更加具体的指标

那么在这个例子里面

所建立出来的层次结构模型

在这个幻灯片里面给出来了

要建立几个判断矩阵

对于每一个在这个层次结构模型里面

充当一个父结点角色的一个结点

就要建立一个判断矩阵

所以针对这个问题要建立四个判断矩阵

首先我们来看

以顶层目标为准则

为各个准则之间的两两重要性的比较

建立一个判断矩阵

假设在这个问题里面

评价者经过了慎重的思考

进行了两两比较

得到这样一个判断矩阵

就是认为C1和C2的比较

是基本相当的

C1和C3的比较

C1比C3稍微重要一点

C2和C3的比较呢

C2比C3也稍微重要一点

那么得到这样一个判断矩阵

对角线上元素全都是1

其他的以对角线上

对称位置的两个元素

是互为倒数的

那么按照求解特征根和特征向量的算法

可以得到最大特征根是3

CI等于0

那么CR就等于0

毫无疑问 是一致性检验通过的

那么计算出来的特征向量

就在这个表格的最右边一列

就得到了C1 C2 C3

相对于顶层目标的一个重要性的

量化的排序

是这样一个向量

其次以准则C1来建立

各个方案之间的两两比较判断矩阵

这个矩阵表示的意思是说以C1为准则

就是以经济效益为准则

P1家用汽车比民用飞机呢

稍微好一点

家用汽车P1比复合材料呢

比较明显的好

P2和P3的比较

就是民用飞机比复合材料呢

民用飞机又相对好一点。求解λmax=3.3085

可以算到CI等于λmax减去n

这个时候n等于3

再除以3减1

查表得到RI等于0.58

可以知道CR=CI/RI=0.033<0.1

于是这个判断矩阵的一致性检验

也是通过的

表格的最右边一列

给出来的是P1 P2 P3相对于C1的

一个排序向量

同样道理可以计算

相对于准则C2而言

各个方案的判断矩阵

求解它的最大特征根和特征向量

然后进行一致性检验

得到结果也在这个表格的最右边一列

相对于C3而言

各个方案的排序在这个表格的

最右边一列

那么接下来要干什么呢

就是层次总排序

这个表格前面四列给出来的是

前面的几个步骤算出来的结果

比如说得到了C1 C2 C3的

一个量化的排序

或者说权重向量

是0.4286 0.4286和0.1428

也得到了以C1为准则的

P1 P2 P3的一个权重向量

是0.6370 0.2583和0.1047

同样道理也得到了

以准则C2 C3为准则

对各个方案的排序

那么层次总排序的结果

P1相对于总目标的排序结果

结果等于0.6116

同样道理可以计算出来

P2这个方案相对于总目标的权值是0.2416

P3的综合权值是0.1467

于是各个方案的排序可以得到了

方案P1是最优的

其次是方案P2

再次是方案P3

而且各个方案之间相比而言

相对优多少

也可以从这个

最终的综合权值向量可以看到

结论是

选择家用汽车作为最佳的支柱产品