1.3 最优化问题几何解释在线视频

最优化问题的几何意义是什么

对于一个简单的二维优化问题

可在设计平面内直观的画出它的可行域

目标函数的等值线族

并且可以根据等值线与可行域的相互关系

确定出最优点的位置

这种求解优化问题的方法称为图解法

那我们看就是什么

如果说你能够就是个二维优化问题的话

你可以用图解法去直观的通过画图

来求解最优化问题

这里边就完全用到我们这里的等值线或等值面

或者是我们这里面的可行域

这样的一些概念

图解法直观 概念清晰 便于理解

但是呢它只适用于求解二维问题

为什么

再高维了你画不出来了

你在图上纸上画不出来你没法求解了

所以只适用于二维问题

虽然图解法没有什么实际的使用价值

因为我们知道实际的系统中

我们很少会遇到只有两个决策变量的

只有两个x1 x2只有两个太简单了这个系统

但是呢可由直观的二维图解呢

建立起对优化问题的一个基本概念

到底我优化问题

我这么做算这一趟下来我到底对优化问题

是什么样的几何意义

到底它是什么样一个目标方向

是个什么样的过程

对掌握最优解的存在和规律

后面的多优化问题的学习是对它的一个基础

虽然简单但是我们可以什么

感性的认识到底最优化问题求解这个方向性

或者是补偿等等这一系列的过程

到底在这个问题里边

是起到什么样一个重要的作用

所以优化设计问题呢

我们是抓住二维优化设计问题

然后再推广到n维问题我们由什么

由简单到复杂由已知到未知

通过已知来求解未知

举个例子看一下

minf（X）=x1平方+x2平方-4x1+4

求这个东西最小

这是我们的目标函数对吧我们学过三要素

我们来趁热打铁我们来复习一下

这是我的目标函数对不对

我的决策变量有几个

两个对吧

一个是x1一个是x2的变量

约束条件呢

有三个不等式约束

g1（X）=x2-x1-2≤0

g2（X）=x1平方-x2+1≤0

g3（X）=-x1≤0

三个约束条件

那好了我要求什么问题

是不让你求

问你x1 x2等于几的时候

能让fx取最小是这样吗

那我们来看一看对于我们优化这门课

就短短的学习这么一个小时两小时时间

看它怎么样来求解这个问题

做图

我们既然是二维的

我们可以画出这个图像来对不对

整个解空间也是这个平面解空间x1 x2

那好了有了这个解空间以后

我们先做什么

我们是不是先做找到可行域啊

可行域怎么找

所谓找可行域不就找你的

约束线或者约束面对不对

那这里面约束线是什么

是不令g1（x）=0 g2（x）=0 g3（x）=0

是不让它等于0

g1（x）=0是什么

x2变成什么了

变成了x2-x1-2=0

是不这个东西对吧

x2-x1-2=0

这是个什么东西

直线对吧

其实很简单x2 x1这个平面吗

x2-x1-2=0是个直线

就这条直线

好了我g1（x）=0了

这条直线做完以后

下面呢那条直线是不把这个平面分了

分成了上边和下边对不对

那到底哪个是可行解

找个最简单方法怎么办

把这点试试呗

这点是不最好做的

0也代进去呗

0-0-2＜0是吧

所以这个点是可行的对不

所以下面是不可行解啊

找一个简便的方法对吧

上面不可行下面可行的

好了这第一个那第二个呢

x1平方-x2+1=0是个什么东西

抛物线对不对

是抛物线

是个这样子的一个抛物线

上面下面

到底哪个是可行解哪个是不可行解

是不也试一试就行了对不对

又方便又简单

0-0+1=1 1是大于零对不对

这点是不可行的对不对

所以是不上面是可行解

好了第三个

-x≤0是不x1≥0

或者x1=0然后x1＞0是哪一方面

是不是这条直线这半边

是不是这样子的

那好啦那就是第三条线是是不这样的

由三条约束线所组成的可行域在哪

是不这个可行域

好了那所以说呢

我要让这个问题首先可行解的话

是不是只能在这里面取啊

那到底取哪个点是等它呢怎么办

试吗对吧穷举法每举法

我们把这些所以点都拿出来都算一遍

最后往计算机算一遍

然后查一查找个最大点就行了

那实际上我们看

这个东西这是个什么东西

如果说我们做等值线的话

f（X）令f（X）=C的话

是什么东西

x1平方+x2平方-4x1+4=C

是个什么东西是不是个圆

因为什么啊

因为x1平方的系数

和x2平方的系数前面系数是相等的呗

如果不相等的话

x1平方+4x2平方是个什么东西

是个椭圆么这是个圆圆心在哪

是不在20这一点啊

那就是说

这是我们的可行域D等于它等于C

是不再把这式子变一下等于它

是不在20这一点的

以20这一点为圆心的一圈一圈的圆啊

同心圆簇啊

那这一圈圈圆什么东西

等值线嘛对吧

这一圈圈圆就是等值线

实际上这一圈圈的圆就等值线

最小的是哪

是不这个

是不一圈圈的圆

那问题是变什么问题了

如果说我没有Subject to

没有这样的一堆约束的话

我让你求f（X）最小值等于几

0吗对不对那不能比0再小

永远是比0大肯定不能比0小

对吧你可以证明或者求解都可以

你肯定比0大

所以说什么

是不是一定是在这一点上

当x1=2 x2=0的时候

x1=2 x2=0的时候这个值的最小值是等于0

永远这个函数是不可以比0小的对不对

但是现在很可惜什么

这点是不取不了

那你只能在这里面找一个点

使这个函数值最小怎么找

都会了吧很清楚

是不相切就行了

那你就求这个抛物线跟这个圆

相切的那一点求出来就可以了

这就是几何意义的好处

就是用几何方法来求解

你看这道题会解了吧

这是我无约束优化问题

没有这三个约束的时候的极值点X*

但是取不了

我现在的极值点应该是

这一点对不对这一点

是我的约束优化问题的极值点

这是我原本问题的极值点

约束优化问题的最优解X*

那就是这样的一个就是这样一个过程

你就要求它就行了

所以我们看我们通过这样一个图可以什么

很清楚的把这个问题的几何意义展示出来

到底是怎么求解过程展示出来

而且告诉你了

等值线 极值点 约束线

可行域 不可行域

全都给大家表示出来

用几何方法来进行求解这个问题

就用这道例题我们看一下它的

一些个个个变量

我们刚刚讲了个个变量的一个几何意义

那么这是这个题目

给大家留一个题自己回去做一做

是跟我们发电系统有关的

比较简单的一个题

两发电站的输出功率分别为P1kw和P2kw

两电站可利用的最大功率

P1max=10kw P2max=15kw我这是一个例子

实际上跟实际肯定是不相符它是个例子

发电的费用为 A元/ kw 和 2A元/ kw

我这里也没有举具体的例子数值

可能是P1和P2两个电站

由于建设的时间长短问题

或者说它这个所用的设备问题

它两个发电成本是不一样的

负荷用量是20kw

问如果要满足用电需求

两电站的电力如何分配

能使什么总费用最小

总的发电总费用最小

发电调度问题的最简单的一个问题

怎么去来调度这两个发电厂来分配发电量

使什么我既满足用户的用电负荷

我又能让这两个电厂发电的总费用最小

是个费用最小的问题

大家可以回去自己去思考思考这题怎么去求解

怎么去用我们今天讲的这个

优化问题的三要素法

用你的所学的专业知识去建立起数学模型

目标函数设计变量

就叫约束条件等等这样的一个

然后呢怎么去来建立

建立起来完了以后

用什么样的方法

因为我们这里所谓方法很简单

我们只有一个几何求解方法

所以怎么用几何求解方法来求解出来这道题

可以去试一试

总结一下

我们对于第一章绪论

我们到底学什么东西我们总结一下

本章学习要点

第一我们掌握了数学模型的一般形式

了解什么是线性规划 非线性规划

无约束优化及约束优化

重点掌握了目标函数的等值线以及其性质

第二设计变量的几何意义表示

设计点表示一个以坐标原点为起点

X为终点的一个矢量

明确告诉你设计变量就是一个矢量

这点大家一定要记住它是一个矢量不是标量

矢量标量区别是什么

有大小有方向

第三约束可行域和可行点的概念

第二对于约束问题的几何意义的描述

我们通过几何意义

清晰的描述了优化约束问题

是掌握最优解存在和规律

为后面多维问题的学习打下基础

我们通过几何意义

清楚的看到了约束优化问题

或者是无约束优化问题

对于整个优化问题的设计方向

以及我们的寻求方向是怎么样的

就是我们说的掌握的最优解的存在

我们说可行解可行域和规律

也为后面的多维问题学习打下基础

我们的优化设计学习呢

是抓住二维问题的学习再推广到n维问题

就是我刚才说的

从已知到未知从简单到复杂

那么这是我们这一章

绪论这一章所要掌握的基本概念以及基本知识