1.2 优化设计的数学模型（上）在线视频

那我们看一下对于我们这里面讲了一下

刚才我们把优化设计的主要的问题

以及我们这门课的主要解决的目标

和我们的这个方向我们给大家讲了

我们来看一下对于优化设计的数学模型

就是我们说的优化设计有两个问题

一个是建模 一个是解模

那么建模是使用各个专业的专业知识

对于实际问题建立其它相应的数学模型

那我们来看看先把数学模型给出来

先把这个目标给出来

你到底建立什么样数学模型

才是后面解模能够求解的

我们用3个引例来看一下

第一个我们它通用的一个引例

我们这是一个用料最省的问题

要使用薄钢板制作一个

体积为5米的三次方就是5立方米的

没有盖的无盖的货箱

可能要做一个这样的货箱要装运东西

做一个这样货箱

由于运输装载要求呢

其长度呢是不能小于4米的

那么问长宽高为多少的时候呢用料最省

那我们怎么把它变成一个数学的问题

数学的模型来看一下

首先我们做了一个这样的一个图

一个体积为5米3次方无盖货箱

肯定是个立方体的无盖货箱

然后呢我们可以设什么

它既然问你长宽高各为用料多少

那我就设长为x1宽为x2高为x3

我们设这样三个变量

那最后就看这三个变量到底取多少

那要做这个东西呢

最后我们要做什么呢

用料最省用料是什么东西

薄钢板对吧用的薄钢板

所以说是面积

所以我们说S=x1x2+2（x2x3+x1x3）

为什么是这个公式

那么我们需要满足什么条件呢

最简单的一个条件是什么

x1≥4是吧

要求是不小于4米

所以说x1≥4的

那么还有什么条件呢

大家注意还有什么条件

有两个隐式条件

我们后面会讲到什么

x2>0 x3>0对不对

我们有隐式条件x2>0 x3>0

我们什么不能是负的对吧

不能说我们这个货箱做出来是个负的

所以说要有这样的隐式条件

那么还有个什么

体积你要保证是5米的3次方

不能说是5立方米

不能是体积比这个小

所以说呢x1x2x3=5米 要保证这个体积

那么这个值呢也可以写成

x1x2x3-5=0都一样对吧

那好了最后你的目标是什么

目标是用料最省对不对用料最省

所以说的目标是使得S趋向于min

什么时候x1x2x3取何值的时候S趋向于min

这不就是你的一个问题吗

那就是求什么

min s然后呢有这样的一些约束条件

有这样的一些约束条件

那么这就是什么

从这样的一个实际的问题变成了数学问题

然后求解这样的一个数学问题

那就是这又是什么

从实际问题怎么变成你的数学问题

那么这里边呢用到了一些什么

几何的知识呀

用到了一些数学的知识

那这是一个引例我们再看一个

引例2某工厂生产甲乙两种产品

生产每种产品所需的材料呢

工时 电力和可获得的利润

以及能够供应的材料工时和电力

我们看是这样的一个表格

这是它需要的材料

每生产甲产品一种产品

需要材料 工时 需要电力产生的利润

乙产品需要的材料 工时 电力产生的利润

但是呢我有个最大的供应量

我不能无限制的供应

那最后什么这很简单

这个问题肯定是要要问什么呢

要问试确定两种产品每天的产量

你要去调配了

使得每天可能获得的利润最大

那我们可以设每天生产甲产品呢是x1件

乙产品是x2件

每天获得的利润

那我们可以用一个函数f（x1，x2）来表示

用这样的一个函数来表示对吧

甲产品x1件乙产品x2件

那好了我们通过这样的上面的题我们来看一看

你现在设计什么

需要利润最大化那应该是什么

max对吧是max

max f（x1，x2）=60x1+120x2

有什么约束吗

当然有约束了

满足于这么多约束对不对

首先我们的材料9x1+4x2≤360

我们的工时3x1+10x2≤300

然后电力4x1+5x2≤2000电力

每生产一个甲产品用4000瓦时的

每生产一个乙产品用5000瓦时的

同样x1大于等于0 x2大于等于0对吧

不能是小于0的

我们这里都是实际问题都是大于等于0的

最后呢是求什么呢

同样求x1x2为何值时

使得f（x1，x2）最大我们的利润最大化

这是一个实际的问题

那好了那这是我们两个问题

那同学看这两个问题看提到什么

我们这里优化设计这门课

我们的用途是非常广泛的

不管是你实际的生产制造

还是对于生产制造企业的一个

工序的安排的一个问题

都可以使我们优化问题来进行求解

用料最省 利润最大化

都是我们最常见的最常想象的这样一个问题

那有的同学可能想到

那这门课跟我们这个

这个电类学科的联系是什么呢

好像这两个问题有一点电力的

但是实际上不明显

有这个用电量这个问题

但不是很明显到底什么样呢

我们再举一个例子看一看

举一个大家都很熟悉的大家一看就很熟悉的

二阶有源滤波器大家都学过了

不管你是学电路还是学模电数建

以及后续的我们的滤波器问题

大家都是经常用到的

实际上我们说的任何一个电路

都是一个滤波器

二阶有源滤波器设计问题

滤波器的电路结构如图所示

很简单吗就那个二阶有源滤波器

这样一个如图所示

设放大系数k=2

要求在角频率弧度每秒的范围内

我们做了几个1 2做了6个采样点

在ω=0123456个角频采样点的时候呢

我们要求输出响应

你必须满足这样一个输出响应

我每给一个输入就有一个输出

那好了我在每一个角频率下呢

我要求我的输入和输出的关系呢

是满足这样一个关系

试问如何选择电导G1 G2

和电容C1 C2的参数

使所组成的滤波器的输出响应

与设计需求最匹配

这里边儿后边直白告诉大家

实际上所谓的设计需求最匹配应该是什么

误差最小对不对

那这个问题怎么去求解呢

好像比较麻烦的

不像刚才我们那个问题直来直去的

这个问题好像比较麻烦

我们看怎么求解

这是我们的输出响应的需求

这是我们的电路结构图

一样就是我们说那句话

利用你的专业知识

我们这里什么专业知识

利用电路分析

可以对这样一个电路

我们这样一个运算大家都会做对不对

对于这样一个运算

可以写出这样的一个方程

我先不管你的这个要求什么的

我就这么一个电路

我可以写出这样的一个方程对不对

你每一次给我一组G1 G2 C1 C2

我就能得到一组这样的关系的对不对

你只要给了我一组G1 G2 C1 C2

我这个值就是给定的

那我就有Ui和U0之间的关系

那这里面呢

我们这里面用G1 G2 C1 C2可能不是很直观

我们用统一的数学形式来表示呢

那我们就是可以设一下做一下转换

G1设为x1 G2设为x2 C1设为x3 C2设为x4

那可以写成什么呢

可以写出来U0

我们说U0（x1，x2，x3，x4，jω）

因为jω我们一个是取什么

0123456六个角频率的

然后呢等于抄下来一样抄下来

等于它乘以Ui（jω）

有了U0有了Ui这么一个关系

因为有这样关系我们下一步目的是什么

最匹配对不对跟谁匹配

是不跟它匹配啊

那意思什么意思

我当我给定了一组x1到x4这个值的时候

我是不每给一个ω

是不就会有一个Ui就会有一个U0

这个U0是不要跟这个U0是

我希望相等是最好的对不对

如果不相等那个误差最小是最好

所以总希望它俩相等或误差最小

然后呢我会保证什么

ω等于012345这6个值得下

都会越小越好对吧

我们总是希望这样子

那怎么做呢

我们让误差的平方和最小是不可以

什么意思

是不可以这样子

我让这是我的fx

我的实际的系统输出

减去设计目标它的

在每一个什么Σ下对不对

每一个i等于0到5

实际上就是每一个Σ

这应该是Σ等于0到5

每一个Σ底下它的误差

这是它的误差对不对平方和最小

为什么平方和

因为万一有的是正有的是负

本来那个正10那个差负10

你如果不做平方的话

直接求和的话不是10和10抵消了

你还以为是没有误差呢对不对

第二种方法怎么设计呢

我让什么

我让最大误差的绝对值最小

什么意思啊

我去追求什么

所以可以什么呢

max i等于0到5

然后呢让U0（x1，x2，x3，x4，jω）

减去U0一杠我们的设计目标

它的误差的绝对值最大这个东西

这是它的最大的误差绝对值

然后让它什么minfx

让最大化这个东西min最小

所以就是最大误差的绝对值最小

一个是平方和最小

最大误差的绝对值最小

所以说呢最后该问题归结为什么呢

求变量x1x2x3x4

使得函数fx要么是这样的一个误差的平方和

要么是这样的一个最大误差它的值

都是让它值最小minfx求minfx

最后满足条件是xi＞0对吧

我们说的我们这里不考虑什么

不考虑负电阻

不考虑再做一个负电阻

然后用什么运算做负电阻

我们不考虑负电阻

所以说呢我们xi＞0（i=1，2，3，4）

我们正常采购的我们不考虑这个

再设计一个负电阻这么一个关系

虽然是xi＞0有这么一个约束条件

那么这是我们的这个

实际的一个电学的一个

二阶源滤波器的这么一个问题

那好的我们看了这么多的一个引例

我们看了三个引例以后呢

我们可以有个感性认识什么

我们看到底我们如果做数学建模的时候

我们到底要建造什么样的一个模型

就可以进行第二步解模了呢

我们大家看一下数学模型的标准形式

什么样标准形式呢

大家可以已经有感受了

第一个minf（x）

然后呢我们这里是s.t

我们称之为Subject to

就是我们那个数学表示

就是说我们这是约束条件

什么条件呢我们有两类

第一类是什么呢

我们称为gu（x）≤0

然后呢有什么

有u个这样的不等式约束

什么u=1，2...m就像有m个

每一个表示有m的不等式约束

然后呢你会有p个等式约束hv（x）=0

这样由这样的不等式约束和等式约束

组成这样一个约束集

然后呢来求什么minf（x）

这是我们数学的一个

优化问题的一个标准的数学形式

讨论一下

那么如果说我们这里边的u=0v=0呢

那实际上什么

没有约束了

我们称为是无约束优化问题

否则呢只要有约束条件

我们都称为是约束优化问题

根据有没有约束项

分为无约束优化问题和约束优化问题

第二个呢如果f（x）gu（x）hv（x）

均为线性的

都是一次项对吧

如果是线性的则称为是线性规划问题

60x1+120x2你看这是不都线性的

x1 x2线性组合然后呢这是不也线性的

这是不也线性的

这肯定是线性的

1乘以x1 1乘以x2都是线性的

我们说的目标函数

所有的约束条件的约束项的函数

都为线性的我们称为是线性规划问题

目标函数所有约束相都必须是线性的

才是称为线性问题

只要有一个不是线性是非线性的

那就称为是非线性规划

哪个是非线性规划

我们例1是一个非线性规划

为什么例1是

是不这个s是x1乘以x2就不是线性了对不对

是个2次对吧是个2次它就是个非线性的

那么这还有个3次的对不对

x1x2x3-5=0这有3次的

它是一个非线性规划问题

那我们看一下

对于这样的一个数学模型

我们给它标准形式

那下一步问题是

我们怎么样找一个方法

能够把我们的实际问题

一步一步一步的去进行数学抽象

最终写成这样的一个标准形式

我们要有个方法性的东西有指导性的

就是课程教给你们的这个用途

就是怎么写这个

那我们分析这样的一个数学模型呢

我们发现这里面有个数学模型的三要素

你抓住了这三个要素

你就可以很容易的把实际问题变成数学问题

三要素是什么呢

第一我们称为f（x）

我们称为是目标函数

目标函数是求解的目标f（x）就这里的f（x）

第二x设计变量

我们称为是设计x称设计变量

或称为是这个决策变量待求解的参数

第三gu（x）hv（x）我们称为是约束条件

或称为是约束函数

gu（x）hv（x）约束条件或者是约束函数