当前课程知识点:优化设计 > 第二章 优化设计的极值理论与数学基础 > 2.3 二次函数 > 2.3 二次函数
我们继续讨论二次函数形式
那么对于二次函数的标准形式呢
我们来看一看
我们说跟刚才形式看起来很相似
f(X)等于二分之一的x梯度HX
加上B转置X加C
我们说对于你看
我们实际上过程是个渐进的过程
对于任意一个函数我都可以把它变成
用Taylor展开变成一个什么
多项式的形式
然后呢我后边项由于影响值很小
所以把后面项忽略
就只剩下前面三项
前面三项什么
二次项一次项和常数项
那我们对于这样的一个形式
对这一点处的这样的一个二次函数呢
我们和大家进行一些讨论
为了方便我们后续求什么
求最优 求极值点我们来进行讨论
那么这里边呢
H我们认为是n乘以n一个常数矩阵
B呢是n阶的一个常数列向量列阵
C是一个常数项
变量是x
那么对于这样的一个二次函数呢
我们首先回忆一下
这像是我们复习
对一个矩阵的一个正定和负定的判断
我们后面会用到
对于任意的非零向量X
如果存在X转置乘以H乘以X大于0的话
则H为正定矩阵
这是一个什么
这是一个标准的一个定义
如果存在这样的一个X的话
那么就是一个正定矩阵
判定条件
那我们具体做判断一个H
是不是正定怎么判定呢
我们可以给你判定条件
H的各阶主子式均大于零
我们称为它是正定的
实际上就是这样
什么叫各阶主子式
本来H是一个什么
H是个矩阵对吧
矩阵行列式的关系大家还应该记得
这是个矩阵
然后各阶主子式是什么
是不是取第一阶的
取第二阶
取第三阶
一直到取第n阶
各阶主子式的
实际上它的行列式的值上是
第一阶没有东西就是这个了吧h1
如果h1大于0
第二阶是这个东西做它行列式
这个行列式怎么求
是它乘以它减去它乘以它对不对
就是h11 h22减去和h12 h21
如果它也大于0
三阶怎么求啊三阶
就这个公式了
这公式是不很难记呀
教大家一个方法
实际上你先把这个先乘出来
这样乘出来
h11 h22 h33这样乘出来
乘出来以后呢
这一项是什么东西
看我这个动画
这个和这个乘起来
然后呢还差谁
是不它跟它啊
它跟它乘起来
这三样都是正的
然后减去什么呢
减去这样子的
减去这一项
减去这一项
这样减完你就不会错了
那么用我这样的方法
你做四阶五阶都没有问题
就不用记那么多公式了
所以等于它
如果说h11大于0
二阶的也大于0
三阶的也大于0
一只往下做
一直做到n阶全都是大于0的话
那么我们认为h是一个正定的
那么对于负定来说怎么判定负定
对于任意一个非零向量X
如果存在X的转置乘以H乘以X小于0
认为H是负定的矩阵
那么这也是负定的一个定义
那么怎么来判定负定呢
判定原因是什么
是各阶行列主子式都小于零吗
是这样吗
那个大于零这个小于零是这样吗
不是吧是什么
判定条件H的各阶主子式的负正相间
是称为是负定的
第一阶的h11是小于0的
h第二阶的是大于0
第三阶是小于0
小于0大于0小于0大于0这样的一个关系
是正负相间的关系是称为它是负定
注意了这里可不是说
所有都是小于0是负定的 是什么
正负相间是负定
先是什么它乘以这一项然后再乘以这一项
减去它乘以这一项再乘以这一项
注意不符合正定负定条件的矩阵
称为是不定矩阵
二次函数的正定负定
对于矩阵正定负定的判定
-1.1 优化设计概述
-1.2 优化设计的数学模型
-1.3 最优化问题几何解释
-第一章 讨论
--第一章讨论
-第一章 作业
--第一章 作业
-2.1 函数的梯度
-2.2 多元函数的泰勒展开
-2.3 二次函数
--2.3 二次函数
-2.4 无约束优化问题的极值条件
-2.5 凸函数
--2.5 凸函数
-2.6 约束优化问题的极值条件
-2.7 优化设计方法的基本思想与迭代终止准则
-第二章 讨论
--第二章讨论
-第二章 作业
--第二章 作业
-3.1 搜索区间的确定及区间消去法原理
-3.2 黄金分割法
-第三章 讨论
--第三章讨论
-第三章 作业
--第三章 作业
-4.1 共轭方向法及其改进
-4.2 梯度法
--4.2 梯度法
-4.3 牛顿法
--4.3 牛顿法
-4.4 变尺度法
--4.4 变尺度法
-第四章 讨论
--第四章讨论
-第四章 作业
--第四章 作业
-5.1 复合形法
--5.1 复合形法
-5.2 惩罚函数法
-第五章 作业
--第五章 作业
-6.1 遗传算法
--6.1 遗传算法
-6.2 人工神经网络与神经网络优化算法
-第六章 作业
--第六章 作业
-7.1 实例
--7.1 实例1
--7.2 实例2
-第七章 作业
--第七章 作业
-期末考试
--期末考试




