1.2 优化设计的数学模型（下）在线视频

我们来一个一个来看看

这三要素的代表具体的含义

以及怎么去进行设计

第一设计变量决策变量

我们说对于一个系统

所有的要素我们都称为是参数

参数组成系统的要素都称为参数

那么这里就是我们说的

包括预知参数和设计变量

由最优化决定的参数

在优化过程中处于变化的状态

这些参数我们称为是设计变量或者是决策变量

与之对应的可事先确定的参数

我们称为是设计常量或是预知参数

那我们这里边看我们这里要做设计变量

所以我们这里主要是来设计哪些是设计变量

哪些是就是我们这里的决策变量

设计变量我们用X来表示

X等于x1 x2 x3一直到xn

我们实际上是一个列向量

然后呢我们为了省地方把列向量写什么

横向量的一个转制

几何表示意义

如果n=2是什么x1 x2

那你们都学过

如果说X等于x1 x2转制什么意思

那如果每一个设计变量的X

都是这样的一个平面里面的一个矢量对不对

有什么啊有大小有方向

它的投影是x1和x2对吧

由x1 x2组成的X这样的一个矢量

所以我们说的设计变量是一个矢量

有大小有方向

如果n=3呢

一个空间里边的矢量

所以说我们说的设计变量等于x1 x2 x3 xn

转制它是个矢量

那如果说是n=4呢n=5呢

画不出来了

它是一个四维空间五维空间画不出来了

它就是这样的一个一个矢量

所以说呢

第一X是由坐标原点出发的矢量

其端点表示一个设计点既一个设计方案

我每一个X就是由一组x来决定的

它就是一套设计方案

这里我没有说这个设计方案

是最优的还是不优的

甚至也没有说是可行的还是不可行的

都没有说

它就是一套设计方案

那么所有设计点的集合

我们称为是设计空间

第二这里边呢要注意

你在做设计变量选取的时候呢

xi i等于1到n

表示x沿第i个坐标轴的分量

我们要注意i是什么

xi是相互独立的变量

什么叫相互独立

肯定是什么

这是什么这叫什么

垂直或者叫做正交的对吧

是要正交的

是什么相互独立的

否则的话你x1一变x2也跟的变了

那你这个耦合相的话

这样设计就没法设计了对吧

x1一变x2也跟的变

否则的话你x1 x2本来就存在一个耦合关系

x1 x2存在一个线性关系耦合关系的话

你x1最后你设计出来x1 x2

这两个值取完值以后不满足这个关系

系统没发运行

所以说呢x是相互独立的变量注意这一点

第三n是维数设计的自由度

这里注意什么

对我们设计的技巧就是什么

从你实际工程问题

到你的数学模型的

这样一个过程的时候

你设计的一个技巧什么

n的设计的时候n的选取

如果n选取的大什么意思啊

我选择的设计变量维数高

或者我选择的设计变量多的话怎么办

我的设计方案选择灵活性非常高

问题就变的非常复杂

所以n越高可能你的数学模型

越贴合与你的实际问题

但是你求解起来可能会越困难

反之n越小你的求解非常简单

但是你的数学模型的问题

和实际问题可能就会有一定的偏差

第四最优解我们用X*来表示

X*等于x1* x2* x3*到xn*

我们把它称为是最优解

就是你要寻求那个最佳的设计方案

这我们称为是最优解

这第一个我们的决策变量

第二个目标函数

你要做的那个目标是什么东西

一般形式我们用f（X）等于fx1 x2到xn

就是x就是我们的设计变量

和我们的决策变量的它的一个函数

一个数学表达形式一个Function f（X）

定义设计中预期达到目标的数学表达形式

其函数值的大小

来评判一个设计方案的优劣称为目标函数

又称为评价函数用f（X）来表示

是设计变量xi的一个函数

很好理解它的一个函数

目标大致可分为两类

我们的目标通过我们的实际的这样的一个

生产过程这样优化设计的问题呢

我们总结出来可以分为两类

一类呢是极大化问题

我们的效果的目标

比如说利润 产值 增量 效益 生产率

可靠性 精度等等大家都希望什么

最大是吧越大越好利润越大越好

产量越高越好增量越大越好效益越大越好

生产率越高可靠性要求高

我们在这个精度要求高都是什么

极大化的目标

另外一类是最小化的问题

最小化的目标成本目标

成本最低 时间最省 重量最轻 体积最小

人力用的人力最低

我们现在人力成本都变高了对吧

材料用的最省损耗最低

我们的这个网损我们的线损最小对不对

我们的误差刚刚说的

误差是最小的

误差越小越好等等这些问题

在这一类问题都是极小化的目标问题

一类是极大化一类是极小化的目标问题

极大化和极小化

那么这里面呢我们这门课呢

我们约定都是求极小化问题minf（X）

那你就问那到底如果实际工程有极大化问题

你这门课是不是就不能用了

不是的很容易对吧

我们这里边如果说

是max的f（X）怎么做min

实际上你改成负的不就行了吗

min负的f（X）就可以了

甚至我们可以怎么做

min什么f（X）分之一

但f（X）分之一有个问题是什么东西

是不那个如果是无穷大等于0的那个问题

那个问题不连续的是个不连续的

所以我们用min负f（X）就可以了

或者说我们这样的

因此呢我们统一做minf（X）

你把f（X）决策变量的

数学表达形式写出来

然后求它min

那好了如果我们按照以目标函数来看的话

如果设计指标只有一个的话呢

我们称为是单目标优化问题

如果说设计指标有多个

比如说我们不仅要求什么成本最低

我们还要求什么误差最小

那就是多目标优化问题

一个是单目标优化问题

一个是多目标优化问题

那多目标优化问题时候呢

那么你可以做什么呢

怎么来写呢我们教给大家一个方法就是

可以写f（X）等于Σ求和j等于1到q

wj fj（x）那么这样的

实际上wj 相当什么它的权值对吧

每一个优化目标在整个优化元素占的比重

那我们这里边呢wj呢我们取wj=wj1*wj2

为什么这么取呢

可能跟你们平时做的不一样

你平时可能做实际的

这样的一个科研或者什么呢

就取w不就行了吗

w取0.1 w1 0.1 w2 0.3 w3 0.6

0.1+0.3+0.6等于1不就行了吗

为什么是这样子我们来看一看

式中w呢我们称为是加权因子

wj1>0本征因子称为本征因子干嘛用的呢

其大小来平衡各分目标函数

fj（x）之间的重要度程度

wj2>0是校正因子其大小来调节各分目标函数

fj（x）之间在数值量级上的差别

wj1实际上这里面的wj1

是你们平常所说的这样的一个

本征因子就是加权因子

来衡量来平衡各分目标函数

fj（x）之间的重要程度

咱们不说多了它就两个f1 f2是两个函数

你到底f1取0.5f2取0.5

还是f1取0.3f2取0.7

这个你要去平衡

是要考虑成本最小化多一点

还是考虑这个误差最小多一点

这是你要来权衡的对吧这是第一

那么第二个呢

Wj2是要考虑校正因子

其大小来衡量各分目标函数

fj（x）之间的在数级上的差别

来进行校正

什么意思

那就说可能你f1的值数值量级就非常大

f2的量级是非常小

目标函数的等值线

我们设f（X）=Ci用一个常数

那么这样的话呢我们来看一看呢

让n=2这么一个例子我们来看一看

n=2的话呢我们可以做什么呢

我们可以做这么一个图像

两个决策变量对不对

两个决策变量一个x1一个x2

所以说我的解空间

或者我的可取的解空间

是不是就这个平面啊

这个平面任意一个点

是不就是x1和x2一个组合

那就是一个矢量

就是我的一个X决策变量

就是我的一个系统解

那我这个系统解代到f（X）里头

是不是会等于一个值

就会等于一个目标函数值

那好了那如果这样的话呢

假如说我的每一个x1 x2和f（X）之间

存在是这么一个关系

我每有一个x1 x2就会出来这么一个f（X）

最后会出来这么一个图形的话

那我们看一下

如果说我令f（X）=C的话什么意思

f（X）=C在这个上面是什么样的图形

是不是一个平行于

x1 x2这个平面的一个平面是不是这样的

我给大家这么一个平面

是不像把刀一样把它切一下

那切完以后对于f（X）这么个曲面的话

是不会落下来一个椭圆的轨迹

把它往下投影

投影到x1 x2这个面上的话

那么这一个圆或这个椭圆上的每一个点

所对应的f（X）值是不这个值

那么这个点对应的f（X）是不也是这个值

这两个值相等吗

相等肯定相等是吧

那同样这个点所对应的是不是这个值

是不也相等什么意思

那是不是这个椭圆上所有的解

对应的f（X）是一个值对不对

是不对应这个系统来说等效的

不管你是用这样的一套方案

还是用那样一套方案

所最后做出来的系统的结果是等效的

那好了那我们把这样的

能使f（X）取相等值的这样的一个解集

我们称为是等值线

为什么称等值线呢

因为在我们的n=2x1 x2这个曲面里面

这是一条线

我们称为是等值线

那么同样我再切一刀是不另外一个C了

那么又会有一个等值线对不对

那什么意思

在这一条线上面所取得的任何一个解

都使f（X）等于另外一个值

但是这些值都会相等

又是个等值线

那因此说呢我再取又是个等值线

再取往下取也是一个等值线

那是个越往下取

是不f（X）值越小

最后我求什么

求min是不是

最后就这个点是我们要求的其实是

那么这个点对应的那个点是什么X*

就是你要求的最优解

就是你求得最好的最优的

那一组决策变量

也就对应着你系统的最优的那套可行方案

就是我的X*

那好了我这样一刀一刀切切完以后

对应这样出来是不一个一个

这样的线这样一个圈套在一块这样的

我们把这样的圈我们称为是等值线

目标函数等值线我们进行些讨论

定义具有相等目标函数值的设计点

所构成的平面或者是曲面

当n>2时是等值面或者是等值超曲面

如果是n=2就是等值线

如果n=3

n=3时候是不这个就画不出来了

我只能画出来x1 x2

但我x3画这f（X）就画不出来对不对

因为f（X）是个变成四维了画不出来

但是我x1 x2 x3可以画出来的

那就应该是个等值面

如果n=4的话变成等值超曲面了

这是我们的等值线或等值面的定义

性质第一等值线清晰地表示了

f（X）值的变化情况

我们这里有个名字叫做函数的性态

它可以清楚的表示f（X）的变化情况

什么变化情况

如果我们求的是minf（X）

是不是越往内函数值越小啊

因为是求minf（X）

所以说越往内函数值越小

那么第二个等值线的稠密方向函数值变化越快

反之变化越慢

第二不同值的等值线或等值面是不相交的

为什么

等值线或等值面相交什么情况

我让这个曲线

外面这层曲线和里边这层曲线相交什么意思

那是不是这个点

我又可以让函数值等于5

又可以让函数值等于3啊

那是什么啊那不是混沌了吗

对于一个值的话

你不确定在一个确定系统中

产生不确定的函数值不就是个混沌吗

一会等于5一会等于3

到底是等于5等于3也不知道

所以说呢不同等值线或者是面是不相交的

那好啦第三个

一般在X*附近等值线或等值面

呈现是同心椭圆或椭球族的情况

其中心点就是你那个什么

无约束优化问题的最优解X*

我们讲了决策变量讲了目标函数

我们看第三个

三要素里边的最后一个约束条件

对设计变量所加的限制条件

我们称为是约束条件

约束条件表达形式

到底什么样的形式来表示我们的约束条件呢

看一下第一个不等式约束

gu（X）≤0

我们刚才其实已经讲了

有m个不等式约束

gu（X）≤0 u等于1 2一直到m不等式约束

第二等式约束

hv（X）=0 v等于1 2一直到p

p是小于n的

不等式约束和等式约束

这是表达形式

第二约束的性质呢我们来看一看

第一个我们称为是性能约束

设计变量必须满足的某些设计性能的要求

如强度 刚度等等

又称为是隐式约束

不好理解我们来看看底下一个

对比着看就好理解

第二边界约束

设计变量的上下界我们称为显式约束

什么意思

x1必须是大于0小于4

或者x1必须大于4米

什么很直白就是ai≤x1≤bi

第三约束条件的几何意义

我们讲了数学东西让大家很好理解的话

我们一般会讲它的几何意义对吧

因为大家对直观的形式会更好理解

我们对于数学抽象会难理解

我们看几何意义

gu（X）=0我们称为是约束线

或者是约束面或者约束的超曲面什么意思

本来gu（X）应该是什么

不等式约束对不对

应该是gu（X）≤0的我们这里让它等于0

gu（X）=0是不是感觉就像那个

f（X）=C一样处理啊

那么也会形成什么

形成线或者是面或者是曲面或超曲面

所以我们当gu（X）=0时候

我们称为是约束线或约束面

我们看一下

那么实际上如果是个二维的话

假如我是二维我可以画出来

因为再高维画不出来你们也不好理解

如果是二维能画出来

是不这个平面就是我的解集对不对

然后呢我让gu（X）=0是一条曲线

我随便画一条曲线

那么画完这条曲线以后呢

我这条曲线把这个平面分为了两部分

这一部分和这一部分两部分

我们认为gu（X）＜0是底下那部分

我们称为是可行域

因为什么我们要约束什么

gu（X）≤0么

所以这个小于等于0这个就可行了

那么上面那一部分呢

gu（X）＞0的话呢

这一部分呢我们称为是不可行的对吧

本来是大于0不满足约束吗

所以是不可行的我们称为是不可行的

我们用打上斜线

打上这个实体斜线不可穿越的

像墙体一样不可穿越的

所以说有了gu（X）=0

我们可以把我们的解空间呢分为

可行域和不可行域两部分

那好了这是gu（X）=0非可行域

那我们在可行域里面的随便找一个点什么点

自然就是可行解对不对

在不可行域里面找一个点就是不可行解对吧

我们先不提什么先不提这个解的优越性

我们先说什么

找到一个可行解先可以交差了

这个解是可行的

最起码就叫系统生产出来

是ok的是可以运行的

所以我们要找可行解

最起码在这里边找可行解

然后在所有的可行解里面

那个最好那个解是什么

是我们的最优解对不对

这里边又可行又是效果最好那个解是最优解

这是可行点不可行点

我们要找可行点

好了我们看

那如果说我们这里边呢

不仅仅只有一个约束

我们gu吗u是等于1到m有很多个约束

如果不仅仅只有一个约束

我一个约束是不就可以做一个约束面啊

那好了我g1（x）=0做一个约束面

把它分为可行的和不可行的

那同样我g2（x）=0又有一个约束面

分为可行的和不可行的

那么同样g3（x）假如是条直线也是一个约束面

分为可行的和不可行的

那么g4（x）=0又分为可行的和不可行的

我这四个假如说我这个问题

就四个不等式约束

我这不等式约束都把它等于0的话

分为了四个约束线或约束面的话

把整个解原来解空间是什么

是不整个白板呢

现在变成什么了

是不变成了两部分

一部分外头这部分一部分里头这部分

哪一部分是可行解

是不是里边这一部分是我们的可行解对不对

是我们可行解

那你要找的这个目标函数

找这个决策变量应该是什么

在这里面任意取一个点

都是可以运行的

你不能在这里面取一点

取一点以后是不就不可行啊

所以这个区域呢我们称为D

我们称为是可行域

大写字母的D表示称为可行域

那如果在可行域里边呢

我们还有什么呢hv（x）

hv（x）什么东西

hv（x）是我们这里边的等式约束

那好了等式约束hv（x）就是等于0对不对

它就是一个一条线

那我如果这样再画一下的话考考大家

现在的可行域是什么

是不是这个面和这条线的交集啊

是不只有这个红线

曲线的这样一个线段这一块是不是这样的

为什么

因为我对于h1（x）来说

只有这条线上是可行

你这么多个平面都没有用处

只有我这一条曲线上是可行的

对吧是可行的

但是呢你对于其他的不等式约束

限定的我只能在这个平面里面取

所以我只能是这一条线段

好吧那这是h1（x）=0那现在什么

假如我有四个不等式约束和一个等式约束

我们是这样一个

我们的可行域变成什么了

只有这条线段对不对

假如说我还有一个等式约束h2（x）=0

我现在问你现在的可行解是什么

是不只有交点啊

是不是这一点了

那就这一点变这一点

这是我们可行解这一点

那就变成什么了

我有两个等式约束在n=2的情况下

我有两个等式约束

就是把我这个可行域最后变成了一个点对不对

变成一个点了那你说这个点

我的目标函数最优解是哪个

是不就这个点了

为什么

我的可行域只有这么一个点了

那这个点你别管好坏那就是这个点了对不对

道理也是一样

你们家如果就你这一个孩子

你们家孩子最好那个孩子是不就是你

最坏那孩子也是你

反正就那一个点就那一个孩子

那就是你这一个了对吧

所以说你看有n=2的情况下

我有两个等式约束

我的可行域就变成一个点

那这个点自然而然就是我的最优解了

就是我最优解

因为什么这个解就一个解跑不掉这个解

那就是我的最优解了

所以说呢

我们说等是约束的个数p是要小于n的

什么意思啊

我这里边n=2时候我p等于几是不等于2

两个等式约束对不对

是不没有什么解的意义了

你都不用解优化问题了

你就让连立方程组

你就让h1（x）=0 让h2（x）=0

连立起来解这个x就行了

你没有什么可优化的

没有优化因为就那一个值

想优化你也优化不了了

所以说是没有意义

所以说等式约束个数p是小于n的

等于n怎么办

就没有什么可优化的问题了

那同学说那我不行我就让p大于n呢

我们看假如说我们就让p大于n怎么办

什么意思啊

我还有第三条等式约束

那时候怎么办

你想如果我还有第三条等式约束的话

想让它有解怎么办

是不第三条等式约束必须经过这个点

如果不经过这个点呢

你这个系统就无解是不是啊

你系统就无解了所以说什么

如果p大于n的话

你只有凑巧第三个等式约束

也经过那个点的时候你系统才有一个解

否则的话系统无解

那你做出来的系统你让我求解

解不出来的没有解这个系统没有解

这告诉你什么

从理论上给你一个指导方向什么

当你设计约束条件的时候

或你设计数学模型的建立数学模型时候

你要去考察什么

你的决策变量个数和等式约束的个数的关系

假如你做了一个n等于5维的一个问题

你结果做等式约束做七个等式约束

那你就小心了有可能你这个系统就没有解

你系统就根本没有解解不出来这个系统