当前课程知识点：水资源系统分析理论与应用 > 第五章 多目标规划 > 5.2多目标规划模型与解的概念 > 5.2多目标规划模型与解的概念
大家好
本单元主要讲授多目标规划模型与基本概念
我们先来看一下多个目标的
向量优化问题的一般型式
可以表达为含n个待优化决策变量的
向量x构成的p维目标函数的优化问题
我们以一个含f1和f2两个目标的
多目标优化问题为例
如图所示
这两个目标的优化的过程中
有如下几类解
第一类解位于区域Dpa范围以内
在这个范围内
想要增加f2的目标函数值
这必然会导致f1的目标函数值下降
反之亦然
所以
在这个区里的
目标之间具有一定的置换关系
也就是改善其中一个目标必须
要使另一个目标恶化
还有一类解位于Dpa以外的区域
比如图中的解x1和x2
可以看到
在解为x1的条件下
对应的第一个目标函数值f1和x2条件下
对应的f1目标值相等
但是
X2对应的第二个目标函数值
为要比x1对应的目标函数值f2要大
所以从理性决策的角度来说
X2要严格意义上优于x1
那么也就不会选择x1作为待选方案
所以可以看到不同的解随目标函数值的大小
关系有不同的规律
在多目标问题中
我们通常关注解之间的如下关系
学术术语称为支配关系
那什么是支配关系
也就是如果解x2对应的
所有目标函数值
都优于x1对应的目标函数值
则称x2支配x1
也称为X1被x2支配
如果一个解被另外一个解所支配
比如图中的x1被x2所支配
那么称这个解为劣解
在定义上就是至少
被其余一个解所支配的解
很显然
我们不会去选择一个劣解
因为有比它更好的方案
还有另外一类解
比如位于Dpa区域的解x3
Dpa区域左侧的解如果
对应的f1函数值
比X3对应的f1函数值要大
那么
左侧解对应的f2函数值
便低于x3对应的f2函数值
同样
在Dpa区域右侧的解也满足这一规律
也就是说
在整个可行域上
找不到任何一个解比x3的两个目标值
都同时更优
所以X3这类解被称为非劣解
也就是不被其余解所支配的解
由于多目标问题不存在
使得所有目标都达到
最优的绝对最优解
所以
决策最终就是要从所有的非劣解中
找到一个或若干个满意方案
这通常会对决策者近造成困扰
这是因为非劣解之间没有支配关系
也就是一个目标增优会导致
其余至少一个目标恶化
这个时候就会造成选择困难症
就像购物过程中常面临“便宜不好货
好货不便宜”的问题
为了严格地给出多目标非劣解的定义
下面介绍向量不等式的概念
对于n维实数空间中的向量a
与向量b
a大于等于
等于b
a大于等于b
且至少有一个不等号严格成立
a大于b
总结一下
对于一个目标向量最大化的问题
我们给出三类解的定义
第一类解为绝对最优解
命为x*
如果对于任意的属于可行域内的
其他解(x)均有x*的所有目标值
均大于等于x对应的所有目标值
那么x*就称为绝对最优解
第二类为非劣解
如果不存在某一个解x
使得X的目标函数值均大于
等于X*对应的目标函数值
那么x*就称为非劣解
所有非劣解的结合叫非劣解集
第三类为劣解
也就是存在某一个可行域内的解x
使得X的所有目标函数值
均比x*对应的目标函数值更优
那么x*就是劣解
所以
多目标规划问题的解
就是从非劣解集中选择决策者
对各个目标都满意的解
或称之为“最佳协调解”
经济学家称之为帕累托最优解
我们来看一个两个函数优化的
多目标问题
图中已经根据约束条件的表达式
确定了可行域决策空间
然后对应地把f1和f2两目标的目标空间
绘制在了右边这张图上
可行域是折线段E-D-C-B左下角的这块区域
在右边这张图上
有这么三类解
首先是点i对应的解
它同时在f1和f2两个目标上
都取得了最大值
但是这个解并不在可行域内
所以
这个解就是绝对最优解
也是不存在的理想情况下的最优解
第二类解是折线段E-D-C-B上面的解
这上面的解有这样一个特征
如果F2增加则必然f1减少
f1增加则f2减少
他们之间成矛盾置换关系
所以
这类解就是非劣解
第三类解是在可行域内
但又不在线段E-D-C-B的解
比如点G对应的解
如果拿点G的解的DC上q点的解
相比的话可以看到
在f1相同的条件下
Q的f2要比G的f2值要大
所以G被Q所支配
横向地看
G跟线段上的H点相比的话
在f2取值相同情况下
H解的f1值要高于G的f1值
所以G同时也被H所支配
那么G就是劣解
最终决策就是要从
非劣解折线段E-D-C-B的所有解中
按照决策者的偏好去选择一个协调解
决策者的偏好可用无差异曲线来表示
无差异曲线表示在给定目标效用量下
能使各目标组合产生最大效用的可行方案
即最佳协调解
或者也可以通过非劣解之间的
置换率分析的方式来寻求协调最优解
也就是需要向决策者了解他愿意
以多少个单位的f1制定置换多少个单位的
f2的置换方案
这需要根据他心里预期的最优置换的
比率去优选一个或者多个协调解
目标函数之间的置换率
可以用目标函数间的边际增长率
也就是偏微分导数来衡量
这也是决策过程中的一个重要依据
本节课到此结束
谢谢大家
-1.1 水资源系统分析问题的提出
-1.2 系统的概念与系统方法
-1.3系统分析的概念和内容
-1.4水资源系统分析方法
-1.5水资源系统分析量化方法案例
-第一章测试
-2.1非线性优化数学模型与求解方法
-2.2最优性条件
--2.2最优性条件
-2.3一维优化与线搜索
-2.4无约束极值问题的解析法
-2.5二次规划
--2.5二次规划
-2.6约束非线性优化罚函数法
-2.7非线性优化直接方法
-2.8 SCE-UA算法
-2.9可变容差法
--2.9可变容差法
-第二章测试
-3.1多阶段决策问题
-3.2动态规划基本原理
-3.3水库优化调度建模及求解
-3.4 随机动态规划模型
-3.5水库优化调度实例
-第三章测试
-4.1遗传算法
--4.1遗传算法
-4.2粒子群算法
--4.2粒子群算法
-4.3蚁群算法
--4.3蚁群算法
-4.4狼群算法
--4.4狼群算法
-第四章测试
-5.1多目标规划问题与特点
-5.2多目标规划模型与解的概念
-5.3多目标规划求解方法
-5.4多目标规划的实例
-第五章测试
-6.1动态系统预测方法导论
-6.2时间序列方法
-6.3线性动态系统模型方法
-6.4 BP人工神经网络方法
-6.5支持向量机方法
-6.6洪水过程动态系统预报方法实例
-第六章测试
-7.1评价程序与评价指标
-7.2层次分析法
--7.2层次分析法
-7.3模糊综合评价法
-7.4投影寻踪评价法
-第七章测试
-8.1决策分析的基本概念
-8.2 不确定性的基本概念
-8.3 完全不确定型决策
-8.4 风险的多维度量
-8.5 风险型决策（1）
-8.6风险型决策（2）
-第八章测试
-期末测试
-期末论文
