当前课程知识点:惯性导航原理 > 第二章 陀螺仪基本理论 > 2.3陀螺仪运动方程的建立 > 2.3.2 二自由度陀螺仪运动方程
前面学习了
二自由度陀螺仪
在外力矩作用下
运动表现
可以归纳为
三个基本特性
进动性
陀螺力矩效应
稳定性
这些特性
形成了
对二自由度陀螺仪的
感性认识
按照认识论一般规律
感性认识下一阶段
是理性认识
需要进一步研究
二自由度陀螺仪运动
与外力矩之间
定量关系
即
建立二自由度陀螺仪
运动方程
本节课学习
二自由度陀螺仪运动方程建立方法
内容包括
一
惯性力矩确定
二
二自由度陀螺仪运动描述
三
用动静法
建立二自由度陀螺仪
运动方程的步骤
在动静法应用中
惯性力矩的确定
是关键
根据理论力学知识可知
惯性力矩
可以表示为(1)式:
(1)式中
Mr为相对惯性力矩
Me为牵连惯性力矩
Mc为哥氏惯性力矩
以二自由度陀螺仪为例
按照刚体定点转动理论
假设
陀螺仪系统
各个部件
都是刚体
则以上惯性力矩
可分别表示为
(2)式
(3)式
(4)式
其中
J为转动惯量
θr两点为
相对加速度
θe两点为
牵连加速度
H为陀螺仪角动量
ω为牵连角速度
这些力矩的确定
都和刚体运动有关
因此
要用动静法
建立二自由度陀螺仪
运动方程
首先要进行
二自由度陀螺仪
运动分析
二自由度陀螺仪
是一个刚体系
由转子 内环 外环 基座四部分构成
要描述
二自由度陀螺仪运动
需要建立不同坐标系
对于
二自由度陀螺仪
动力学问题
研究的是
自转轴
相对惯性空间的运动
由于自转轴
与内环固连
所以
首先建立一个
内环坐标系
描述内环与自转轴角运动
称为陀螺坐标系
用下标g表示
X轴
沿内环轴方向
Z轴
沿自转轴方向
Y轴
按右手定则确定
是一个非惯性坐标系
内环轴
固连于外环
还需要建立一个
外环坐标系
用下标1表示
X轴
沿内环轴方向
Y轴
沿外环轴方向
Z轴
按右手定则确定
是一个非惯性坐标系
外环轴
固连于基座
还需要建立一个
基座坐标系
用下标c表示
描述基座
相对惯性空间的
角运动
Y轴
沿框架轴方向
X Z轴在初始时刻
与陀螺坐标系
外环坐标系重合
也是一个非惯性坐标系
基座
又相对惯性空间运动
所以
还需要建立一个
惯性坐标系
用下标i表示
其三个轴
在初始时刻
与陀螺坐标系
外环坐标系
基座坐标系重合
一般不需要画出
根据坐标系
就可以方便描述
二自由度陀螺仪角运动
二自由度陀螺仪
由于结构复杂
其运动关系也很复杂
在工程应用中
面对复杂问题
一般解决思路是
简化
例如在这里
可以先假设
基座相对惯性空间
是静止的
这样
只需要先研究
框架相对基座的运动
简化了运动分析条件
便于问题求解
在分析完
框架相对基座运动之后
再考虑基座
相对惯性空间运动
所以
有假设2
基座相对惯性空间静止
初始时刻
认为g系 1系 c系重合
绕内环轴 外环轴
作用在陀螺仪上的外力矩
分别为Mx和My
并且
它们沿各自轴正向
定义为正
在外力矩作用下
陀螺仪将产生绕内环轴 外环轴转动
假设陀螺仪
绕内环 外环轴
相对惯性空间
转动角加速度 角速度
分别为θx两点
θx点
θy两点
θy点
并且
它们沿各自轴的正向
定义为正
当陀螺仪
绕外环轴转动θy角
并且绕
内环轴转动θx角时
各坐标系之间的关系
如图所示
另外
还有一个转动
转子相对自转轴转动
不考虑基座运动
二自由度陀螺仪运动
可以归结为三部分
一是转子自转
为相对运动
用Ω表示
其对应角动量
用H表示
H=JΩ
二是内环相对外环转动
三是外环相对基座运动
这两种运动
既是相对运动
又是牵连运动
那么
需要建立几个方程呢
如果
不考虑基座运动
研究对象就包括三部分
转子 内环 外环
转子绕自转轴
相对内环运动
内环相对外环运动
外环相对基座运动
需要建立9个方程
转子除自转之外
还会随同内环
绕内环轴转动
随同外环
绕外环轴转动
内环除了相对外环转动
还会随同外环
相对基座转动
外环
只相对基座转动
所以给这些运动归类
由于
自转轴固连于内环
转子绕内环轴转动
和内环绕内环轴转动
是同一个运动
所以
绕内环轴方向
只需要列写
一个方程就可以了
同理
绕外环轴方向
也只需要列写一个方程
绕自转轴的运动
只有转子参与
需要单独列写
综合以上分析
只需要列写
3个运动方程
分别是
转子绕自转轴
相对陀螺坐标系运动方程
内环组件包括转子和内环
相对内环轴运动方程
外环组件包括转子 内环 外环
相对外环轴运动方程
按照动静法要求
需要把陀螺仪
相对惯性坐标系运动
转化为
相对非惯性坐标系运动
如何选取非惯性坐标系呢
在这里
非惯性坐标系有两个
一个是陀螺坐标系
另外一个是外环坐标系
为分析方便
当考虑外环运动时
选择外环坐标系
作为非惯性参考系
分析内环运动时
选择内环坐标系
作为非惯性坐标系
首先考虑自转轴方向
从设计上
要求转子绕自转轴
以角速度Ω匀速转动
在工程实现上
是可以
以一定精度要求
满足的
为了问题分析方便
不妨假设
转子绕自转轴匀速转动
实际上
只需要列写两个方程
按照动静法原理
列写运动方程
只需要
把相应运动找出来
按照
刚体转动理论
列写对应惯性力矩
就可以了
以内环轴为例进行分析
第一步
列写相对惯性力矩
绕xg轴相对运动加速度
为θx两点
根据相对惯性力矩要求
假设陀螺仪
相对框架轴转动惯量为Jx
则相对惯性力矩
如(5)式所示
第二步
列写牵连惯性力矩
绕框架轴
牵连加速度为0
则牵连惯性力矩为0
这两种力矩
统称为转动惯性力矩
第三步
列写哥氏惯性力矩
哥氏惯性力矩
由两部分构成
一部分是转子自转
这是一个相对运动
用角动量H表示
另外一部分是牵连运动
主要是确定牵连角速度ω
对转子而言
牵连运动有两部分
一部分是
内环相对外环的运动
其牵连运动角速度
为θx点
根据H和θx点的
叉乘关系
按右手定则
这两者不会形成
绕内环轴哥氏惯性力矩
对转子而言
另外一部分牵连运动
是外环相对基座运动θy点
将其投影到yg轴上
可表示为θy点cosθx
根据H和θy点cosθx的
叉乘关系
可产生绕xg轴
负向的哥氏惯性力矩
Hθy点cosθx
θy点
在zg轴上的分量
为-θy sinθx
这个分量
可以形成一个角动量
它和H
具有相同性质
它和其他牵连运动
会不会形成哥氏惯性力矩
理论上讲会
但是把-θy点sinθx
和Ω做一个比较
在工程上
前者远远小于后者
所以
假设转子自转角动量
远远大于
非自转角速度
造成的角动量
这部分角动量影响
在工程实现上
就可以忽略
按照动静法原理
就可以列写出
绕内环轴运动方程
同理
可列写出绕外环轴运动方程
如(6)式所示
这是一组
非惯性坐标系下的
运动方程
为二阶微分非线性方程
还需要做两件事
一是
将其还原到惯性坐标系
将惯性力矩
从方程左侧移到右侧
二是线性化
上述微分方程
包含三角函数
一般很难得到解析解
为了适应工程实际需要
通常根据
工程实际情况
对上述微分方程
进行线性化处理
假设θx是小量
则上式可以简化为(7)式
这就是
二自由度陀螺仪运动方程
相对惯性坐标系成立
下面对动静法
建立运动方程的步骤
进行小结
(1)确定研究对象
(2)建立坐标系
(3)运动描述
(4)列写惯性力矩
(5)列写外力矩
(6)列写平衡方程
(7)化简
通过建立
二自由度陀螺仪运动方程
可以看出
动静法
是求解非自由质点系动力学问题的
一个普遍方法
在整个分析过程中
基于工程应用
做了四个假设
这些假设也构成了
解决工程问题的基本原则
针对假设1假设3
采取的方法是近似
假设4
采取的方法是忽略
运动方程简化
采取的方法是线性化
依据矛盾论
在解决工程问题时
一般抓主要矛盾
忽略次要矛盾
可以归纳为简化二字
简化架起理论与工程应用的桥梁
最后通过四句话作为本次课的结束语
动不如静 以静制动
找准参考 双惯齐下
内外结合 化繁为简
复杂运动 尽在掌握
还有一个假设
假设2
基座相对惯性空间静止
请大家根据今天讲解原理
列写基座相对惯性空间
以角速度ω
转动情况下
二自由度陀螺仪运动方程
这节课就到这里
-1.1惯性导航基本概念
--1.1.3 小节测试
-1.2惯性导航技术发展史
--1.2 知识导授
--1.2.3 小节测试
-1.3惯性导航常用坐标系
--1.3 知识导授
--1.3.1 小节测试
--1.3.2 小节测试
--1.3.3 小节测试
-2.1陀螺仪的定义及分类
--2.1.3 小节测试
-2.2刚体转子陀螺仪的基本特性
--2.2 知识导授
--2.2.3 小节测试
-2.3陀螺仪运动方程的建立
--2.3 知识导授
--2.3.1 小节测试
--2.3.2 小节测试
--2.3.3 小节测试
-2.4陀螺仪运动特性分析
--2.4 知识导授
--2.4.1 小节测试
--2.4.2 小节测试
-第二章 主观题
-3.1三浮陀螺仪
--3.1.3 小节测试
-3.2静电陀螺仪
--3.2.3 小节测试
-3.3动力调谐陀螺仪
--3.3.3 小节测试
-3.4光学陀螺仪
--3.4 知识导授
--3.4.1 小节测试
--3.4.2 小节测试
--3.4.3 小节测试
-3.5振动陀螺仪
--3.5.3 小节测试
-3.6 原子陀螺仪
--3.6.3 小节测试
-第三章 主观题
-4.1加速度计的测量原理
--4.1.3 小节测试
--4.1.5 小节测试
-4.2石英挠性摆式加速度计
--4.2.3 小节测试
-4.3陀螺积分加速度计
--4.3.3 小节测试
-第四章 主观题
-5.1基本概念
--5.1.3 小节测试
-5.2陀螺仪静态误差模型
--5.2.3 小节测试
-5.3加速度计静态误差模型
--5.3.3 小节测试
-5.4惯性仪表误差标定测试
--5.4.3 小节测试
-第五章 主观题
-6.1陀螺稳定平台功能、组成
--6.1.3 小节测试
-6.2陀螺稳定平台工作原理
--6.2.3 小节测试
-6.3陀螺稳定平台性能分析
--6.3.3 小节测试
-6.4平台式惯导系统导航原理
--6.4 知识导授
--6.4.1 小节测试
--6.4.2小节测试
-第六章 主观题
-7.1捷联式惯导系统工作原理
--7.1.3 小节测试
-7.2 四元数及坐标转换
--7.2.3 小节测试
-7.3捷联式惯导系统导航参数解算
--7.3.3 小节测试
-第七章主观题