7.2.2 四元数及坐标转换在线视频

捷联惯性导航

需要建立一个

数学平台

数学平台

实质上

是一个坐标转换矩阵

可实现

由弹体坐标系

到导航坐标系的

坐标转换

在刚体定点转动理论中

描述动坐标系

到参考坐标系

方位关系的方法有多种

主要有

方向余弦法

欧拉角法

和四元数法

由于四元数法

具有参数值不退化

四元数微分方程未知数

只有四个

约束方程只有一个

采用数值法

求解方程时

计算量比较小

而且计算精度比较高

因此

四元数法

在速率捷联惯导系统中

得到广泛应用

本节课学习

四元数法及坐标转换

内容包括

一

四元数定义

二

四元数表示方法

三

四元数坐标转换

四元数法

是由英国数学家

物理学家

汉密尔顿

于 1843年

在爱尔兰提出的

数学概念

汉密尔顿

被誉为继牛顿之后

最伟大的英国数学家

“四元数”的提出

是数学史上

一件极有名的轶事

在汉密尔顿生活的时代

人们对复数

a+bi已经运用自如

复数

与平面向量等价

物理学家希望发明

表示空间向量

并能进行有效运算的

“三维复数”

于是包括

高斯在内的

许多一流数学家

都来探讨这个问题

但是都没有成功

汉密尔顿

经过不断思索

终于在

1843年10月16日

与夫人步行到

都柏林途中

踏上伯明翰桥时

灵感突现

他发现

要扩充复数集

至少要作出

两个让步

一是

要增加

第三种虚数单位k

变成“a+bi+cj+dk”

二是

放弃乘法交换律

他马上抽出笔记本

写下了下面的

基本运算法则

如（1）式所示

补充了这些法则

得到的运算体系

可以为物理学家接受了

四元数

对代数学

有着不可估量的重要性

后人把这座桥

改名为四元数桥

来纪念这项伟大工作

四元数的复数形式

如（2）式所示

四元数

是由一个实数单位1

和三个虚数单位

i j k组成的数

1是实数部的基

一般不写

i j k为四元数

另外三个基

是一组正交基

从向量空间看

实数单位1

和三个虚数单位

i j k

可以看成是

一个四维空间的

单位向量

在运算过程中

i j k

既具有代数中

单位向量的性质

又具有复数运算中

虚数单位的性质

需要强调的是

四元数

既不是标量

也不是向量

当q1=q2=q3=0时

四元数退化为实数

当q2=q3=0

则四元数退化

为平面复数

除复数式外

四元数可表示为向量式

三角式

指数式

矩阵式等形式

（3）式中

Q*为四元数的共轭

Q乘Q*等于其模平方

当其模等于1时

称为规范四元数

两个四元数

Q和P相乘

如（4）式所示

写成矩阵形式

如（5）式所示

红色区域为核矩阵

根据核矩阵

可以方便的写出

两个四元数相乘的

矩阵形式

用四元数变换

可以描述向量的转动

如图所示

假设矢量r

绕定点O即绕瞬时轴u

转动了一个角度θ

转动后的位置用r'表示

矢量r和动系固联

r'和参考系固连

则动系与参考系之间

变换四元数

如（6）式所示

（6）式中

cosθ/2是标量

为旋转半角余弦

usinθ/2是矢量

为旋转半角正弦

u为瞬时轴方向的

单位向量

则r'和r之间的关系

可由四元数来描述

如（7）式所示

（7）式称为

转动的四元数变换公式

表明

刚体绕瞬时轴转动

可以由四元数来确定

利用以上关系式

就可描述转动四元数

与转动方向余弦的关系

弹体坐标系

OXb Yb Zb

相对惯性坐标系

OXI YI ZI的

关系如图所示

其单位向量

分别为 ib

jb kb

iI jI kI

设某向量OM

它在弹体坐标系

和惯性坐标系的投影

分别为（8）式（9）式所示

坐标系OXb Yb Zb

可以看成绕u轴

转动θ角获得的

若采用相反方向转动

即将矢量r

绕u轴转动θ角后

得到矢经r'

这两个矢经的四元数

表示形式分别为（10）式（11）式

根据四元数变换公式

可得（12）式

其中Q如（13）式所示

将（10）（11）（13）式

带入到（12）式

按照四元数运算法则

展开并简化

可得（14）式

（14）式表明

用四元数

也可以描述弹体坐标系

到惯性坐标系的

坐标转换阵

可简写为（15）式

对（15）式两端求导

可得（16）式

根据刚体运动学理论

可得（17）式

其中

ωb表示

弹体坐标系

相对惯性坐标系的

转动角速度

则牵连速度

如（18）式所示

令Ω0为（19）式

则可得（20）式

将（20）式投影到

弹体坐标系中

可得到（21）式

A0逆为惯性坐标系

到弹体坐标系的

坐标转换阵

给（21）式两边乘以A0

可得到（22）式

将（22）式与

（16）式进行比较

可得（23）式

将A0带入

并考虑四元数性质

如（24）式所示

可得四元数微分方程

如（25）式所示

写成四元数相乘

如（26）式所示

以上分析表明

四元数微分方程

具有以下特点

一

是一组非奇异

线性微分方程

没有奇点

原则上总是可解的

二

四元数微分方程

数目少

通过四元数运算

可单值给出

正交变换运算

三

四元数能够唯一的

表示出刚体运动的

两个重要物理参量

即旋转轴和旋转角

因此

用四元数

来研究刚体运动特性

是非常方便的

考虑到

弹上计算机实现方便

四元数计算

常采用递推算法

如（27）式所示

其中h为积分步长

Δ θ xb

Δ θ yb

Δ θ zb

为沿弹体坐标系

三个方向的姿态角增量

可由

固联于弹体上的

速率陀螺仪

测量沿弹体坐标系

三个方向的姿态角速度

ωxb、ωyb、ωzb获得

如（28）式所示

Δ θ 0的计算如

（29）式所示

在弹上实现时

事先求得

四元数的初值

并通过陀螺仪

在h时间内

采样输出

送到（27）式

计算机就可以

不断实时计算

四元数

四元数

不仅在速率

捷联惯导系统中

得到广泛应用

还在解决潜地导弹出水

多弹头分导等领域

更能凸显四元数

的优越性

本节课就到这里