当前课程知识点:测量学基础 > 第五章 测量误差基础理论及数据处理 > 第三节 误差传播定律及其应用 > 5.3 误差传播定律及其应用
同学们好
这节课我们来学习误差传播定律
在测量工作中不但要评定观测值的精度
而且往往也要评定观值函数的精度
阐述观测值中误差
与其函数中误差之间关系的定律
我们就把它称为误差传播定律
下面我们来看第一个
倍数关系函数的中误差
那么我们设有一观测值x
它的函数Z=kx
那么k是一个常量
现在我们要来求Z的中误差mz
与观测值x的中误差mx之间的关系
那么设Z及x的真误差分别为Δz和Δx
首先我们将上式两侧同时取微分
就得出Δz=kΔx
那么将上式两侧同时自乘并取和再除以n
我们就得出了
Δz的平方和除以n
就等于k平方乘以Δx的平方和除以n
我们就的出了mz ²=k²mx²
也即mz=kmx
从上式我们可以看出倍函数关系的中误差
应该等于观测值中误差与其常数的一个乘积
下面我们来看一个例子
在1:1000比例尺的地形图上我们量得了
A B点之间的距离为Sab=12.3mm
其中误差为mSab=±0.2mm
那么现在要来计算A B两点之间的实地距离SAB
及其中误差mSAB
那么我们根据比例尺的定义我们知道
SAB=1000×12.3
也即我们图上的距离就得出了12300mm
换算成米之后是等于12.3m
那么根据我们倍函数中误差计算的公式我们知道
我们实地距离的中误差等于k倍的图上距离的中误差
也即k等于1000
那么也就是1000×(±0.2)得出了
实地距离的中误差是±0.2m
现在来看一看第二类函数的中误差的计算
和差函数
那么设Z是关于相互独立的观测值x和y的函数
也即Z=x±y
设x和y的中误差分别为mx和my
现在我们要来计算mz
好 我们现在对上式两侧同时取微分
然后自乘再取和并除以n
我们就得出了所有z的真误差的平方和除以n
就等于所有x真误差的平方和除以n
再加上所有y的真误差的平方和除以n
再加减2倍的Δx Δy的平方和除以n
那么由于x与y是相互独立的观测值
因此呢Δx乘以Δy它仍然是偶然误差
那么根据偶然误差的第四特性我们可以知道
2[ΔxΔy]/n是趋近于零的
是可以忽略不计
因此呢我们上式就可以化简为
所有Δz的平方和除以n等于
Δx的平方和除以n再加上Δy的平方和除以n
也即我们mz ²=mx²+ my²
那么开根号之后我们就得出了
mz就等于正负根号mx的平方加上my的平方
那么通过上式我们可以看出
和差关系函数的中误差等于
各观测值中误差平方和的平方根
同样的道理
如果我们的Z=x1±x2±…xn
那么我们x1 x2…xn它是一个相互独立的观测值
那么就可以利用下式
对它的函数的中误差进行计算
也即mz是等于正负根号m1²+m2²…=mn²
下面我们来看一个例子
在A B两点之间进行水准测量
测站数n等于16
设每测站水准测量的高差中误差为m=±3mm
那么我们现在要来计算A B两点之间的
高差中误差mhAB
根据我们水准测量的知识我们可以知道
hAB=h1+h2+…+h16
根据上面的公式我们可以知道
mhAB就等于正负根号16倍的mh的平方
最后计算出来就等于±12mm
下面我们来看第三类函数关系的中误差计算
线性关系函数
设Z是关于相互独立观测值x1 x2…xn的函数
也即Z=k1x1±k2x2±…±knxn
那么实际上式的话呢是一个和差函数
和一个倍函数的一个组合
所以我们就可以直接写出
上式的这么一个计算公式
mz就等于正负根号k1倍的m1的平方
加上k2倍的m2的平方一直加到kn倍的mn的平方
下面我们来看一个例子
试求同精度观测值L1 L2 …Ln的算术平均值的中误差
设观测值中误差为m
那么根据我们算数平均值的计算公式我们知道
算数平均值x它是等于所有观测值之和除以n
也即1/nL1加上1/nL2加到1/nLn
那么这个公式就是我们的和差函数和倍函数的一个组合
根据计算公式我们就可以得出
算数平均值的中误差是等于n平方分之一乘以mL1²
再加上n平方分之一乘以mL2²
一直加到n平方分之一乘以mLn²
那么因为mL1=mL2= mLn=m
所以的话呢我们上式就可以得出
算数平均值的中误差是等于根号n分之一乘以m
也即同精度观测值算术平均值中误差的计算
是利用我们上一个公式来进行
下面我们来看一个例子
以同精度观测了n个三角形的各角αi βi 和γi
那么各三角形闭合差分别为W1 W2…Wn
那么现在我们要来计算
三角形内角和的中误差m及其测角中误差
因为我们三角形闭合差Wi是三角形内角和的真误差
因此我们可以得出闭合差的中误差是等于
正负根号闭合差的平方和除以n
那么根据误差传播定律可以得出
闭合差的平方就等于
mα²+mβ²+ mγi²
也即等于3m²
所以的话呢我们就可以得出闭合差的中误差
就等于正负所有闭合差的平方和除以3n
那么上式之中我们就可以根据三角形闭合差
来计算测角中误差的公式
我们也把它称为菲列罗公式
下面我们再看一个例子
对各未知量X1 X2…Xn同精度观测两次
观测值分别为L1’L2’到Ln’
以及L1”L2”和Ln”
那么现在我们要来计算
观测值的中误差m及其算术平均值的中误差mxi
因为对于任何一个被观测量来说
由这个量的真值Xi组成的差数必为0
也即如公式所示
因此可以说0是这个量的差数的真值
现在各对未知量X1 X2…Xn同精度观测了两次
Li’和Li”
因为两者都含有误差
因此呢两者之差并不等于0
存在一个差值di
那么di的话呢等于Li’减去Li”
而差值di的真值它是0
也就是说Δdi=di-0=di
因此我们可以说di是差值的真误差
那么根据和差公式中误差的计算那么我们得出
差数的中误差为md等于正负根号d的平方和除以n
那么在上式之中n为d的个数
也就观测对的个数
那么因为di=Li’-Li”
所以我们就有2m² =md²
最后就得出了m是等于根号2分之md
也即等于正负根号2n分之d的平方和
由于所有的观测值都是同精度观测值
所以所有的最或然值xi也都是同精度观测值
而且有xi是等于Li’+Li”除以2
根据误差传播定律我们就得出
mxi是等于根号2分之m
也等于正负二分之一根号n分之d的平方和
下面我们来再看一下我们非线性函数的中误差
设Z为相互独立观测值x1 x2…xn的函数
也即Z=f(x1 x2…xn)
那么对上式进行线性化之后
我们就得到了其全微分方程
Δz等于af ax1乘以Δx1加上af ax2乘以Δx2
一直加…加аf аxn乘以Δxn
按照和差函数的中误差计算公式我们可以得到
mz² 就等于аf/аx1的平方乘以m1²
再加上аf/аx2的平方乘以m2²
加…加аf 到аxn的平方乘以mn²
这个式子就是我们的误差传播定律的一般形式
可见我们前面所说的那三种形式都可以是
作为这个计算公式的一种特例
好 那么我们利用这个公式来看一个例题
如图所示
已知AC边方位角αAC=0°00′00″
α S 是两观测值
α=45°11′24″
距离S=100.121m
其中误差分别为mα=±8.1″ mS=±0.012m
那么现在我们要来计算A B两点
x的坐标增量Δx的中误差mΔx
那么根据上图所示我们可以知道Δx= S·cosα
根据误差传播定律的计算公式我们就可以写出
m Δx ²=(cosα)²×ms ²+ (s×cosα)² (m α÷ρ )²
那么上式之中ρ=206265
也即1弧度所对应的秒值
将各已知数代入上式之后我们就可以得出
mΔx=±9mm
好了 误差传播定律我们就介绍到这里
下节课再见
-第一节 测量学定义、发展简史及其研究内容
--测量学的定义
--测量学发展简史
--研究内容
-第二节 测量学的分支学科
--测量学的分支学科
-第三节 测量学的基本概念及基本知识1
-第四节 测量学的基本概念及基本知识2
-第一节 水准测量基本原理
-第二节 水准仪的操作与使用
-第三节 水准仪的检验与校正
-第一节 经纬仪的种类、DJ6经纬仪的构造和水平角测量的基本原理及方法
--3.1 经纬仪的种类、DJ6经纬仪的构造和水平角测量的基本原理及方法
-第二节 角度测量的外业实测及内业成果整理
-第三节 经纬仪的检验与校正
-第四节 水平角观测的误差来源及其减弱措施
-第一节 距离测量概述
-第二节 直线定向
--4.2 直线定向
-第三节 视距测量、直线定向与坐标增量的计算
-第一节 测量误差基本概念
-第二节 中误差及算术平均值
-第三节 误差传播定律及其应用
-第一节 控制测量概述、国根导线控制测量
-第二节 导线控制测量
-第三节 图根三角测量
-第四节 交会测量
-第五节 角度交会法
-第六节 三角高程测量的应用
-第一节 地形图的基本知识
-第二节 地形图的分幅及其编号、图名与图廓
-第三节 地物符号
--7.3 地物符号
-第一节 测图前相关准备工作概述
-第二节 经纬仪法测绘大比例尺地形图
-第三节 地形图的绘制、拼接、检查与整饰
-第一节 地形图应用的基础知识
-第二节 地形图应用