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5.3 误差传播定律及其应用在线视频

下一节:6.1 控制测量概述、国根导线控制测量

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5.3 误差传播定律及其应用课程教案、知识点、字幕

同学们好

这节课我们来学习误差传播定律

在测量工作中不但要评定观测值的精度

而且往往也要评定观值函数的精度

阐述观测值中误差

与其函数中误差之间关系的定律

我们就把它称为误差传播定律

下面我们来看第一个

倍数关系函数的中误差

那么我们设有一观测值x

它的函数Z=kx

那么k是一个常量

现在我们要来求Z的中误差mz

与观测值x的中误差mx之间的关系

那么设Z及x的真误差分别为Δz和Δx

首先我们将上式两侧同时取微分

就得出Δz=kΔx

那么将上式两侧同时自乘并取和再除以n

我们就得出了

Δz的平方和除以n

就等于k平方乘以Δx的平方和除以n

我们就的出了mz ²=k²mx²

也即mz=kmx

从上式我们可以看出倍函数关系的中误差

应该等于观测值中误差与其常数的一个乘积

下面我们来看一个例子

在1:1000比例尺的地形图上我们量得了

A B点之间的距离为Sab=12.3mm

其中误差为mSab=±0.2mm

那么现在要来计算A B两点之间的实地距离SAB

及其中误差mSAB

那么我们根据比例尺的定义我们知道

SAB=1000×12.3

也即我们图上的距离就得出了12300mm

换算成米之后是等于12.3m

那么根据我们倍函数中误差计算的公式我们知道

我们实地距离的中误差等于k倍的图上距离的中误差

也即k等于1000

那么也就是1000×(±0.2)得出了

实地距离的中误差是±0.2m

现在来看一看第二类函数的中误差的计算

和差函数

那么设Z是关于相互独立的观测值x和y的函数

也即Z=x±y

设x和y的中误差分别为mx和my

现在我们要来计算mz

好 我们现在对上式两侧同时取微分

然后自乘再取和并除以n

我们就得出了所有z的真误差的平方和除以n

就等于所有x真误差的平方和除以n

再加上所有y的真误差的平方和除以n

再加减2倍的Δx Δy的平方和除以n

那么由于x与y是相互独立的观测值

因此呢Δx乘以Δy它仍然是偶然误差

那么根据偶然误差的第四特性我们可以知道

2[ΔxΔy]/n是趋近于零的

是可以忽略不计

因此呢我们上式就可以化简为

所有Δz的平方和除以n等于

Δx的平方和除以n再加上Δy的平方和除以n

也即我们mz ²=mx²+ my²

那么开根号之后我们就得出了

mz就等于正负根号mx的平方加上my的平方

那么通过上式我们可以看出

和差关系函数的中误差等于

各观测值中误差平方和的平方根

同样的道理

如果我们的Z=x1±x2±…xn

那么我们x1 x2…xn它是一个相互独立的观测值

那么就可以利用下式

对它的函数的中误差进行计算

也即mz是等于正负根号m1²+m2²…=mn²

下面我们来看一个例子

在A B两点之间进行水准测量

测站数n等于16

设每测站水准测量的高差中误差为m=±3mm

那么我们现在要来计算A B两点之间的

高差中误差mhAB

根据我们水准测量的知识我们可以知道

hAB=h1+h2+…+h16

根据上面的公式我们可以知道

mhAB就等于正负根号16倍的mh的平方

最后计算出来就等于±12mm

下面我们来看第三类函数关系的中误差计算

线性关系函数

设Z是关于相互独立观测值x1 x2…xn的函数

也即Z=k1x1±k2x2±…±knxn

那么实际上式的话呢是一个和差函数

和一个倍函数的一个组合

所以我们就可以直接写出

上式的这么一个计算公式

mz就等于正负根号k1倍的m1的平方

加上k2倍的m2的平方一直加到kn倍的mn的平方

下面我们来看一个例子

试求同精度观测值L1 L2 …Ln的算术平均值的中误差

设观测值中误差为m

那么根据我们算数平均值的计算公式我们知道

算数平均值x它是等于所有观测值之和除以n

也即1/nL1加上1/nL2加到1/nLn

那么这个公式就是我们的和差函数和倍函数的一个组合

根据计算公式我们就可以得出

算数平均值的中误差是等于n平方分之一乘以mL1²

再加上n平方分之一乘以mL2²

一直加到n平方分之一乘以mLn²

那么因为mL1=mL2= mLn=m

所以的话呢我们上式就可以得出

算数平均值的中误差是等于根号n分之一乘以m

也即同精度观测值算术平均值中误差的计算

是利用我们上一个公式来进行

下面我们来看一个例子

以同精度观测了n个三角形的各角αi βi 和γi

那么各三角形闭合差分别为W1 W2…Wn

那么现在我们要来计算

三角形内角和的中误差m及其测角中误差

因为我们三角形闭合差Wi是三角形内角和的真误差

因此我们可以得出闭合差的中误差是等于

正负根号闭合差的平方和除以n

那么根据误差传播定律可以得出

闭合差的平方就等于

mα²+mβ²+ mγi²

也即等于3m²

所以的话呢我们就可以得出闭合差的中误差

就等于正负所有闭合差的平方和除以3n

那么上式之中我们就可以根据三角形闭合差

来计算测角中误差的公式

我们也把它称为菲列罗公式

下面我们再看一个例子

对各未知量X1 X2…Xn同精度观测两次

观测值分别为L1’L2’到Ln’

以及L1”L2”和Ln”

那么现在我们要来计算

观测值的中误差m及其算术平均值的中误差mxi

因为对于任何一个被观测量来说

由这个量的真值Xi组成的差数必为0

也即如公式所示

因此可以说0是这个量的差数的真值

现在各对未知量X1 X2…Xn同精度观测了两次

Li’和Li”

因为两者都含有误差

因此呢两者之差并不等于0

存在一个差值di

那么di的话呢等于Li’减去Li”

而差值di的真值它是0

也就是说Δdi=di-0=di

因此我们可以说di是差值的真误差

那么根据和差公式中误差的计算那么我们得出

差数的中误差为md等于正负根号d的平方和除以n

那么在上式之中n为d的个数

也就观测对的个数

那么因为di=Li’-Li”

所以我们就有2m² =md²

最后就得出了m是等于根号2分之md

也即等于正负根号2n分之d的平方和

由于所有的观测值都是同精度观测值

所以所有的最或然值xi也都是同精度观测值

而且有xi是等于Li’+Li”除以2

根据误差传播定律我们就得出

mxi是等于根号2分之m

也等于正负二分之一根号n分之d的平方和

下面我们来再看一下我们非线性函数的中误差

设Z为相互独立观测值x1 x2…xn的函数

也即Z=f(x1 x2…xn)

那么对上式进行线性化之后

我们就得到了其全微分方程

Δz等于af ax1乘以Δx1加上af ax2乘以Δx2

一直加…加аf аxn乘以Δxn

按照和差函数的中误差计算公式我们可以得到

mz² 就等于аf/аx1的平方乘以m1²

再加上аf/аx2的平方乘以m2²

加…加аf 到аxn的平方乘以mn²

这个式子就是我们的误差传播定律的一般形式

可见我们前面所说的那三种形式都可以是

作为这个计算公式的一种特例

好 那么我们利用这个公式来看一个例题

如图所示

已知AC边方位角αAC=0°00′00″

α S 是两观测值

α=45°11′24″

距离S=100.121m

其中误差分别为mα=±8.1″ mS=±0.012m

那么现在我们要来计算A B两点

x的坐标增量Δx的中误差mΔx

那么根据上图所示我们可以知道Δx= S·cosα

根据误差传播定律的计算公式我们就可以写出

m Δx ²=(cosα)²×ms ²+ (s×cosα)² (m α÷ρ )²

那么上式之中ρ=206265

也即1弧度所对应的秒值

将各已知数代入上式之后我们就可以得出

mΔx=±9mm

好了 误差传播定律我们就介绍到这里

下节课再见

测量学基础课程列表:

第一章 测量学概述

-第一节 测量学定义、发展简史及其研究内容

--测量学的定义

--测量学发展简史

--研究内容

--1.1 定义、历史沿革及研究内容

-第二节 测量学的分支学科

--测量学的分支学科

--1.2 测量学的分支学科

-第三节 测量学的基本概念及基本知识1

--1.3 测量学的基本概念(1)

-第四节 测量学的基本概念及基本知识2

--1.4 测量学的基本概念(2)

第二章 水准仪与水准测量

-第一节 水准测量基本原理

--2.1 水准仪及水准测量

-第二节 水准仪的操作与使用

--2.2.1 水准仪的操作与使用(1)

--2.2.2 水准仪的操作与使用(2)

-第三节 水准仪的检验与校正

--2.3 水准仪的检验和校正

第三章 经纬仪与角度测量

-第一节 经纬仪的种类、DJ6经纬仪的构造和水平角测量的基本原理及方法

--3.1 经纬仪的种类、DJ6经纬仪的构造和水平角测量的基本原理及方法

-第二节 角度测量的外业实测及内业成果整理

--3.2 角度测量的外业实测及内业成果整理

-第三节 经纬仪的检验与校正

--3.3 经纬仪的检验与校正

-第四节 水平角观测的误差来源及其减弱措施

--3.4 水平角观测的误差来源及其减弱措施

第四章 距离丈量与直线定向

-第一节 距离测量概述

--4.1 距离测量概述

-第二节 直线定向

--4.2 直线定向

-第三节 视距测量、直线定向与坐标增量的计算

--4.3 视距测量、直线定向与坐标增量的计算

第五章 测量误差基础理论及数据处理

-第一节 测量误差基本概念

--5.1 测量误差基本概念

-第二节 中误差及算术平均值

--5.2 中误差及算术平均值

-第三节 误差传播定律及其应用

--5.3 误差传播定律及其应用

第六章 小地区控制测量

-第一节 控制测量概述、国根导线控制测量

--6.1 控制测量概述、国根导线控制测量

-第二节 导线控制测量

--6.2.1 导线控制测量(1)

-第三节 图根三角测量

--6.3 图根三角测量

-第四节 交会测量

--6.4.1 测有两个连接角的线性锁

--6.4.2 测有一个连接角的线性锁

-第五节 角度交会法

--6.5 角度交会法

-第六节 三角高程测量的应用

--6.6 三角高程测量的应用

第七章 地形图的基础知识

-第一节 地形图的基本知识

--7.1 地形图的基本知识

-第二节 地形图的分幅及其编号、图名与图廓

--7.2 地形图的分幅及其编号、图名与图廓

-第三节 地物符号

--7.3 地物符号

第八章 常规大比例尺基础地形测绘

-第一节 测图前相关准备工作概述

--8.1 测图前相关准备工作

-第二节 经纬仪法测绘大比例尺地形图

--8.2 经纬仪法测绘大比例尺地形图

-第三节 地形图的绘制、拼接、检查与整饰

--8.3 地形图的绘制、拼接、检查与整饰

第九章 地形图的应用

-第一节 地形图应用的基础知识

--9.1 地形图应用的基础知识

-第二节 地形图应用

--9.2 地形图在工程规划中的相关应用

5.3 误差传播定律及其应用笔记与讨论

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