当前课程知识点:测量学基础 > 第五章 测量误差基础理论及数据处理 > 第二节 中误差及算术平均值 > 5.2 中误差及算术平均值
同学们好
我们继续来学习测量误差
首先我们来看一下中误差
因为σ能很好的反应一组观测值的精度
但若求σ值
就要求观测个数n倾向于∞
在测量之中n总是有限的
因此呢 我们采用σ的估值m
也即中误差作为一个评定精度的指标
m的表达式我们可以利用下式进行表达
m等于正负根号 所有真误差的平方和除以n
通过上式我们可以看出
m是由一组同精度观测值
也即在相同观测条件下的观测值
的真误差Δ求出来的
对于这一组观测值来说
它的中误差相同
因此称它们为同精度观测值
另一方面虽然m是由有限个数的观测值求出
但其随着观测个数的增加m将趋近于σ
下面我们来看一个例题
某地区两个控制网分别由10个三角形组成
每个三角形的内角和及闭合差Wi我们列于下表
现在我们要来求两个控制网的三角形
闭合差的中误差m1和m2
那么通过下表我们可以看出
在第一组观测值里面
共有10个三角形
那么它们所测的内角和分别为
179度59分42秒
180度00分02秒
179度59分58秒等等
那么它们分别与180度进行相减
就得出了第一组观测值它的闭合差
那么第一个是-18秒
第二个三角形是+2秒
第三个三角形是-2秒
第四个是-4秒等等
同样的第二组数据里面我们也是通过
第二组观测三角形的内角和
与180度来进行相减
得出了每一组观测值与180度之间的这么一种差值
最后我们要来计算各组观测值它的中误差
我们把它们的真误差分别计算出来之后
计算每一组真误差的平方和
然后除以观测次数10再开根号就得出了m1和m2
那么 在第一组里面中误差m1就等于
正负根号661除以10
那么最后的话呢它开根号之后等于±8.1秒
而第二组的话呢m2就等于正负根号415除以10
等于±6.4秒
那么通过上式我们可以看到m1是大于m2的
就说明第一组观测值的中误差要大于第二组
那么我们第二组观测值的精度是要高于第一组观测值的
由于我们中误差是绝对误差
有时呢它不能够准确的评定观测值的精度
比如说我们用钢尺丈量两段距离分别为100m和50m
若两观测值的中误差都是±2cm
如果认为对两段距离丈量的精度相同
这显然是不合理的
因为距离丈量的误差与其长度是有关
因此 在测量工作之中我们通常采用相对误差来进行衡量
也即利用中误差除以距离D
作为衡量距离测量的精度标准
并且把m除以D化成K分之一这么的一种形式
比如在上一个例子之中
两段距离丈量值的相对精度分别为
2/10000=1/5000和2/5000=1/2500
因此我们可以说前者的丈量精度是高于后者的
接下来我们来看看容许误差
那么根据概率论的有关知识我们可以知道
偶然误差小于2倍或者是3倍中误差的概率
那么它们分别是95.4%和99.7%
因此我们可见偶然误差超过2倍及3倍的
中误差的概率仅为4.6%及0.3%
所以我们通常在工程之中以2倍中误差
或3倍中误差作为我们的容许误差
如果测量误差大于容许误差
那么我们就认为观测值中存在着一定的粗差
是不可靠的观测值
我们应该对其进行舍弃
接下来是同精度观测的算术平均值
改正数及其中误差的学习
我们先来看看同精度观测值的算术平均值的计算
在相同观测条件之下
对某个固定量进行n次观测
其真值为 X
那么观测值分别为L1 L2到Ln
那么其算术平均值x我们就可以利用
所有观测值之和除以观测次数n
也即L1+L2…+Ln除以n
我们在测量里面利用中括号来表示我们观测值的和
也即[L]除以n
同样在测量之中
我们同精度观测值的算术平均值x
可以被认为是最接近真值X的值
所以我们也称x为最或然值
下面我们来对其进行证明
根据真误差的定义我们可以知道
Δ1=X–L1
那么Δ2=X–L2
那么真误差Δn=X–Ln
那么由上式等号两侧分别相加并除以n
那么我们就得出了
所有的真误差的和除以n就等于
我们的真值减去所有的观测值之和除以n
也即等于真值减去我们的算术平均值
那么我们再对等号两侧同时取极限
也就是lim n→∞的时候
所有真误差之和除以n等于
真值减去lim n倾向于∞所有观测值之和除以n
那么根据我们偶然误差第四特性我们可以知道
lim n倾向于∞真误差之和除以n等于0
因此呢 我们就可以得出
lim n倾向于∞所有观测值之和除以n就等于真值x
也即当n倾向于∞的时候
我们的算术平均值的极限是等于真值
因此在测量之中
我们常把同精度观测值的算术平均值作为最后的结果
由于很多被观测量的真值并不知道
因此就不可能用真误差Δ来求观测值的中误差m
但是呢观测值的算术平均值总是可以得到的
算术平均值与观测值之差我们就把它称为改正数
我们用V做表示
那么Vi的话呢是等于算术平均值减去观测值Li
那么如何用改正数来求观测值的中误差呢
由改正数及真误差的定义我们可以得到
Vi=x-Li
Δi=X-Li
那么将以上两式进行整理我们就可以得到
Δi=X-x+Vi
也即是等于我们的Vi+( X - x)
那么将上式等号两侧自乘
然后呢取和并除以n
我们就得出了下式
也即真误差的平方和除以n等于
改正数的平方和除以n再加上2倍的改正数
除以n再乘以真值减算数平均值
再加上n乘以真值减算数平均值的平方除以n
最后的话呢经过整理就得出了下式
真值减去算数平均值的平方是等于
真误差之和的平方除以n的平方
那么把上式进行展开之后
我们就可以得出下面的算式
那么因为ΔiΔj它仍然是一个偶然误差
因此呢根据我们偶然误差的四个特性
那么上式之中一项实际上是一个微小的量
可以忽略不计
所以对于上式
我们可以写为
真值减去算数平均值的平方
是等于真误差的平方和除以n的平方
那么带入到我们上式之中之后
我们就得出了[Vi]=nx-[L]=0
再把这两个公式代入到下式
我们就有真误差的平方和除以n等于
改正数的平方和除以n
再加上真误差的平方和除以n的平方
那么进行移项之后我们就得出了
真误差的平方和除以n
等于改正数的平方和除以n-1
也即我们就得出了我们计算中误差的第二个公式
就是正负根号改正数的平方和除以n-1
上式的话呢就是利用我们改正数Vi来计算
同精度观测值中误差的公式
我们也把它称为叫做白塞尔公式
好了 这节课我们就讲到这里
我们下节课再见
-第一节 测量学定义、发展简史及其研究内容
--测量学的定义
--测量学发展简史
--研究内容
-第二节 测量学的分支学科
--测量学的分支学科
-第三节 测量学的基本概念及基本知识1
-第四节 测量学的基本概念及基本知识2
-第一节 水准测量基本原理
-第二节 水准仪的操作与使用
-第三节 水准仪的检验与校正
-第一节 经纬仪的种类、DJ6经纬仪的构造和水平角测量的基本原理及方法
--3.1 经纬仪的种类、DJ6经纬仪的构造和水平角测量的基本原理及方法
-第二节 角度测量的外业实测及内业成果整理
-第三节 经纬仪的检验与校正
-第四节 水平角观测的误差来源及其减弱措施
-第一节 距离测量概述
-第二节 直线定向
--4.2 直线定向
-第三节 视距测量、直线定向与坐标增量的计算
-第一节 测量误差基本概念
-第二节 中误差及算术平均值
-第三节 误差传播定律及其应用
-第一节 控制测量概述、国根导线控制测量
-第二节 导线控制测量
-第三节 图根三角测量
-第四节 交会测量
-第五节 角度交会法
-第六节 三角高程测量的应用
-第一节 地形图的基本知识
-第二节 地形图的分幅及其编号、图名与图廓
-第三节 地物符号
--7.3 地物符号
-第一节 测图前相关准备工作概述
-第二节 经纬仪法测绘大比例尺地形图
-第三节 地形图的绘制、拼接、检查与整饰
-第一节 地形图应用的基础知识
-第二节 地形图应用