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现在讨论风险分散化原理

风险分散化原理

被认为是现代金融学中

唯一免费的午餐

将多项有风险的资产

组合在一起

可以对冲掉部分风险

而不降低平均的预期收益率

这是马克维茨的贡献之二

下面 我们就来讨论

什么是风险分散

假如有两项

有风险资产的组合

组合的收益率的方差的

表达式可知

σ平方

是在两项资产

Wσ1减去(1-W)σ2平方

和Wσ1加上(1-W)σ2平方之间的

这是因为

两项资产的相关系数

是在负1和正1之间

左边和右边不等式的等号

成立时

对应于相关系数ρ

等于负1和正1的情况

意味着这两项资产的风险

可以完全正相关

或者是负相关

这在实际上很少存在

实际上它们可能是

同一种资产的衍生品

我们排除这种情况

可以得到以下的不等式

也就是σ是小于

Wσ1+(1-W)σ2

这个不等式说明什么呢

说的是组合的标准差

不会大于单个资产标准差的

加权平均

另一方面

我们知道组合的预期收益率

是等于单个资产

预期收益率的加全平均的

也就是说

给定预期收益的情况下

我们是有可能通过

风险分散化

而降低风险的

这就是投资分散化原理

既然分散化的投资

能降低风险

那么 是否存在

最低风险的组合呢

是否又存在最优的组合呢

为了说明这两个问题

我们给出一个数字例子

有风险资产1和2的

预期收益率

分别是0.14和0.08

标准差分别是0.2和0.15

相关系数是0.6

这样的两个资产

所组成的所有组合

会有什么样的特性呢

我们考虑以下

几种组合的情况

我们具体分析五个组合

并把组合标记在

风险收益坐标图上

这个图的横坐标

是组合收益率的标准差

纵坐标是组合的预期收益率

第一个组合

投资与资产1比例是0

投资与资产2的比例是100%

组合的预期收益率是8%

组合的标准差是0.15

我们既为组合R

第二个组合中

我们逐渐增加资产1的比例

相应减少资产2的比例

投资于资产1的比例是10%

投资于资产2的比例是90%

这时组合预期收益率是8.6%

收益率的标准差是0.1479

我们标记为组合C

重复以上过程

当我们逐渐增加

资产1的比例

而减少资产2的比例

如图中所示

组合的位置从右下角

向左上方移动

意味着预期收益率逐渐增加

且收益率标准差逐渐减小

当达到某一临界组合C时

标准差变为最小

这个临界组合

叫做最小方差组合

在这种情况下

资产1的比例是17%

资产2的比例是83%

预期收益率是9.02%

标准差是0.1474

这个是我们在这个

两风险资产组合当中

所能得到的

最小方差组合了

也就是再增加资产1的头寸

组合方差又将增大

继续增加资产1的比例

比如投资与资产1的比例

增加为50%

投资与资产2的比例是50%

组合的预期收益率是11%

组合的标准差增加为0.1569

我们记为组合D

直到我们把资产1的

投资比例增加至100%

组合的预期收益率

也就是资产1的

预期收益率是14%

标准差0.2

我们记为组合S

通过以上例子

我们发现改变资产比例

而得到的每一个组合

都对应着风险收益图中的

一个点

当组合中只有两种资产时

由这些点构成一条

一维的曲线

我们不难证明

这条曲线是条双曲线

但是 当组合中的资产个数

大于2时

在风险收益图中

所有可能组合

所对应的点

就不是一条一维的曲线了

而是一个二维的区域

下面 我们具体考虑

这种多资产组合的情况

假定现在有N项

有风险资产

他们的预期收益率是E(ri)

彼此之间的斜方差是σij

Wi表示相应的资产

在组合中的比重

假设各项资产比重相同

也就是Wi=1/N

i是从1到N的自然数

那么 组合的方差

怎么得到呢

由简单的概率统计知识可得

组合的方差可写成

每一对资产的斜方差之和

也就是这个公式

上式中

我们可把组合的方差

σ平方拆成两部分

第一部分是N个资产的

方差之和除以N平方

当N趋近于无穷时

这一项区域里

当组合中含有

多种有风险资产时

个别资产的方差

将不起作用

第二部分

是不同资产之间的

斜方差之和除以N平方

我们把所有资产之间

斜方差相加

再除以N个资产

所组成的资产对的个数

也就是N乘以N-1

得到斜方差的平均值

也就是这个公式

当N趋近于无穷时

组合方差σ平方的第二项

是就趋于斜方差的平均值

各项资产之间的斜方差

有正有负

他们会起互相对冲

抵销风险的作用

但风险不会完全对冲抵销

因而 组合的方差

就近似等于平均的斜方差

也就是没有被抵销的部分

那么 为什么会有

不完全抵销的部分呢

因为各项资产的收益变动

存在某种同向性

这种同向性的风险

是由不同资产同时承受的

被称为系统风险

或市场风险

而可以对冲抵销的风险

则被称为非系统风险

或企业风险

系统风险是金融学中

一个核心的概念

这样我们得到结论

通过扩大投资组合

即增加所包含的资产种类

而进行风险分散

可以消除非系统风险

也就是企业风险

但不能消除系统风险

前面 我们讨论N项

有风险资产的组合

构成风险收益图中的

一个区域

而不是一条一维的曲线

那么 这个区域的边界

是如何确定的呢

我们来看具体的例子

假定现在有N项

有风险资产

他们的预期收益率是E(ri)

彼此之间的斜方差σij

Wi表示相应的资产

在组合中的比例

投资组合的预期收益率

和方差

由以下式子给出

在风险收益图中的组合边界

就是寻找在任意给定的

预期收益率的前提下

什么样组合的方差最小

而这些不同预期收益率

所对应的最小方差组合

我们称为有效组合边界

用数学的语言

就是求解以下极值问题

第一个式子

表示选择组合的比率系数

使组合的方差最小

同时 必须满足两个式子的

约束条件

一是组合预期收益率

是一个给定的E(r)

另一个限制条件

是组合的比例相加等于1

这样可以解出一个有效组合

在所有相同预期收益率的

组合中

其标准差最小

我们可以证明这些有效组合

构成一个双曲线

这条双曲线

就是有效组合边界

这个图就是有效组合边界的

曲线

曲线内部的区域

就构成N项资产的

所有组合区域

区域中的每个点

都表示一个可能的组合

那么 现在问一个问题

如果把区域中

任何两个点作为一个组合

代表这些组合的点

会在图中什么位置呢

是落在两点的连线上

还是两点连线的左侧

或右侧

答案是他们一定会落在

原来两个点连线的左侧

这是因为新的组合

能进一步起到

风险分散的作用

其标准差

一定小于两个组合标准差的

加权平均

这也就是曲线向上凸的原因

另外 我们发现

这个最小方差曲线

是由上下两段构成的

而只有上方的那一段

是有意义的

下面的那一段是没有意义的

因为在承受

同样风险的情况下

上面的点

所代表的投资组合的

预期收益率

比下面的点要高

因此 我们称上方的那一段

为有效组合边界

这里请大家注意

到目前为止

我们的组合

还都只包含有风险资产

无风险资产并没有包含在内

我们将在下一节中

详细的讨论

当加入无风险资产的情况

会出现什么样的情况

由以上讨论我们看到

有效组合边界的存在

是和个别投资者的偏好

没有关系的

那么 具体到每一个投资人

到底应该选择

有效组合边界上的

哪一个点呢

为了说清楚这一点

我们需要介绍一下

投资者的风险收益

效用函数

效用函数是投资人

对资产组合的偏好

进行排序的方法

在所有的资产组合中

假如风险一定

预期收益率越高的资产组合

效用函数的数值越大

而收益一定

风险大的资产组合

效用函数的数值越低

现在我们定一个典型的

效用函数

假设组合的预期收益率

是E(r)

收益的波动率

也就是标准差是σ

一个典型的效用函数

就可以写成

U=E(r)-0.005A×σ平方

其中参数A是风险厌恶系数

投资人越是厌恶风险

A就越高

这个效用函数

说的是投资人的效用

是预期收益减去

风险厌恶系数

与方差的乘积

通常也叫做风险调整后的

预期收益

而这个才是

投资人真正关注的

而不是收益率本身

在给定效用值的情况下

A越大意味着

投资人对承担一定的风险

所要求的回报越高

现在我们定义一组

等效用函数

等效用函数是指

给定效用函数的值

为某一个常数时

所有投资组合的预期收益

与风险

所满足的函数关系

我们在风险收益图上

画出一组等效用函数

所代表的曲线

每一条曲线上的组合

有相同的效用值

不同效用值的曲线不相交

越往左上方移动

等效用函数的函数值越大

每一条等效用函数是递增的

因为投资人

对于承受高的风险

要求高的风险溢价

在已经承受较高风险的

情况下

要进一步增加风险

就会要求更高的收益

这就是经济学里边际效用

递减的原理

这使得等效用函数

是个向下凹的函数

在图中可以看出

这一组等效用函数曲线中

有 且只有一条

适合有效组合边界相切的

这也就是所有能和

有效组合边界相交的曲线中

具有效用最高的那一条

这个切点所代表的组合

就是最佳组合

这样我们得出以下几个结论

第一 资产组合的方差

与个别资产的方差无关

而与各项资产之间的

斜方差有关

组合的方差

就近似等于平均的斜方差

为了形象的阐述这个结论

我们举个例子

这张图展示了从纽约交易所

随机挑选股票

构成的等权重股票组合

随着股票种类数的增多

组合的收益率的波动率

在递减

当股票的数量超过30种以后

波动率的下降程度

就不明显了

事实上平均波动率

是不会低于19.2%

这就是无法通过分散化

消除的系统风险

第二个结论

通过扩大资产组合

增加所包含的资产数量

进行风险分散化

可以消除非系统风险

但不能消除系统风险

这是马克维茨贡献之三

非系统风险

和系统风险的区分

非系统风险

是企业特有的风险

比如企业陷入法律纠纷

高官变动 新产品开发

等等的风险

系统风险则是指

整个市场所承担的风险

比如经济的景气情况

市场总体利率水平的变化

等等

这些由于整个市场环境

发生变化

而产生的风险

因为投资者可以通过

分散化投资

降低并消除非系统风险

所以 持有风险分散化

组合的投资者

比起没有进行

风险分散化的投资者

可以要求相对比较低的

投资回报率

这样 在市场交易中

就处于比较有利的竞争地位

所以 在充分竞争的市场中

资产定价将根据

风险分散化的

投资者的行为来决定

也就是说

市场只对系统风险

产生风险溢价

而非系统风险不能产生

风险溢价

这就是我们要得出的

第三个结论

只有系统风险

才是市场所承认的风险

只有系统风险

才能获得风险溢价