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今天我们讲

金融工程导论的第七讲

在上一讲中

我们用二叉树模型

介绍了期权定价的

动态对冲的方法

并在动态对冲的基础上

引入了风险中性的定价方法

那么 在这一讲中

我们讨论期权定价的

Black-Scholes模型

来深化这些概念

这个模型是Black和Scholes

两位金融学教授

在1973年发表的

期权定价模型

其思想

与二叉树的定价方法

是一致的

也就是动态复制的定价原理

从技术上说

BS模型是二叉树模型

在时间间隔

趋于零时的模型

也就是标的资产价格运动

是连续变化的条件下的

期权的定价模型

BS模型的好处

是它具有解析公式的形式

用起来非常方便

通过BS模型引申的

隐含波动率的概念

也已经成为期权交易的

定价基准

并被广泛应用于

市场波动率指数的设计

所以

熟悉并掌握BS模型

对期权交易非常重要

下面

我们首先刻画标的资产

在连续时间条件下运动规律

先假设标的资产

为不分红的股票

然后我们再考虑

分红资产的情况

我们这一讲中

要用到一些随机过程的知识

但我们并没有要求同学们

先修过有关的课程

所以这里我们先介绍一下

随机过程的基本概念

随机过程是由一组

随机变量S（t）构造成的

其中每一个参数t

对应一个随机变量S(t)

参数t的变化可以是离散的

也可以是连续的

如果参数t的变化是离散的

就是随机序列

如果是连续的

我们称为随机过程

对于资产价格来说

假如一年365天

都能观察到资产价格

在每天的收盘价

我们可以把这些

资产价格列出来

写成如下的形式

当前时间是t=0时

价格S0是已知的

后面的资产价格都是未知的

也就是随机变量

我们在变量上

加上一个波浪号

就代表是随机变量

因为我们假设

资产是不分红的

每天的收益率

用后一天的价格

除以前一天的价格来计算

【公式展示】

以此类推

这样每天的收益率

可以表示成

【公式展示】

在这里

R是按日计息的利率

要计算按年计息的利率

我们可以这样做

【公式展示】

那么 处理这个连续乘积

是比较麻烦的

所以

在期权定价中

我们一般采用

连续计息的连续复利

我们记为小

计算方式如下

【公式展示】

这个小rt是连续计息的

连续复利率

我们定义小r是小rt

在单位时间

也就是一年内的平均值

由下面这个公式

我们可以得到

那么在这个公式里

我们注意到

r就是单位时间的

连续复利率的收益率

资产价格过程

为了推导BS模型

现在我们对标的资产价格的

运动规律做出基本的假设

第一

所有的小rt

都是独立并且同分布的

第二

股票的价格变化是连续的

那么第一个条件是

二叉树模型的基本假设

而第二个条件就是

在二叉树的模型的基础上

把时间间隔取的很小

也就是让所分的阶段数

n变得很大

在极限情况下

我们可以采用中心极限定理

得到随机变量r

也就是连续复利的年化收益率

它是服从正态分布的

而价格就服从对数的正态分布

在满足以上两个条件时

我们有

【公式展示】

是满足以mu*T为均值

以sigma^2*T为方差的正态分布

其中

【公式展示】

是从0到T时间内的

连续复利收益率

它其期望值是

【公式展示】

方差是

【公式展示】

我们看到

连续复利收益率的期望值

和方差都正比于T

这是因为不同时间的回报率

是相互独立旳

这是一讲中

市场有效性的

随机漫步假说

在早期的市场有效性检验中

方差比例检验方法

也就是检验不同

时间长度的方差

是否是随时间长度呈线性增长

如果是呈线性增长

那么不同时间的回报率

是独立的

那么资产价格

是符合随机漫步假说的

也就是市场是有效的

最后

我们看看价格的预期

和方差是多少呢

价格的预期

【公式展示】

除以期初的价格S0

也就是0到T时间的预期回报率

是大于以日回报率的平均值

mu为收益率的连续复利的

其中的道理

和收益率的算术平均

与几何平均的关系是一致的

【公式展示】

是T时间内日收益率的算数平均

而 是T时间内

日收益率的几何平均

我们知道

日回报率的波动越大

算术平均与几何平均的

差距就越大

现在我们由二叉树定价出发

加上以上对价格的基本假设

我们可以推出BS模型的结论

由以上对价格过程的

假设条件可以看出

二叉树模型比BS模型的

适用范围更广

它可以解决标的资产

是连续过程的情况

也可以解决标的资产

具有非连续的跳跃的情况

对于二叉数定价来说

如果从时间等于0

到T时刻

所分的阶段数越来越多

也就是二叉树越分越细

我们适当地选择二叉树中的

u和d

当所分的阶段数

趋于无穷大时

标的资产的

连续复利回报率r

是趋于正态分布的

而股票的价格就趋于

对数正态分布

根据前面第一个条件

各个阶段股票价格的回报率

是互相独立的

而且回报率的概率分布

是同分布的

那么从0到T的回报率

是可以写为

【公式展示】

由中心极限定理

我们知道r是正态分布的

在二叉树中

股票的变化可设为

【公式展示】

所以收益率的期望值

由下面式子给出

方差由这个式子给出

根据第二个假设条件的要求

我们需要保证

价格过程的连续性

从数学上我们能够证明

当时间间隔取得接近于零时

如果u和d都快速地趋于1

使得收益率的期望值

和方差都趋于零

那么我们就可以保证

价格是连续的

下面我们来看看

该如何选取u和d

对于n个时间周期的二叉树

因为各个阶段之间价格变化

是相互独立的

连续计息收益率

在时间T内的均值

和方差

【公式展示】

均值必需趋于mu*T

方差由这个式子给出

它就应该趋近于sigma^2*T的

如果我们这样选取

u、d和q

【公式展示】

当n趋于无穷时

我们可以证明

按以上的u d 和q

参数选取方法

无限细分二叉树后

股票价格趋于对数正态分布

收益率的预期值

也趋近于 的

方差是趋近于