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利用风险中性假设的

二叉树定价

现在我们可以利用

风险中性假设的分析方法

来对多期的期权进行定价

我们采用倒推法

前面已经提到

这是资产定价的

最主要的方法

这种方法是在时间上

从后往前推导

我们以两个周期的

二叉树为例

来说明这个方法

我们先从第二期期末

倒推到第一期期末

再从第一期期末倒推到期初

第一个二叉树

是标的资产的价格图

t=0时

标的资产的当期价格是S

t等于1时

可能有两种状态

uS和dS

其中u大于1 d是在0和1之间

t等于2时

标的资产价格有三种状态

分别是u2S

udS和d2S

第二个树

是相应的认购期权的价格图

当t=2时到期

执行价为X

现在我们来看期权的价格图

当t=2时

在Cuu这个节点

它的收益是u2S-X

和0之间最大的值

在Cud这个节点

它的收益是udS-X

与0取最大值

在Cdd这个节点上

收益是d2S减X

与0取最大值

我们要求

期权t=0时的价格

我们用倒推法

倒推出t=1时的

两个状态Cu和Cd

采用风险中性定价

如图所示

这里概率p和1-p

是风险中性概率

我们最后再由

Cu和Cd的值推出

t=0时C的值

也就是这个公式

对于一般的公式

不难推导出n期情况

也就是这个公式

这一结果

应该和采用自融资的

动态无套利均衡分析方法的

定价结果是一样的

但推导要容易得多

下面我们举个数字的例子

假设标的资产是股票

它的价格在t=0时是10

在t=1时有两个状态

分别是12和8

到t=2时有3个状态

分别是14.4

9.6和6.4

在这儿

u和d分别是1.2和0.8

无风险收益率是2%

我们需要对认购期权c定价

认购期权也是两期

它的执行价格是8

也就是在t=2时

分别对应这个期权的价格

是6.4 1.6和0

现在我们计算它的

风险中性的概率

由前面推出的公式

我们知道

代入刚才n=2的公式中

我们可以得到

期权的价格是2.62。

在刚才的例子中

我们如果采用动态复制技术

在t=1时的u节点上

我们可以算出

然后我们算出u节点上

期权价格：

用同样的方法

算出d节点的价格

最后

再算t=0时的复制组合

得到期权的价格

重申一下

我们在本章中介绍的分析方法

有一个要点

就是自融资策略

在上面的数字例子中

复制c的组合

到了第一期期末

如果标的股票价格上涨

在复制组合中

股票的头寸变成了

Δ等于1

原来的股票头寸

Δ只有0.824

这就不够了

这时需要补进0.176份的股票

这个时候

每份股票的市价是12元

需要融资0.176×12

也就是2.112元

所谓自融资

就是再卖空价值为

2.112的无风险证券

这个时候组合中

原有的无风险证券的空头头寸

是5.616×1.02

这是t=0时的空头头寸

再加上利息

再加上这一期需要卖空的

无风险证券头寸2.112

也就是7.84元

这正好就是Lu的数值

这说明在第一期期末

我们只是调整了

组合中的股票头寸

和无风险债券头寸的比重

整个组合的价值没有变化

都是股票价格上升后

和无风险证券

加上一期利息后的组合价值

也就是4.157元

这就是自融资

其他节点的情况也都是一样的

风险中性概率与真实概率的比较

在真实世界里

资产价格是由这个公式决定的

分子中的预期现金流

是相对于真实世界的概率

分母中的折现率

是包含投资人风险溢价的

预期收益率

在风险中性的世界里

资产价格由下面公式决定

这个公式中

分子中的现金流预期

是相对于风险中性概率的

分母中的折现率

是无风险收益率

本讲小结

第一

无套利均衡定价

是金融学中的重要分析方法

它分析的过程和结果

与市场参与者的风险偏好无关

第二

风险中性概率的存在

与无套利均衡的存在等价

只要市场中没有套利机会

风险中性概率就存在

反过来

如果存在风险中性概率

使得市场中

所有衍生品的定价

遵循风险中性定价

那么市场就没有套利机会

第三

风险中性的概率是否唯一

取决于市场是否完备

市场的动态完备性

是指采用动态交易策略

复制需要定价的证券

如果存在动态交易策略

复制组合

则市场是动态完备的

衍生品定价是动态完备的