Video在线视频

根据以上对价格过程的假设

我们推导Black-Scholes期权定价模型

我们对市场交易作进一步假设

首行 市场是无摩擦的

没有税收

也没有交易成本

第二

所有资产都可以无限细分

最后是没有卖空的限制

第二我们还假设

无风险利率是常数

而且是连续付息

我们记为rf

现在我们进一步刻画

标的资产所遵循的过程

由以上讨论

我们知道

首先 第一

标的资产价格变化是连续的

第二

任何不同的时间段内

标的资产收益率是不相关的

第三

任何时间段标的资产

复利收益率服从正态分布

第四

任意时间t1至t2内

标的资产的连续复利

收益率的均值和方差

都与t2减t1成正比

也就是它们满足

如下的概率分布

我们把遵循以上几个条件的

资产价格过程S(t)

称为带漂移的几何布朗运动

我们首先介绍布朗运动

大家熟悉随机游走过程

其实布朗运动是随机游走过程

在连续时间上的对应

我们定义在

任意时间间隔dt内

布朗运动的变化

记为dz

【公式展示】

其中 是正态分布的随机变量

均值是零

方差为1

也就是说

在任意时间间隔dt内

z的变化dz

是正态分布

均值是零

方差是dt

而且在不同时间间隔内

z的变化是互相独立的

如果我们定义x是

【公式展示】

x就是波动率为sigma的布朗运动

还可以定义x

【公式展示】

那么这时

x就是带漂移的布朗运动

更一般地情况下

我们可以让 和

是x和t的变量

也就是

【公式展示】

这个时候我们称x为伊藤过程

现在我们定义资产价格过程
【公式展示】

S实际上是个伊藤过程

mu*和sigma都是常数

S的变化率是布朗运动

S也称几何布朗运动

在这里mu*是资产价格回报率的平均值

mu是前面所述的连续复利收益率

在单位时间的平均值

也就是收益率的几何平均值

sigma是波动率

也就是连续计算收益率

在单位时间内的标准差

现在我们介绍伊藤引理

伊藤引理

假如S遵循以上

定义的伊藤过程

【公式展示】

它对于S二次可微

对于t是一次可微的函数

那么我们就有如下的表达式

同学们请注意

这个公式实际上就是

函数f对其自变量

作泰勒展开

保留第一阶小量

与一般的函数微分

形式不同的是

多了一个二次微分项

也就是等式右边第三项

【公式展示】

这一项的来源是

随机波动导致的

因为随机波动的方差

与dt成正比

所以对随机变量S的

二阶导数也必须保留

这是随机变量与一般变量

之间的最大区别

所以请同学们要特别注意

显然

如果S是标的资产价格

S的衍生品价格

就满足以上函数f的条件

包括认购期权与认沽期权

这个公式在以下

推导BS模型时起关键作用

它决定了衍生品价格风险

与标的资产价格风险之间的关系

这里我们会出一道习题

请大家运用伊藤引理

求log（S）所满足的

随机过程的变化

推导Black-Scholes

期权定价模型的方法

实质上与二叉树模型是一样的

都是基于无套利均衡分析

采用动态复制的方法

只是我们把它放在一个

连续时间模型框架下

用更加严谨的

数学语言来表达出来

在完美市场的假设条件下

我们在期权期初t=0时

购买标的资产

和相应的无风险证券

组成复制期权的组合

然后不断的动态调整

复制组合的头寸

保持这个组合

与复制的期权相一致

一直到期权到期日T

这样

根据无套利均衡原理

t=0时刻期权的价值

就一定等于复制组合

在t=0时刻的价值

我们把复制一份期权

所需要的标的资产的头寸

定义为delta

那么我们如何确定delta呢

我们把标的资产价格过程dS

和衍生品价格过程df相比较

有如下的关系式

大家注意到

df是采用了以上的伊藤引理

那么我们比较两个式子

我们会发现

当取

【公式展示】

标的资产和衍生品的风险项

也就是dz项

正好相等

在上一讲二叉树定价时

我们选择的复制组合中的

股票头寸就是delta

与这里的含义实际上是一样的

Delta不停地发生变化

所以为了复制一份期权

需要随时调整复制组合中的

股票的头寸

但这种调整是没有成本的

是自融资的

这一点我们在

二叉树模型中强调过

现在我们建立无风险套利组合

我们用Delta份的

标的资产和卖空无风险证券

L来复制衍生品f

也就是f可以写成这样的形式

那么无风险证券

可以反过来写成

衍生品和标的资产的组合

那无风险证券

在时间间隔delta t内的价格变化

可以写成衍生品的价格变化

和delta份的标的资产的

价格变化的和

也就是它们的价格变化

由这个公式给出

现在我们反

把df与dS的表达式代入

消去风险项dz

我们得到

无风险证券它的价格变化

那么既然L是无风险证券

它的回报率一定等于

无风险利率rf

也就是

【公式展示】

那么我们把delta L的表达式

和L的表达式代入

我们就可以得到如下的方程

这就是著名的

BS期权定价方程

大家注意到

这个方程只与无风险利率rf

标的资产波动率sigma

和标的资产价格S有关

而与标的资产价格的

回报率mu无关的

这说明什么呢

这说明衍生品定价

与市场的风险偏好无关

这就是我们上一讲

反复强调的

衍生品定价可以放在

风险中性的框架下进行定价

这里我们看到

采用不同的模型

并不影响到

我们对定价本质的把握

以上的推导

同学们可以发现

和二叉树定价是一脉相承的

只是在连续时间下

我们得出了一个统一的方程

对某一标的资产

所有衍生品价格

都满足这一方程

不同的只是边界条件的不同

对于欧式认购和认沽期权

边界条件也就是终值条件

由期权的到期日的收益决定的

【公式展示】

认沽期权

在T时候的价值是等于

【公式展示】

我们解出以上偏微分方程

就得到Black-Scholes的公式

这个方程的解如下

c和p都是由两部分组成

【公式展示】

在以下我们会给出

N（d1）和N（d2）

它们所代表的金融学上的含义

这就是一般我们所指的

BS期权定价公式

但是

金融学中

期权定价是指

无套利均衡的定价方法

和动态复制的过程

而不仅仅是这个

期权定价的结果

对于具备相关

数学准备

并希望进一步了解

这一领域的同学来说

可以阅读John Hull教科书中

列出的相关文献资料