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Black-Scholes 模型的推广

第一

标的资产支付已知红利的情况

我们首先考虑标的资产支付

已知红利的欧式期权

假如现在时间是t

欧式认购期权的到期日是T

标的资产在时间t1

支付已知数额的红利D

在这种情况下

BS模型将发生什么改变呢

因为标的资产

在认购期权到期日之前

支付红利

所以标的资产现在的价值

应该由两部分现金流组成

第一

是发生在t1时刻的无风险红利

我们记为D

第二

是支付红利后到时刻T

股票的价值的现值

这一部分价值是有风险的

我们把它记为

【公式展示】

请注意以上分析

对于在到期日之前

多次发生已知红利的情况

也是可以适用的

更一般的情况

我们假设D*是时间t

到到期日之间所有红利

在时间t的现值

那么除去红利后资产价格是

【公式展示】

所以

对于期权投资人来说

标的资产价格不是股票本身

而应该是股票减去红利的现值

这是因为对于期权投资人来说

他们并没有分红的权利

现在

我们可以直接利用不分红

标的资产的Black-Scholes模型

来定价

我们只要用

来代替 就可以了

带入后得到如下公式

【公式展示】

当然其中的变量d1和d2

【公式展示】

这就是标的资产支付

已知红利的情况下

BS的定价公式

当然我们也可以

利用风险中性定价

来推导已知红利的BS的公式

我们从以下

风险中性定价的原理出发

我们知道认购期权的价格

应该等于未来现金流的预期

这里的预期是指相对于

风险中性概率的预期

我们记为

【公式展示】

其中我们知道S（t）

是一个随机变量

它应该满足对数正态分布

也就是均值为

【公式展示】

请大家注意

在Black-Scholes定价公式中

S（t）只通过上面描述

对数正态分布的关系起作用

因为标的资产是要分红

所以我们把S(t)替换成S_risky

也就是有以下的关系式

实际上我们是把分红的影响去掉

这是蕴含的关系也就是

【公式展示】

这种方法算出的结果

与以上得出的公式一致

请同学们课后自行推导

现在我们讨论

Black-Scholes 模型的第二个推广

在标的资产具有

已知红利率的情况

同样的分析方法

可用于标的资产在单位时间

连续按比例发放红利的情况

对这种情况的分析

非常重要

因为许多重要的标的资产

比如股票指数 外汇等

期权定价都可以转化为

这种形式来讨论

我们假定在任何时间段dt

标的资产都发放红利

红利利率由

这等价于在每一个时刻

我们都将剩余股票价值的一部分按比例

Eta Sdt取走

我们按连续复利计算

这意味着到期时

还剩下原来股票价值的一部分

【公式展示】

所以在现在时刻

标的资产的价值由两部分组成

第一个是比例为
【公式展示】

这部分是作为红利在

到期日之前发放的

另外剩下的那一部分

【公式展示】

这一部分是一份

标的资产去除红利后的现值

采用和以上相同的做法

我们可以用

【公式展示】

来代替S（t）

得到Black-Scholes的解如下

现在我们讨论

Black-Scholes 模型的第三个推广

外汇期权的定价

外汇期权的定价

类似于支付已知红利率的

标的资产的期权定价

我们来看一个例子

假如欧元兑美元

在时刻t的汇率是

一欧元兑1.12美元

那么在BS公式中

我们可以取S(t)=1.12美元

另外

我们记欧元无风险利率是

美元的无风险利率是

我们可以把欧元看成是一个

支付已知红利率的标的资产

在任何时间段dt内

1欧元需要支付的红利率

就是

【公式展示】

所以我们采用标的资产

支付已知红利率的

Black-Scholes模型

就可以得到外汇期权的

定价公式

在这里

我们用欧元的利息

替代标的资产红利率

最后

我们来看一看

Black-Scholes 模型的

第四个推广

也就是分红标的资产

即美式认购期权近似解

我们知道

不分红标的资产的

美式认购期权是等价于

欧式认购期权的

对于分红标的资产的

美式认购期权

因为有提前行权的可能

其价格是大于相应的

欧式认购期权的

在Black-Scholes模型下

除不分红标的资产的

美式认购期权外

美式期权一般没有解析解存在的

假如标的资产在时刻t1分红

这里t1在t和T之间

根据我们第六讲中

对美式认购期权的定性分析

我们知道

认购期权的持有者

要么在临近分红前执行期权

要么等到到期日执行期权

所以我们可以把

这个美式认购期权

近似看作两个欧式认购期权中

取比较大的那个期权值

这两个欧式认购期权分别是

第一个是

到期日是分红日t1的

欧式认购期权

标的资产不分红

第二个是

到期日是T的欧式认购期权

标的资产在时刻t1分派红利

分红股票的

美式认购期权的近似解

可以写成这两个欧式期权的较大值

而这两个欧式期权的价格

我们在前面已经讨论过

可以写成这样的公式

这个近似解可以推广到

多次分红的情况

另外同学们应该注意的是

这个近似解比理论值

稍微偏小一点

我们将留一个习题给大家

采用定价软件来比较

这两种方式求出的期权价格

Black-Scholes 模型的第五个推广

我们考虑波动率的情况

在期权定价公式中

波动率是作为常数处理的

在实际运用当中

波动率是可能随时间随机变化的

假设波动率在未来3个月中

随时间变化

每个月分别是年化36%

42%和28%

那么期权定价公式

在运用波动率时

就应该这样计算

【公式展示】

我们得出0.179

因此在用BS定价时

我们需要用以上

算出来的Sigma代入来计算

一般来说

如果波动率是时间的函数

那么我们可以用以下积分公式

来替代期权在生命期时间间隔内

它的方差
【公式展示】

也就是我们可以用

【公式展示】

如果波动率是个随机变量

我们想想

是否可以用方差的预期

也就是这个关系式

来代替

【公式展示】

我们答案是这样的

只有当波动率的随机变化

与标的资产的变化无关时

我们可以用以上的预期

来代入BS定价模型

求出期权的价格

当波动率与标的资产价格

负相关时

认沽期权价格变高

当波动率与资产价格正相关时

认购期权价格会变高

这里面的原因

我们留给同学们做为习题