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最后

我们讨论在期权定价中

一个非常重要的概念

隐含波动率

在Black-Scholes期权定价模型中

不能直接观察到的参数

只有股票价格的波动率

人们通常认为

这个波动率就是标的资产的

历史波动率

但是

当采用历史波动率

代入BS定价模型时

模型价格与市场价格并不一致

我们把期权的市场价格

所对应的BS模型中的

波动率称为隐含波动率

比如一个不支付股息的

欧式认购期权

价格为1.9

如果标的资产价格为S=21

执行价格X=20

无风险利率r=0.1

到期日T=0.25

把这些参数代入

Black-Scholes期权定价公式后

隐含波动率就是使得期权

价格1.9等于它的

BS定价公式时所需要的σ

我们可以用迭代的方法

比如一开始

我们假设sigma=0.2

对应这一波动率期权价格c

是1.76

这一价格比市场价格小

由于期权价格

是波动率的递增函数

在sigma=0.3所对应的

期权价格是2.0

这个价格高于实际价格

这就意味着

sigma一定是在0.2和0.3之间

接下来如我们假设

sigma等于0.25

这次BS模型对应的

期权价格也偏高

所以这个sigma

应该在0.2和0.25之间

这样我们继续下去

每次迭代都使sigma区间

缩小一半

我们可以计算出

满足任意精度的sigma的近似值

在这个案例中

波动率是大约0.242

也就是24.2%

隐含波动率所对应的

是期权的价格

可以理解为是市场上

对标的资产在期权存续期内

波动率的预期

历史波动率是往回看的

而隐含波动率则是向前看的

所以隐含波动率

对于未来波动率的预测

要比历史波动率更准确

事实上

在期权市场中

交易者对期权的报价

是隐含波动率

而不是期权价格

这是因为期权价格

不仅受波动率的影响

还和标的资产密切相关

机构投资者交易期权的目的之一

是为了交易波动率

整个市场波动率的大小

和市场情绪密切相关

最受关注的隐含波动率

是标普500指数期权波动率

成为VIX指数

现在我们简单介绍VIX指数

CBOE发布标普500指数期权的

隐含波动率指数

这是由标普500指数中

30天认购和认沽期权市场价格

所计算得到的

具体计算方法超出我们的课程范围

请有兴趣的同学

可以参看课本相关章节的附录

如果VIX的值为15

表示30天的标普500指数期权

隐含波动率为年化15%

VIX的期权期货交易

是从2004年开始的

而VIX的期权交易

是从2006年开始的

一份和约等于1000乘以指数

交易VIX指数的期货和期权

不同于交易标普500的期货和期权

标普500指数期货或期权

是在将来的标普500水平

以及标普500的波动率

两方面下注

而VIX的期货或期权

只是在波动率上下注

这就是为什么近年来

各类资产的波动率指数交易

越来越活跃的原因

这张图显示的

是2004年1月

到2008年9月期间的

VIX指数的走势

在2004年到2007年间

VIX指数在11-20区间

在2007年下半年上升到30

2008年10月到11月之间

也就是金融危机爆发后

指数一度达到80

到2009年9月中

市场开始企稳

指数又降到正常范围

也就是25以下

由此可见

波动率指数是衡量市场

恐慌情绪的指数

因此我们又把它叫恐慌指数

现在我对本章做一个小结

这一讲中我们讨论了

BS期权定价公式

以及在不同应用中的推广

BS期权定价模型

有一系列的前提假设条件

其中最主要的假设

是标的资产收益的变化

服从对数正态分布

资产价格连续复利收益率

遵循带漂移的随机游走过程

这一假设在理论上

和市场的有效性假设是相吻合的

与二叉树模型一样

BS期权定价模型

实际上采用的是动态复制技术

也就是动态无套利均衡分析方法

这一方法的核心

仍然是构筑完全对冲的组合头寸

因为对冲是需要不断动态调整的

所以采用的是delta对冲

关于更多的对冲策略

我们在下一讲中讨论

正因为对冲的结果消除了不确定性

所以这种定价方法

一定与投资者的风险偏好无关

由此可以利用风险中性的定价方法