当前课程知识点:混凝土建筑结构 > 3. 多层框架结构 > 3.2框架结构内力与水平位移的近似计算方法 > 3-6水平荷载作用下的反弯点法
同学你好
这一讲的内容是水平荷载作用下
框架结构的反弯点法
这是一个典型的框架结构
在水平荷载作用下的弯矩图
这个图形它有一些特点
比如说对于梁和柱子来说
都有一个反弯点
它的弯矩图都是呈现直线变化的
如果忽略梁的轴向变形
那么同一层内各节点就具有相同的侧向位移
也就是说同一层各柱就具有相同的层间位移
我们用反弯点法计算的时候
整体的思路是这样子
假如我们有办法把反弯点的位置确定下来
反弯点的概念就是在这个点上
它的弯距等于0
如果我们有办法把这个点的位置确定下来
并且我们把每一根柱子所分担到的剪力求到
那么我们在反弯点的位置把它切开
这个柱子就变成固定于上端和下端的悬臂柱
这样我们就可以把柱端的弯矩求出来
紧接着根据节点的平衡
就可以把梁端弯矩求出来
后面的剪力和轴力都可以求出来
现在的问题就是怎么来求反弯点的位置
以及怎么来把水平向的剪力
分配到各根柱子里面去
首先来看一下
应用反弯点法求解的时候有一些基本的假定
比如第一求各个柱的剪力的时候
假定各柱上下端都不发生角位移
也就是认为梁的线刚度
与柱的线刚度之比为无限大
在实际设计的时候
如果满足梁的线刚度
和柱子的线刚度之比大于等于3
我们就认为可以满足这个假定了
第二个在确定柱的反弯点位置的时候
做了非常大的简化
假定一般层柱子的反弯点
就在柱高的中点的位置
底层柱反弯点的位置在距离下端2/3层高的位置
第三梁端弯矩可以根据节点平衡条件求出
比如说梁端弯矩的和我们先取一个节点
柱端弯矩如果有办法得到
那么梁端弯矩的和
和柱端弯矩的和应该是平衡的
这样我们就可以得到梁端弯矩的和
在按照节点左右梁的线刚度进行分配
就可以得到梁端的弯矩
下面来看一下反弯点法具体的推导过程
左边这个图是一个典型的框架结构
它上面作用有
已经经过简化的施加在节点的水平集中力
从F1到Fn每一层的层高的位置
都作用一个节点集中力
我们在某一层取上半部分
从这一层然后向上部分给它取出来
在这个图上
从顶向下一直到这一层的节点的这些位置
这些水平集中力都是存在的
那么这个水平集中力的和
应该和这一层层剪力Vj它们是平衡的
所以Vj等于这一层是第j层
Fj一直往上一直加到顶层
等于∑Fi i取j到n
然后这一层总的层剪力
它是要分配给各根柱子
所以各根柱子分担到的剪力的和
应该和这一层的层剪力是相等的
也就是说Vjk就是第j层第k根柱子
它分担的剪力值
我们把这一层总的柱子分担到的剪力值加起来
应该等于总的层剪力值
下面来看一下每一根柱子分担到的
我们怎么把它求出来
在这里有一个概念
就是柱的抗侧刚度或者叫抗剪刚度
或者叫侧向刚度都可以
使柱子两端固定的柱子
上下两端发生单位水平位移的时候
所需要施加的水平力
这个可以根据结构力学里面
两端固定的这样一个杆件
它发生支座沉陷
或者叫支座位移的时候
两端就会附加有弯矩
弯曲的方向是一致的
把弯矩加起来反号
再除以它的杆件长度
就可以得到两端的剪力
这个值其实就是我们这个地方的侧向刚度
侧向刚度知道之后
我们代到原来刚刚讲的平衡条件里面
就可以得到了每一根杆件分担到的剪力值
来具体看一下
第一个式子
这一层的层剪力
等于这一层以上所有层的节点水平力的和
并且等于这一层各根柱子分担到的剪力值的和
然后我们把每一根柱子
它的剪力用它的抗侧刚度带进去
因为抗侧刚度就是使得这个节点
上下发生单位水平位移的时候
所需要施加的水平力
那么现在这一层它总的侧移等于多少
等于Δuj
所以我们给每一根柱子的抗侧刚度
就得到单根柱子的分担到的剪力
然后单根柱子分担了剪力
求解的时候对于这个公式来说
我们前面还有一个假定
就是同层各节点的它的位移是相等的
这些节点的位移相等
都等于Δuj
所以它又可以提到求和号的外面
这样我们就得到了Δuj这个式子
把它求出来之后
然后再代到单根柱子
的抗侧刚度的关系的式子里面去
把这个式子代到这儿来
然后我们就得到了
单根柱子分担到的剪力Vjk
代进去一看
它是和它的抗侧刚度占总的抗侧刚度的比值
来分配的
因为抗侧刚度等于12i/h2
而且对于同一层来说
它的层高h值是一个常数
是相等的
所以最后把这个约掉之后
剪力就按照线刚度i进行分配
到这里我们就把这一层
每一根柱子分担到的剪力值就求出来了
是等于这一层的层剪力
然后按照线刚度分配给每一根柱子
下面的问题就简单了
然后根据各根柱子的剪力求出来之后
前面我们又有一个假定
就是除底层柱之外
一般层柱子它的反弯点位置就在层高中点的位置
这在层高中点的位置
这个也是层高的位置这是2/3层高的位置
这样我们就可以把各根柱子的
上端和下端的弯距都可以求出来
比如说像这个图中
这边标注的第三层右边的这根柱子
然后因为它的反弯点在柱高中点的位置
而且这个时候这一根柱子的
分担到的剪力值知道了
我们在反弯点的位置给它切开
这样我们用剪力乘以到上柱柱端的距离
就得到上面的弯矩
乘以到下面的距离就得到下面这个弯矩
所以这边可以看出来它是V再乘以1/2h
你算的是哪一层就把哪一层的层高带进去
当然对于底层来说变化的是反弯点的位置
它是距离下端2/3层高的位置
所以这个地方乘的时候
求下段为弯矩的时候是乘以2/3h1
求上端的时候是乘的1/3h1
这个是柱端弯矩
那么梁端弯矩在求解的时候
先把梁端弯矩的和求出来
然后梁端弯矩的和
应该和柱端弯矩的和它们是平衡的
也就说相等的但是方向是相反的
这样我们取出来一个节点
在这个节点上把梁端弯矩的和求出来之后
它这个数值上等于柱端弯距的和
按照这个节点左右两端梁的线刚度之比进行分配
这样就把梁端的梁的节点两端的弯矩就求出来了
到这里我们就把整个框架结构
梁端弯矩和柱端弯矩都求出来了
下面梁的剪力怎么来求呢
把你要求的梁给它取出来
当然是一段一段来取的一块一块来取
把这一根梁取出来
左右两端的弯矩给它加上
因为现在作用的是节点集中力
所以在梁的跨中位置是没有竖向荷载的
它中间没有竖向荷载两端的弯矩又是知道的
那么根据杆件就是梁的平衡关系
就可以把剪力求出来
下面再求轴力的时候
我们按照从上到下的顺序
可以根据竖向力的平衡条件
然后把柱子的轴力求出来
好这一讲的内容就到这里再见
-教材与课程内容
--教材
-1.1概述
-1.2现浇单向板肋梁楼盖
-1.3双向板肋梁楼盖
-1.4无梁楼盖+1.5装配式楼盖
--1-19无梁楼盖
-1.6楼梯与雨蓬
--1-20楼梯
--1-21雨蓬
-1. 楼盖--课后习题
-2.1单层厂房的结构形式、结构组成和结构布置
--2-3变形缝
-2.2排架计算
--2-8内力组合
-2.3单层厂房柱
--2-9单层厂房柱
--2-11牛腿设计
-2.4柱下独立基础
-2.5吊车梁
--2-13吊车梁
-2. 单层厂房--课后习题
-3.1多层框架结构的组成与布置
-3.2框架结构内力与水平位移的近似计算方法
-3.3多层框架内力组合
-3.4无抗震设防要求时框架结构构件设计
-3.5多层框架结构基础
-3. 多层框架结构--课后习题
-4.1概述
-4.2高层建筑结构体系与布置原则+4.3高层建筑结构上的作用
-4.4剪力墙构件
-4.5剪力墙结构
-4.6框架—剪力墙结构
-4.7筒体结构
--4-28筒体结构
-4. 高层建筑结构--课后习题
-单层厂房主要构件及计算方法演示视频——西安交通大学本科生王宇、龙杰烨、张松、刘昊洋作品