当前课程知识点:大学物理 > 第三章 功和能 > 3.2 势能和机械能守恒 > 势能 机械能守恒定律
同学你好
前面我们介绍了动能 动能定理
今天我们继续介绍势能
并且得到机械能守恒定律
什么是势能呢
我们首先来看几种力做功的情况
重力做功
质点m在重力作用下
由初位置a沿某一路径到达末位置b
初位置坐标ya末位置坐标yb
我们去求这一过程中重力所做的功
按照功的计算公式F点积dr从a积到b
由于重力只有y方向上的分量
由于重力只有y方向上的分量
所以我们把这个积分式子进一步写成 Fydy
重力的方向是向下的
而我的y轴正向是向上的
所以Fy写成-mg
积分结果就等于mgya-mgyb
可见重力做功只与物体移动的初末位置有关
与具体的路径没有关系
我们再来看弹簧的弹性力所做的功
小物体在弹簧的弹力作用下
水平面上运动
我们以弹簧原长的位置为坐标原点
水平向右的方向为x轴正向
物体由初位置xa运动到末位置xb
我们求这个过程中弹簧的弹力所做的功
根据功的计算公式F点积dr去做积分
弹簧的弹力只在x轴上有分量
所以我们把它写成Fxdx的积分
根据胡克定律 Fx等于-kx
所以积分结果就等于1/2kxa方减1/2kxb方
可见这一结果
也是只和物体移动的初末位置有关
跟中间过程没有关系
再来看万有引力所做的功
小m在大m产生的万有引力作用下
由初位置a沿某一路径移动到末位置b
这一过程中万有引力所做的功可以写成F点积dr积分
我们用 er来表示
由大m指向小m这个方向的单位矢量
这个式子我们可以进一步的写成这样的形式
负的GMm除以r方乘上单位矢量er就是万有引力的矢量表示式
我们要积出结果
那就需要找到er和dr矢量点积的结果
两个矢量点积
等于两个矢量大小相乘乘以夹角的余弦
如果 dr矢量和er矢量所夹的角度
我们记为φ
那么点积结果就是dr乘上cosφ
从图上我们去做分析dr乘上cosφ
那也就相当于我们从dr矢量的箭头端
去做er的垂线 垂足为p
dr乘上cosφ就是这一段的长度
那么这一段的长度到底应该表示成什么呢
我们再来看
由于质点发生的是微小的位移dr
因此这个角度应该是非常小的
所以在直角三角形中
斜边的长度和直角边的长度应该是一样的
那么这个长度是r加dr 这个长度是r
因此这个长度就是dr
所以这个结果直接就等于dr
我们把它代到上面的表达式中
积分结果就可以写成负的GMm乘上括号ra分之一减去rb分之一
我们又看到了相同的结论
万有引力所做的功
只和物体移动的初末位置有关
跟物体中间的移动过程是没有关系的
由上述的讨论 我们可以看到
三种力做功的共性
那就是功的数值只和物体的始末位置有关
和具体的路径没有关系
我们把这样的力就称之为保守力
常见的保守力
包括重力、 弹簧的弹力、 万有引力, 还有静电力
跟保守力对应的就是非保守力
做功和路径相关
最典型的就是摩擦力
明确了保守力的概念
我们大家思考这样一个问题
如果我们让物体沿闭合路径移动一周
那么保守力做的功是多少呢
很显然闭合路径
意味着物体的初末位置是相同的
所以功的值应该是0
既然保守力做功
只和物体移动的初末位置有关
和路径无关
那么我们可以设想
当一个物体只在保守力作用下
由相同的初位置
沿不同的路径到达相同末位置时
物体的动能变化是相同的
那么我们从另一个角度分析这个问题
可以认为在保守力做正功时
蕴含在空间位置中的某种形式的能量被转化出来
转化成动能
表现为动能增加
当保守力做负功时
这种与空间位置相关的能量又被储存起来
体现为动能的减少
因此与保守力相对应的 我们可以引入
这种与空间位置相关的能量叫做势能
用Ep来表示
保守力所做的功就可以写成
相应的势能的减少量
或者写成势能增量的负值-ΔEp
由这样的一个关系式
我们就可以找到某一点处势能的表示方法
A点处的势能可以写成Epa等于由a积分到b保守力的功加上Epb
也就是说 a点处的势能等于
把物体由该位置移动到b位置
保守力所做的功再加上 b位置处的势能
那么如果我们让Epb等于0
也就是把b点选作零势能点
我们就得到了a点处势能的最后计算公式
a点处的势能就等于
把物体由 a位置移动到零势能点
保守力所做的功
积分上限中括号0表示的是0势能点
根据势能的这一计算公式
我们就可以得到
保守力相应的势能函数的表达形式
那么我们再回过头来看看前面提到的
重力 弹性力和万有引力相应的势能
分别是什么形式
首先重力势能
为了方便我们把零势能点
选在y等于0这个位置处
根据前面功的计算过程 我们可以得出
重力势能等于负mgdy从y积分到零势能点
也就是y=0的位置
积分结果就是mgy
弹簧的弹性势能
最简单的情况
我们是把弹性势能零点取在弹簧原长的位置
x=0的这个地方
那么弹性势能的计算公式就可以写成-kxdx由x位置积分到零势能点x=0
积分结果就是1/2kx方
这是我们经常会用到的弹性势能的表达式
最后万有引力势能
我们把两物体相距为无穷远这个状态
作为万有引力势能的零点
得到万有引力势能的表达式
最终的结果是 -GMm/r
也就是在这样一个零势能点的前提下
在有限远处 万有引力势能都是负值
对于势能我们需要大家注意以下几个方面
首先势能是空间位置的函数
所以它是一个状态量
根据我们前面得到的势能的计算公式
我们可以看出势能的值
是和零势能点的选取位置相关的
因此势能是一个相对量
这里我们得到的重力势能
弹性势能和万有引力势能
是在这样的零势能点的选取前提下的形式
如果零势能点选取位置不同
那么得到的势能表达式就不是这样的形式
最后提到势能一定会有一种保守力存在
而保守力一定是两个物体之间产生的力
所以这个势能
是产生保守力相互作用的这两个物体
构成的系统共有的
我们经常提到的某一个物体所具有的势能
实质上是一种简化的说法
明确了势能的概念
我们就可以进一步根据之前的
质点系的动能定理
找到功能原理 机械能守恒定律的形式
这是我们之前得到的质点系的动能定理
质点系里所有的外力的功与所有内力功加和
等于质点系动能的增量
我们把内力
做保守内力和非保守内力的区分
当我们研究问题的时候
把产生保守力的物体都作为质点系内部的质点
那么保守力只会存在于质点系的内力中
我们进一步的把内力分成
保守内力和非保守内力的加和的形式
根据刚才的知识
我们又知道保守力所做的功
又等于相应的势能增量的负值
我们把这里边保守内力的功用它去替换
就可以得到这样的表达式
外力的功与非保守内力的功
等号右边是Ek加上Ep减去Ek0加上Ep0
如果我们定义Ek+Ep为E 叫做机械能
那么等号右边就是系统
末状态与初状态机械能的差值
最后的表达式写成
外力的功加上非保守内力的功
等于系统机械能的增量
这就是质点系的功能原理的形式
它告诉我们
外力做功和非保守内力做功
可以改变系统的机械能
而保守内力做功
则只会使系统动能和势能之间发生转化
不会改变系统的机械能
需要明确的是这里边
如果我们的质点系内部是有多种保守力存在的话
这里的势能应该是多种保守力相应的势能的加和
从这个式子中我们还可以看到
如果等号左边外力和非保守内力做功之和等于0
我们就可以得出等号右边
E等于Ek加上Ep是一个常量
这就是机械能守恒定律
它是我们自然界中
能量守恒定律的一种具体的表现
好 到现在为止我们就学完了
功和能量之间的所有相互关系
接下来我们来看这样一道例题
一个轻弹簧的一端
系在铅直放置的圆环的顶点P处
另一端系着一个质量为小m的小球
小球穿过圆环并在环上运动 不计摩擦
开始的时候小球静止于A点
弹簧处于自然状态
长度为圆环的半径R
当小球运动到圆环的底端B点的时候
小球对圆环没有压力
我们要求弹簧的劲度系数是多少
我们首先来分析一下这个问题
运动的是小球
小球从A位置运动到B位置的过程中
受到的力是弹簧的弹力 自身的重力
另外就是圆环给小球的支持力
弹力和重力都是我们说的保守力
那么我们在研究这个问题的时候
把产生保守力的物体都作为质点系内部的质点
所以我们把弹簧 小球和地球
作为我们的研究对象 质点系
这个质点系受到的外力
包括弹簧端点这个位置处
环儿给弹簧施加的力
还有环给小球的支持力
在小球运动的过程中
由于弹簧的端点处没有发生位移
所以这个位置处的力是不做功的
而小球受到的支持力的方向
始终和小球的运动方向相互垂直
对小球也不做功
因此我们这个质点系没有外力做功
内力中弹簧的弹力和重力都是属于保守内力
没有非保守内力做功
因此我们的系统满足机械能守恒
从初位置A到达末位置B机械能应该是一样的
我们把B点作为重力势能的零点
把弹簧原长的状态作为弹性势能的零点
列出A位置、B位置机械能守恒的方程
A位置处的机械能
因为A是处于静止状态的
所以没有动能
弹簧是处于自然长度的 弹性势能为0
那么A位置处的能量就只有重力势能
B位置处弹簧的形变量是 R
所以有弹性势能1/2kR方
重力势能为0
速度我们用v来表示
那么B位置处的动能就是
所以我们写出机械能守恒的方程是这样的形式
这里我们找到了v和k之间的一个关系式
要求解出来k我们还需要找到另外一个关系式
我们就利用题中的条件
在B位置处时小球对环是没有压力的
那就意味着在B位置处
弹簧的弹力和小球自身的重力
充当了这个位置处圆周运动的向心力
因此我们可以列出 kR-mg等于mv方比上R
将两个方程联立
我们就可以最终求解出来弹簧的劲度系数k
好 我们今天给大家介绍的
就是势能的概念和功能原理
机械能守恒定律
今天就到这里
-1.1 质点运动状态的描述
--1.1.2 讨论
-1.2 圆周运动
--自然坐标系
--1.2.2 讨论
-1.3 习题
-作业 质点运动学
-2.1 牛顿运动定律及其应用
--运动与力
--2.1.2 讨论
-2.2 习题
-作业 牛顿运动定律
-3.1 功和动能定理
--3.1.2 讨论
-3.2 势能和机械能守恒
--3.2.2 讨论
-3.3 习题
-作业 功和能
-4.1 动量定理和动量守恒定律
--4.1.2 讨论
-4.2 习题
-作业 冲量和动量
-5.1 角动量和角动量定理
--角动量
--5.1.2 讨论
-5.2 刚体的转动惯量
--刚体的转动惯量
-5.3 转动定律
-5.4 转动中的功和能
--转动中的功和能
-5.5 习题
-作业 刚体力学基础
-6.1 简谐运动
--简谐运动方程
--6.1.3 讨论
-6.2 简谐运动的合成
--简谐运动的合成
-6.3 阻尼振动 受迫振动和共振
-6.4 习题
-作业 机械振动基础
-7.1 简谐波
--简谐波的波函数
-7.2 波的干涉
--波的干涉
--7.2.2 驻波
-7.3 多普勒效应
-7.4 习题
-作业 机械波
-8.1 热力学第一定律
--热容和摩尔热容
--绝热过程
--循环效率的计算
--卡诺循环
-8.2 热力学第二定律
-作业 热力学
-9.1 压强 温度和理想气体状态方程
--理想气体的压强
--温度的统计解释
-9.2 分子热运动的统计规律
-作业 气体动理论
-10.1 电场和电场强度
--重点、难点指导
--高斯定理
--作业 电场和电场强度叠加
-10.2 电势能和电势
--重点、难点指导
--电势
--电势的计算
--电势梯度
--作业 电势和电势能
-10.3 静电场中的导体
--重点、难点指导
--尖端放电
--作业 静电场中的导体
-10.4 静电场中的电介质
--重点、难点指导
--电容 静电场能量
--作业 静电场中的电介质
-11.1 磁场和磁感应强度
--重点、难点指导
--磁场和磁感应强度
--毕奥-萨伐尔定律
--磁场中的积分定理
--作业 稳恒磁场的磁感应强度
-11.2 磁力作用
--重点、难点指导
--作业 磁力
-11.3 磁介质
--重点、难点指导
--磁场中的磁介质
--作业 磁介质
-12.1 电磁感应的基本规律
--动生电动势
--感生电场的计算
-12.2 互感、自感和磁能
--互感 自感
--磁场能量
--位移电流
-作业 电磁感应
-13.1 光的干涉
--重点、难点指导
--相干光
--杨氏双缝干涉
--讨论
--等倾干涉
--等厚干涉
--作业 光的干涉
-13.2 光的衍射
--重点、难点指导
--单缝夫琅禾费衍射
--光栅衍射
--作业 光的衍射
-13.3 光的偏振
--重点、难点指导
--光的偏振态
--马吕斯定律
--布儒斯特定律
--作业 光的偏振