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转动中的功和能在线视频

下一节:5.5.1 刚体力学基础

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转动中的功和能课程教案、知识点、字幕

同学你好

这次课我们来学习转动中的功和能

我们前边学习过质点的动能定理

力的空间累积效应改变了质点的动能

我们称之为力做了功

与此类似 刚体在力矩的作用下发生转动

改变了刚体的转动能量

我们称之为力矩做功

力矩的功可以理解为力矩的空间累积效果

如图所示在力F的作用下 刚体发生了转动

力F的作用点发生了位移dr

根据功的定义 力F的元功等于F点乘dr

也即等于Fτ乘以ds

而ds等于r乘以dθ 由力矩的定义

Fτ乘以r等于力F对转轴的力矩

因此 元功dA等于M乘以dθ

也就是说 一个力的力矩做的元功

等于力矩M乘以在力矩作用下

刚体发生的角位移dθ

在某一过程中力矩做的功等于各元功的和

也就是力矩M对θ的积分

即A等于Mdθ从θ1到θ2的积分

这里我们要注意一点

与力对质点做功一样 力矩做功也有正负

当力矩M与dθ成右手螺旋关系时

力矩做正功

也就是刚体沿着力矩的方向转动

而反过来

当力矩M与dθ不是右手螺旋关系时

力矩做负功

也就是刚体转动方向与力矩方向相反

由功率的定义

力矩M的功率P等于dA除以dt

而dθ除以dt等于角速度ω

所以力矩的功率等于M乘以ω

也就是力矩乘以角速度

下面我们讨论力矩的功

与刚体转动动能之间的关系

首先定义刚体的转动动能

Ek等于Σ二分之一Δmivi的平方

也就是刚体的转动能

等于组成刚体每一个质点的动能之和

而刚体定轴转动的过程中

每个质点都在做圆周运动

因此 Ek等于二分之一ΣΔmiri的平方

乘以刚体转动的角速度ω的平方

而公式中的Δmiri的平方求和

正是刚体的转动惯量

因此 刚体的转动动能等于二分之一Jω的平方

这一公式与质点的动能公式是类似的

下面我们来推导动能定理

力矩的功A等于Mdθ从θ1到θ2的积分

由转动定律可知

M等于转动惯量J乘以dω/dt

这里 dω/dt是刚体转动的角加速度

由转动定律可知

M等于转动惯量J乘以dω/dt

而dθ/dt等于ω

因此

A可以写成Jωdω从ω1到ω2的积分

由此刚体转动的动能定理可以写为

A等于Mdθ从θ1到θ2的积分

也就等于

二分之一Jω2的平方减去二分之一Jω1的平方

这一结果表明

合外力矩对定轴转动的刚体所做的功

等于其转动动能的增量

我们可以把这一结果与质点的动能定理

进行对比 理解和记忆

下面 通过一个例子给大家讲解一下

如何运用动能定理解决问题

如图所示 一个质量为M的圆盘

绕通过盘心的无摩擦的水平轴转动

圆盘上绕有轻绳

一端挂一个质量为m的物体

问物体从静止开始下落高度为h时

其速度大小为多少

首先 我们对系统进行受力分析

圆盘受三个力的作用

一个是自身的重力

一个是轴对原盘的支撑力

还有一个是绳子的拉力

对于转轴而言 重力和轴的支持力通过转轴

二者不做功

在这个过程中拉力做功

下边 我们分析拉力的力矩所做的功

拉力的力矩做的功等于Mdθ的积分

而拉力产生的力矩等于T乘以R

也就是力乘以到轴的垂直距离

根据刚才我们讲过的动能定理

力矩所做的功等于圆盘的转动动能的增量

也就是力矩的功等于

二分之一Jω的平方减去二分之一Jω0的平方

下面 我们对物体的受力进行分析

物体受到重力mg的作用

受到绳子向上的拉力的作用

二者做的功等于mgh减去T乘以Rdθ的积分

根据质点的动能定理

这一个功等于

二分之一mv方减去二分之一mv0的平方

由初始条件V0=0 ω0=0

以及在运动的过程中

滑轮边缘的线速度和质点下落的速度

二者是相等的

也就是ωR等于v

联立上述方程我们就可以解得V的数值

好 这节课关于转动中的功和能就讲到这里

同学们需要记住

力矩的功就等于刚体转动动能的增量

大学物理课程列表:

第一章 质点运动学

-重点、难点指导

-1.1 质点运动状态的描述

--1.1.1 质点运动状态的描述

--位矢 速度和加速度

--1.1.2 讨论

-1.2 圆周运动

--1.2.1 圆周运动

--自然坐标系

--1.2.2 讨论

-1.3 习题

--1.3.1 质点运动学

-作业 质点运动学

第二章 牛顿运动定律

-重点、难点指导

-2.1 牛顿运动定律及其应用

--2.1.1 牛顿运动定律

--运动与力

--2.1.2 讨论

-2.2 习题

--2.2.1 牛顿运动定律的应用

-作业 牛顿运动定律

第三章 功和能

-重点、难点指导

-3.1 功和动能定理

--3.1.1 功和动能定理

--功 动能 动能定理

--3.1.2 讨论

-3.2 势能和机械能守恒

--3.2.1 势能和机械能守恒

--势能 机械能守恒定律

--3.2.2 讨论

-3.3 习题

--3.3.1 功和能

-作业 功和能

第四章 冲量和动量

-重点、难点指导

-4.1 动量定理和动量守恒定律

--4.1.1 动量定理和动量守恒定律

--动量定理及动量守恒

--4.1.2 讨论

-4.2 习题

--4.2.1 冲量和动量

-作业 冲量和动量

第五章 刚体力学基础

-重点、难点指导

-5.1 角动量和角动量定理

--5.1.1 角动量和角动量定理

--角动量

--5.1.2 讨论

-5.2 刚体的转动惯量

--5.2.1 刚体的转动惯量

--刚体的转动惯量

-5.3 转动定律

--5.3.1 转动定律

--刚体的角动量及转动定律

-5.4 转动中的功和能

--5.4.1 转动中的功和能

--转动中的功和能

-5.5 习题

--5.5.1 刚体力学基础

-作业 刚体力学基础

第六章 机械振动基础

-重点、难点指导

-6.1 简谐运动

--6.1.1 简谐运动方程

--简谐运动方程

--6.1.2 简谐运动的能量

--6.1.3 讨论

-6.2 简谐运动的合成

--6.2.1 旋转矢量法

--6.2.2 简谐运动的合成

--简谐运动的合成

-6.3 阻尼振动 受迫振动和共振

--6.3.1 阻尼振动 受迫振动和共振

-6.4 习题

--6.4.1 机械振动基础

-作业 机械振动基础

第七章 机械波

-重点、难点指导

-7.1 简谐波

--7.1.1 简谐波的波函数

--简谐波的波函数

--7.1.2 简谐波的能量

-7.2 波的干涉

--7.2.1 波的干涉

--波的干涉

--7.2.2 驻波

-7.3 多普勒效应

--7.3.1 多普勒效应

-7.4 习题

--7.4.1 机械波基础

-作业 机械波

第八章 热力学

-重点、难点指导

-8.1 热力学第一定律

--8.1.1 热力学第一定律和准静态过程

--功 热量 内能和热力学第一定律

--8.1.2 理想气体的等值过程

--理想气体的等值过程

--8.1.3 热容和绝热过程

--热容和摩尔热容

--绝热过程

--8.1.4 循环过程

--热机循环和制冷循环

--循环效率的计算

--卡诺循环

-8.2 热力学第二定律

--8.2.1 热力学第二定律

-作业 热力学

第九章 气体动理论

-重点、难点指导

-9.1 压强 温度和理想气体状态方程

--9.1.1 理想气体的状态方程

--平衡态 温度和理想气体状态方程

--9.1.2 理想气体的压强和温度

--理想气体的压强

--温度的统计解释

-9.2 分子热运动的统计规律

--9.2.1 能量均分定理

--能量均分定理和内能

--9.2.2 气体分子速率分布律

--麦克斯韦速率分布律

--9.2.3 气体分子的无规则运动

--分子平均碰撞频率和平均自由程

-作业 气体动理论

第十章 静电场

-10.1 电场和电场强度

--重点、难点指导

--10.1.1 电场强度及叠加原理

--电场强度及叠加原理

--10.1.2 高斯定理

--高斯定理

--作业 电场和电场强度叠加

-10.2 电势能和电势

--重点、难点指导

--10.2.1 静电场的环路定理和电势

--静电场的环路定理和电势能

--电势

--电势的计算

--10.2.2 电势梯度

--电势梯度

--作业 电势和电势能

-10.3 静电场中的导体

--重点、难点指导

--10.3.1 导体的静电平衡

--静电感应和静电平衡

--10.3.2 导体静电平衡时静电场的分布

--尖端放电

--作业 静电场中的导体

-10.4 静电场中的电介质

--重点、难点指导

--10.4.1 有电介质时的静电场

--电介质的极化和高斯定律

--10.4.2 电容和静电场能量

--电容 静电场能量

--作业 静电场中的电介质

第十一章 恒定电流的磁场

-11.1 磁场和磁感应强度

--重点、难点指导

--11.1.1 磁场和磁感应强度

--磁场和磁感应强度

--毕奥-萨伐尔定律

--11.1.2 磁场中的积分定理

--磁场中的积分定理

--作业 稳恒磁场的磁感应强度

-11.2 磁力作用

--重点、难点指导

--11.2.1 磁场对电流的作用

--磁场对载流导线的作用

--11.2.2 带电粒子在磁场中的运动

--带电粒子在磁场中的运动

--作业 磁力

-11.3 磁介质

--重点、难点指导

--11.3.1 磁场中的磁介质

--磁场中的磁介质

--作业 磁介质

第十二章 电磁感应与电磁场

-重点、难点指导

-12.1 电磁感应的基本规律

--12.1.1 电磁感应的基本规律

--法拉第电磁感应定律

--动生电动势

--感生电场和感生电动势

--感生电场的计算

-12.2 互感、自感和磁能

--12.1.1 互感 自感和磁能

--互感 自感

--磁场能量

--位移电流

-作业 电磁感应

第十三章 波动光学基础

-13.1 光的干涉

--重点、难点指导

--13.1.1 相干光

--相干光

--13.1.2 杨氏双缝干涉

--杨氏双缝干涉

--讨论

--13.1.3 薄膜干涉(一)——等倾干涉

--等倾干涉

--13.1.4 薄膜干涉(二)——等厚干涉

--等厚干涉

--13.1.5 习题

--作业 光的干涉

-13.2 光的衍射

--重点、难点指导

--13.2.1 单缝夫琅禾费衍射

--单缝夫琅禾费衍射

--13.2.2 光学仪器分辨率

--13.2.3 光栅衍射

--光栅衍射

--13.2.4 习题

--作业 光的衍射

-13.3 光的偏振

--重点、难点指导

--13.3.1 光的偏振态

--光的偏振态

--13.3.2 线偏振光的获得与检测

--马吕斯定律

--13.3.3 反射和折射时光的偏振

--布儒斯特定律

--讨论:反射光和折射光的偏振态

--13.3.4 双折射现象

--13.3.5 习题

--作业 光的偏振

转动中的功和能笔记与讨论

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