当前课程知识点:大学物理 > 第五章 刚体力学基础 > 5.4 转动中的功和能 > 转动中的功和能
同学你好
这次课我们来学习转动中的功和能
我们前边学习过质点的动能定理
力的空间累积效应改变了质点的动能
我们称之为力做了功
与此类似 刚体在力矩的作用下发生转动
改变了刚体的转动能量
我们称之为力矩做功
力矩的功可以理解为力矩的空间累积效果
如图所示在力F的作用下 刚体发生了转动
力F的作用点发生了位移dr
根据功的定义 力F的元功等于F点乘dr
也即等于Fτ乘以ds
而ds等于r乘以dθ 由力矩的定义
Fτ乘以r等于力F对转轴的力矩
因此 元功dA等于M乘以dθ
也就是说 一个力的力矩做的元功
等于力矩M乘以在力矩作用下
刚体发生的角位移dθ
在某一过程中力矩做的功等于各元功的和
也就是力矩M对θ的积分
即A等于Mdθ从θ1到θ2的积分
这里我们要注意一点
与力对质点做功一样 力矩做功也有正负
当力矩M与dθ成右手螺旋关系时
力矩做正功
也就是刚体沿着力矩的方向转动
而反过来
当力矩M与dθ不是右手螺旋关系时
力矩做负功
也就是刚体转动方向与力矩方向相反
由功率的定义
力矩M的功率P等于dA除以dt
而dθ除以dt等于角速度ω
所以力矩的功率等于M乘以ω
也就是力矩乘以角速度
下面我们讨论力矩的功
与刚体转动动能之间的关系
首先定义刚体的转动动能
Ek等于Σ二分之一Δmivi的平方
也就是刚体的转动能
等于组成刚体每一个质点的动能之和
而刚体定轴转动的过程中
每个质点都在做圆周运动
因此 Ek等于二分之一ΣΔmiri的平方
乘以刚体转动的角速度ω的平方
而公式中的Δmiri的平方求和
正是刚体的转动惯量
因此 刚体的转动动能等于二分之一Jω的平方
这一公式与质点的动能公式是类似的
下面我们来推导动能定理
力矩的功A等于Mdθ从θ1到θ2的积分
由转动定律可知
M等于转动惯量J乘以dω/dt
这里 dω/dt是刚体转动的角加速度
由转动定律可知
M等于转动惯量J乘以dω/dt
而dθ/dt等于ω
因此
A可以写成Jωdω从ω1到ω2的积分
由此刚体转动的动能定理可以写为
A等于Mdθ从θ1到θ2的积分
也就等于
二分之一Jω2的平方减去二分之一Jω1的平方
这一结果表明
合外力矩对定轴转动的刚体所做的功
等于其转动动能的增量
我们可以把这一结果与质点的动能定理
进行对比 理解和记忆
下面 通过一个例子给大家讲解一下
如何运用动能定理解决问题
如图所示 一个质量为M的圆盘
绕通过盘心的无摩擦的水平轴转动
圆盘上绕有轻绳
一端挂一个质量为m的物体
问物体从静止开始下落高度为h时
其速度大小为多少
首先 我们对系统进行受力分析
圆盘受三个力的作用
一个是自身的重力
一个是轴对原盘的支撑力
还有一个是绳子的拉力
对于转轴而言 重力和轴的支持力通过转轴
二者不做功
在这个过程中拉力做功
下边 我们分析拉力的力矩所做的功
拉力的力矩做的功等于Mdθ的积分
而拉力产生的力矩等于T乘以R
也就是力乘以到轴的垂直距离
根据刚才我们讲过的动能定理
力矩所做的功等于圆盘的转动动能的增量
也就是力矩的功等于
二分之一Jω的平方减去二分之一Jω0的平方
下面 我们对物体的受力进行分析
物体受到重力mg的作用
受到绳子向上的拉力的作用
二者做的功等于mgh减去T乘以Rdθ的积分
根据质点的动能定理
这一个功等于
二分之一mv方减去二分之一mv0的平方
由初始条件V0=0 ω0=0
以及在运动的过程中
滑轮边缘的线速度和质点下落的速度
二者是相等的
也就是ωR等于v
联立上述方程我们就可以解得V的数值
好 这节课关于转动中的功和能就讲到这里
同学们需要记住
力矩的功就等于刚体转动动能的增量
-1.1 质点运动状态的描述
--1.1.2 讨论
-1.2 圆周运动
--自然坐标系
--1.2.2 讨论
-1.3 习题
-作业 质点运动学
-2.1 牛顿运动定律及其应用
--运动与力
--2.1.2 讨论
-2.2 习题
-作业 牛顿运动定律
-3.1 功和动能定理
--3.1.2 讨论
-3.2 势能和机械能守恒
--3.2.2 讨论
-3.3 习题
-作业 功和能
-4.1 动量定理和动量守恒定律
--4.1.2 讨论
-4.2 习题
-作业 冲量和动量
-5.1 角动量和角动量定理
--角动量
--5.1.2 讨论
-5.2 刚体的转动惯量
--刚体的转动惯量
-5.3 转动定律
-5.4 转动中的功和能
--转动中的功和能
-5.5 习题
-作业 刚体力学基础
-6.1 简谐运动
--简谐运动方程
--6.1.3 讨论
-6.2 简谐运动的合成
--简谐运动的合成
-6.3 阻尼振动 受迫振动和共振
-6.4 习题
-作业 机械振动基础
-7.1 简谐波
--简谐波的波函数
-7.2 波的干涉
--波的干涉
--7.2.2 驻波
-7.3 多普勒效应
-7.4 习题
-作业 机械波
-8.1 热力学第一定律
--热容和摩尔热容
--绝热过程
--循环效率的计算
--卡诺循环
-8.2 热力学第二定律
-作业 热力学
-9.1 压强 温度和理想气体状态方程
--理想气体的压强
--温度的统计解释
-9.2 分子热运动的统计规律
-作业 气体动理论
-10.1 电场和电场强度
--重点、难点指导
--高斯定理
--作业 电场和电场强度叠加
-10.2 电势能和电势
--重点、难点指导
--电势
--电势的计算
--电势梯度
--作业 电势和电势能
-10.3 静电场中的导体
--重点、难点指导
--尖端放电
--作业 静电场中的导体
-10.4 静电场中的电介质
--重点、难点指导
--电容 静电场能量
--作业 静电场中的电介质
-11.1 磁场和磁感应强度
--重点、难点指导
--磁场和磁感应强度
--毕奥-萨伐尔定律
--磁场中的积分定理
--作业 稳恒磁场的磁感应强度
-11.2 磁力作用
--重点、难点指导
--作业 磁力
-11.3 磁介质
--重点、难点指导
--磁场中的磁介质
--作业 磁介质
-12.1 电磁感应的基本规律
--动生电动势
--感生电场的计算
-12.2 互感、自感和磁能
--互感 自感
--磁场能量
--位移电流
-作业 电磁感应
-13.1 光的干涉
--重点、难点指导
--相干光
--杨氏双缝干涉
--讨论
--等倾干涉
--等厚干涉
--作业 光的干涉
-13.2 光的衍射
--重点、难点指导
--单缝夫琅禾费衍射
--光栅衍射
--作业 光的衍射
-13.3 光的偏振
--重点、难点指导
--光的偏振态
--马吕斯定律
--布儒斯特定律
--作业 光的偏振