当前课程知识点:大学物理 > 第六章 机械振动基础 > 6.2 简谐运动的合成 > 简谐运动的合成
侯延雪(音)副教授
燕山大学理学院
大学物理系主任
研究方向 低维结构的制备
及其光学特性研究
同学们好
这节课我们来学习
简谐运动的合成
在讨论简谐运动的合成之前
我们先来介绍一下
描述简谐运动的另外一种方法
旋转矢量法
以矢量a的起点为原点
建立坐标系
让矢量a绕着原点做匀速转动
在t0时刻
矢量a与x轴的夹角为φ
在任意时刻t
质量a与x轴的夹角为ωt加φ
矢量a的端点在x轴上的投影
大小x等于a乘以cosωt加φ
这个方程恰好
就是简谐运动的运动方程
可见简谐运动的运动规律
可由旋转矢量的投影来描述
即简谐运动的振幅
作为旋转矢量的大小
简谐运动的角频率ω
为矢量旋转时的匀角速度
简谐运动的初项位φ
为零时刻矢量a与x轴的夹角
将投影位置x与时间t的关系
画成曲线
就得到了简谐运动的
位移时间曲线图
接下来我们看一下初项位φ
为0和π/2时
简谐运动的位移时间曲线图
首先我们看一下
φ等于零时的xt曲线图
从图中可以看出
简谐运动的周期
即完成一个完整振动所用的时间
等于矢量旋转一周
所用的时间
t等于2π除以ω
接下来我们再看
φ等于π/2时
位移和时间的曲线图
对比两个图可以发现
初项位不同时
质点的初始状态是不同的
φ等于0时
质点位于最大位移处
此时质点的速度为0
初项位φ等于π/2时
质点位于平衡位置
此时速度最大 方向指向负向
以上就是我们要介绍的
旋转矢量法
下面我们就用旋转矢量法
来讨论简谐运动的合成
当一个质点
同时参与多个简谐运动时
其和位移为
每个简谐运动引起该质点的
位移的矢量和
反之一个复杂的振动
也可以分解为
多个简谐运动的合成
如果所有简谐运动
都在同一条直线上
则位移的矢量和简化为代数和
下面我们来讨论最简单的
同一直线上同频率的
两个简谐振动的合成
第一个简谐运动
引起质点的位移为x1
可以用矢量a1来表示
图中a1与x轴的夹角φ1
为该简谐运动的初项位
第二个简谐运动
引起质点的位移为x2
同样由矢量a2来表示
a2与x轴的夹角φ2
为该简谐运动了初相位φ2
通过求a1 a2的矢量和
即可得到质点的和位移
由a1的起点指向a2的端点
即是和矢量a
矢量a1和a2
在x轴上的投影和
即为质点的和位移x
也就是矢量a在x轴上的投影
所以x等于a乘以cosωt加φ
可见同一直线上同频率的
两个简谐运动的合成
仍为该方向上的简谐运动
从图中我们可以得到
初相位φ所满足的关系式
两个振动的相位差
Δφ等于φ2减φ1
由此我们可以求出
和矢量a的大小
也就是和振动的振幅
下面我们讨论两个特例
当矢量a1和a2的方向相同时
两个振动的相位差
Δφ等于2π的整数倍
我们称这两个振动同向
此时和振动的振幅
等于a1加a2
质点的振动被加强
当矢量a1和a2的方向相反时
两个振动的相位差
为π的奇数倍
我们称这两个振动为反相
此时和振动的振幅
为两个振幅的差
质点的振动被减弱
以上我们讨论了同一方向上
两个同频率的简谐运动的合成
以此类推我们可以得到
同一直线上同频率的
多个简谐运动的合成
每个简谐运动引起的
质点的位移为xi
则质点的和位移
为xi的代数和
用旋转矢量法
可以得到质点的和位移
x等于a倍的cosωt加φ
可见和振动仍为
同一直线上的简谐运动
以上是我们对同一直线上
同频率的简谐运动合成的讨论
关于同一直线上不同频率的
简谐运动的合成
和不同方向上同频率的
简谐运动的合成
以及不同方向上不同频率类的
简谐运动的合成
我们将在以后的课程中
进一步讨论
这节课就到这 谢谢
-1.1 质点运动状态的描述
--1.1.2 讨论
-1.2 圆周运动
--自然坐标系
--1.2.2 讨论
-1.3 习题
-作业 质点运动学
-2.1 牛顿运动定律及其应用
--运动与力
--2.1.2 讨论
-2.2 习题
-作业 牛顿运动定律
-3.1 功和动能定理
--3.1.2 讨论
-3.2 势能和机械能守恒
--3.2.2 讨论
-3.3 习题
-作业 功和能
-4.1 动量定理和动量守恒定律
--4.1.2 讨论
-4.2 习题
-作业 冲量和动量
-5.1 角动量和角动量定理
--角动量
--5.1.2 讨论
-5.2 刚体的转动惯量
--刚体的转动惯量
-5.3 转动定律
-5.4 转动中的功和能
--转动中的功和能
-5.5 习题
-作业 刚体力学基础
-6.1 简谐运动
--简谐运动方程
--6.1.3 讨论
-6.2 简谐运动的合成
--简谐运动的合成
-6.3 阻尼振动 受迫振动和共振
-6.4 习题
-作业 机械振动基础
-7.1 简谐波
--简谐波的波函数
-7.2 波的干涉
--波的干涉
--7.2.2 驻波
-7.3 多普勒效应
-7.4 习题
-作业 机械波
-8.1 热力学第一定律
--热容和摩尔热容
--绝热过程
--循环效率的计算
--卡诺循环
-8.2 热力学第二定律
-作业 热力学
-9.1 压强 温度和理想气体状态方程
--理想气体的压强
--温度的统计解释
-9.2 分子热运动的统计规律
-作业 气体动理论
-10.1 电场和电场强度
--重点、难点指导
--高斯定理
--作业 电场和电场强度叠加
-10.2 电势能和电势
--重点、难点指导
--电势
--电势的计算
--电势梯度
--作业 电势和电势能
-10.3 静电场中的导体
--重点、难点指导
--尖端放电
--作业 静电场中的导体
-10.4 静电场中的电介质
--重点、难点指导
--电容 静电场能量
--作业 静电场中的电介质
-11.1 磁场和磁感应强度
--重点、难点指导
--磁场和磁感应强度
--毕奥-萨伐尔定律
--磁场中的积分定理
--作业 稳恒磁场的磁感应强度
-11.2 磁力作用
--重点、难点指导
--作业 磁力
-11.3 磁介质
--重点、难点指导
--磁场中的磁介质
--作业 磁介质
-12.1 电磁感应的基本规律
--动生电动势
--感生电场的计算
-12.2 互感、自感和磁能
--互感 自感
--磁场能量
--位移电流
-作业 电磁感应
-13.1 光的干涉
--重点、难点指导
--相干光
--杨氏双缝干涉
--讨论
--等倾干涉
--等厚干涉
--作业 光的干涉
-13.2 光的衍射
--重点、难点指导
--单缝夫琅禾费衍射
--光栅衍射
--作业 光的衍射
-13.3 光的偏振
--重点、难点指导
--光的偏振态
--马吕斯定律
--布儒斯特定律
--作业 光的偏振