2.2单自由度弹性体系地震反应分析在线视频

大家好

这节课，我们主要讲述两部分内容

第一

单自由度弹性体系的运动方程

第二部分

该运动方程的解

我们先来看第一部分，单自由度弹性体系的运动方程

对这样一个单质点体系而言

它属于一个平面问题

实际上，该质点有三个自由度（x、y向平动和转动）

此处，我们仅仅考虑 x 向的平动自由度

由于地面加速度的运动

该质点将会受到三个作用

第一个作用

惯性力

惯性力呢

实际上是：（质量）m （乘以）（加速度）a

实际上，这个 a

包括两部分

一部分是地面运动加速度

还有一个是 x 的两阶导

相当于质点

在给该体系内的加速度，也就是绝对加速了

第二个

阻尼力

此处，我们采用的是黏滞阻尼理论

它是和速度成正比

方向与速度相反

第三个，就是弹性恢复力

这个，大家比较熟悉了

根据达朗贝尔原理

对这样一个体系受到这三个力

如果我们将惯性力沿自由度 x 方向

施加到质点上

那这个动力问题就可以按照静力问题来进行处理了

那根据这样一个原理

我们就可以建立该质点系运动方程

这样（建立）运动方程的方法也称为直接平衡法、惯性力法、动静法

质点在这样三个力的作用下处于平衡状态

也就是这样一个表达式

我们分别（将力的表达式）带入

形成这样一个（平衡方程）式子

该式即为单自由度体系的运动方程，为常系数二阶非齐次线性微分方程

对这样一个微分方程

我们来做一些变换

同时，我们来引入

圆频率ω

以及阻尼比ξ，它等于 c 除以2倍的 ω、m，阻尼比

这时，我们的运动微分方程就简化成这样一个式子

对这样一个式子

我们先来分析

它的齐次解问题，也就是（体系）变成了自由振动的问题

那我们先来看该齐次方程

式子的右端项为零

上式就表示体系在没有外部激励情况下

它的运动，也就是自由振动了

上式的解

根据高等数学，很容易得到这样一个表达式

A、B为待定系数，由初始条件确定

ωD 为有阻尼

单自由度体系的自振圆频率

它和圆频率是这样一个关系

现在，我们来求解 A 和B

当时间等于t 的时候

我们假设体系有个初速度

有一个初位移

分别用 x(0) 和 x(0) 的一阶导（表示）

这样代入（方程），我们就可以得到 A、B 这两个待定系数了

这时，体系的自由振动位移时程

就是这样一个表达式

从这个表达式中

大家也可以看到，它是和我们时间 t 相关的一个

齐次解了

同时，ωD 是对应考虑和不考虑阻尼的圆频率

这（方程）里面的 ξ 是阻尼比

那我们来分析一下，阻尼比对（自由）振动位移时程的影响

这样一个曲线描述的是，不同的阻尼比

体系自由振动的振幅

和时间的关系

从这里，大家可以看到

如果阻尼比等于零

那体系作没有衰减的简谐振动会一直振动下去

随着阻尼比的增大

振动的振幅就衰减的很快

2~3个周期（振幅）基本上就衰减的差不多（没）了

当阻尼比取1.0的时候

体系就没有振动

从最大位移直接到平衡位置，不做振动

对实际工程而言

阻尼比一般很小，范围在0.01到0.1之间

因而，在计算结构的圆频率时

可以不考虑阻尼的影响

也就是说，我们考虑阻尼的圆频率

就近似等于不考虑阻尼的圆频率

由于结构的质量和刚度是固有的

因此体系的自由振动

它的频率和周期也是固有的

我们称为固有频率和固有周期

那我们就可以得到结构的固有频率

固有周期，固有频率是固有周期的导数

固有周期的计算公式

就如这样一个式子所示

现在，我们来看一看方程的特解问题

第一个的问题

我们来先看看强迫振动

对于这样一个体系而言

我们给一个

瞬时的冲量

这个质点在 dt 时间内的

受到的瞬时冲量就为荷载与作用时间的乘积

也就是这样一个表达式了

从这个左侧的图上也能看到

作用一个 dt 以后

我们的体系

它的一个基本情况了

而质点获得的的动量的增量

就是这样一个式子

根据动量定律，冲量等于动量的增量

体系的质点在瞬时冲量作用下

产生的速度

就是这样一个表达式

该体系在瞬时冲量作用下

它也会产生位移

位移等于什么呢

位移等于这样一个表达式

从这里，大家看到 dt 本身就是一个微小量

那微小量的平方

我们可以认为是高阶微小量

所以

约等于零了

由此可见

体系质点在地面瞬时冲击作用下

会产生一个初速度

而后开始干什么呢？

做自由振动

将初始条件带入质点自由振动的通解式

我们分别把 x(0) 和 x(0) 的一阶导

也就是

初位移和初速度分别代入（该式）

就是灰色和红色的符号（表示的）

这样，我们就得到在瞬时冲量作用下

这个体系做自由振动的方程的解

实际上

地面运动

它的加速度的时程曲线可以分解为很多这样的一个个脉冲运动

我们从左侧图中也可以看到

阴影部分就是其中的一个脉冲运动

它在 t 等于 τ 减去 dτ 时刻开始作用在体系上

作用的时间 dτ

它（质点）就会获得一个速度

-xg 的两阶 dτ

此后，这个脉冲消失后

体系的质点就会作自由振动

从左侧图下边（图形）也可以看到

（体系质点）开始做自由振动

将所有地面脉冲运动作用（在体系）后

体系的反应来进行叠加

就可以得到体系

在地面运动下的地震反应

即单自由度弹性体系运动方程，地震强迫振动的一个特解了

对刚才这个 dτ 冲量下（体系）的运动方程

作一个积分，从0 到 t 积分

这个积分式也称为杜哈密积分

有齐次解

有特解

现在我们来看看方程的通解

线性常微分方程

它的通解

等于齐次解

加上特解

那地震作用下

单自由度体系的地震反应

为什么呢？

体系的地震反应等于自由振动

加上强迫振动

因此

我们把齐次解和强迫振动的特解进行叠加

就是在地震作用下单自由度体系的地震反应

由于结构的阻尼的影响

结构的自由振动会衰减的很快

前面我们看到，2~3个周期

振幅就基本衰减完了

这样的情况下

我们一般可不予考虑（自由振动的影响）

因此，单自由度体系的地震反应

实际上就简化为地震作用下的一个强迫振动

采用杜哈密积分来计算单自由度弹性体系的地震位移反应

因此

地震中下单自由度体系的地震反应

就是用杜哈密积分来近似表达了

好

这就是我们这节课所要讲述的内容

谢谢大家！