2.4多自由度弹性体系的自由振动在线视频

大家好

本节呢我们主要讲述以下内容

第一

多自由度弹性体系的自由振动及方程

第二

自振频率和振型

第三

振型的正交性

也就是振动方程的特点

好

那我们先来看第一个问题

如图所示是一个多自由度弹性体系

它的振动的状态

对每一个质点而言呢

它实际上是有三个自由度

我们目前只假设 x 向平动自由度

对这样一个运动状态而言

每个质点，它所受哪些作用呢？

或者哪些力呢？

第一个，水平惯性力

对质点 i 而言

它的水平惯性力就是质量和加速度的乘积

同时它还受

弹性恢复力

就是这样的一个表达式

式中的 kij

为质点 j 处产生单位位移

而其他质点保持不动时

在质点 i 处产生的弹性反力

Σ 求和表示所有质点在质点 i 处产生的或者引起的弹性反力

第三个（力）就是阻尼力

这样一个表达式

cij 为支点

j 处产生单位速度

其他支点保持不动时

在支点 i 处产生的阻尼力

同样道理

Σ 求和表示所有质点产生单位速度以及和它真实的速度的乘积

在指点 i 处产生的阻尼力

那么，根据达朗贝尔原理

质点 i 在上述三个力作用下

是处于平衡状态的

我们可以写出这样一个方程

我们将表达式代入整理，就得到这样一个表达式

这是质点 i

它的平衡方程

对于一个（有）n 个质点的弹性体系

我们可以写出 n 个类似的这样的方程

组成了一个 n 个方程

组成（一个）微分方程组

它的矩阵表达形式可以写成这样一个形式

[M]、[C]、[K] 分别是对应的矩阵

质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵

多自由度的弹性体系无阻尼自由振动方程

即让阻尼矩阵等于零

我们实际上可以由单自由度弹性体系自由振动方程

它的解的形式

来假设多自由度弹性体系自由振动方程

它的解为这样一个表达式

大写的 ф 为各质点自由振动的振幅

ω为圆频率

小写的 φ 为初相角

大写的 ф 振幅

它是一个向量

这样一个表达式

我们对 x 关于时间 t 微分两次，我们就可以得到这样一个表达式了

这样的话

我们就可以得到多自由度弹性体系无阻尼自由振动

它的方程为这样一个表达式

那我们现在看第二个问题

自振频率和振型

对这样一个表达式而言

因为这个 sin(ωt + φ) 不能恒等于零

那怎么办呢？

我们只能要求这样一个式子

等于零

该式为原微分方程形式表达的多自由度弹性体系无阻尼自由振动的

代数方程形式，称为动力特征方程

对这样一个特征方程而言

因为 {ф} 是振幅，不能恒等于零

因此，我们只能让这样一个表达式等于零

该多自由度体系的动力特征方程实际是圆频率平方的 n 次代数方程

可以求出了 n 个解

也就是 n 个特征值

即得到体系的 n 个自振圆频率

我们按照从小到大的顺序排序

就得到这样（结果），最小的（值）称为第一圆频率

一个 n 个自由度体系

有 n 个自振圆频率，即

有 n 种自由振动方式或者状态

其中

第一振型为基本振型

对应第一振型的自振频率或者自振周期称为基本频率和基本周期

这是一个基本的概念

我们将得到的圆频率

依次带入动力特征方程

我们可以求出对应于每个频率的体系支点的相对振幅向量 {фi}

根据相对振幅向量可以绘出质点的侧向（变形）曲线

也就是该频率的主振型

简称为振型

它表示体系按某一振型振动时各支点的相对位移的比值

比如第 j 阶振型可以表示成这样一个表达式

当然了

整式的最后（项），我们可以把这个振型

单位化

都除以第n 个支点的

振幅向量振幅

那么就得到一个相对的单位化的振幅向量

现在，我们来看看振型的特点

也就是振型的正交性

第三个问题

多自由度弹性体系做自由振动的时候

频率不同的两个振型之间存在着正交性

这个阵型分别关于质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵都是正交的

什么叫正交性

有什么意义呢？

我们依次来看一看

我们先来看第一个问题

振型关于质量矩阵的正交性

体系的动力特征方程

为这样一个表达式

我们对这个表达式稍微做一个变换

对于体系的第 i 阶和第 j 阶频率和振型

我们可以分别写出来

对于这样两个式子

我们做一个变化

分别在等式的左侧

左乘以一个

第 j 阶和第 i 阶的振型向量

那我们对第二式子做一些变化

式子两端分别转置，就得到这样一个表达式

此处需要注意，质量矩阵和刚度矩阵是对称矩阵

所以转置的时候是不发生变化的

这时，再和第一个式子做减法运算

将这两个式子整理就可以得到这样一个表达式

如果我们的第 i 阶不等于第 j 阶振型

也就是说这是不同的两阶振型

不同的两阶频率

这时候这个式子，我们就可以得到

简化成这样一个表达式

这个式子是什么意思呢？

我们来讨论一下

我们看振型关于质量矩阵正交，它的物理意义

当体系以第 j 振型做自由振动的时候

各质点引起的惯性力为这样一个表达式

这个表达式实际上是我们运动方程

就是质量矩阵和加速的两阶导

mx 的两阶导

将阵型x 的解代入后，整理得到的惯性力的表达式

它在第 i 振型上所做的功是什么呢？

这个惯性力乘以

第 i 阶振型的振幅

那我们刚才推导了这个式子呢

是等于零的

这说明什么呢？

说明体系按照某一振型自由振动时所引起的惯性力

在其他振型上所做的功等于0

表明体系按某一振型做自由振动时

它的动能不会转移到其他振型上去

即不会引起该体系其他振型的振动

那我们来看振型关于刚度矩阵的正交性

这是我们前面推导的一个平衡的方程式

前面我们知道，阵型关于质量矩阵是正交的

因此，我们很自然的就能推得这样一个表达式

对于这样一个表达式

它有什么样的物理意义呢？

当体系按第 j 振型作自由振动时，各支点所引起的弹性恢复力

这样一个表达式，在第 i 振型上所做的功

为什么呢？

（功）等于零了

这说明什么呢？

说明体系按照某一振型自由振动时所引起的弹性恢复力

在其他振型上所做的功等于零

表明体系按某一振型做自由振动时，它的势能不会转嫁到其他振型上去

也不会引起

该体系其他振型的振动

那振型关于阻尼矩阵是否正交呢？

我们这里采用的是瑞雷阻尼形式

也就是阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性叠加

很明显

振型关于质量和刚度矩阵分别是正交的

具有正交性的

因此振型关于瑞雷阻尼矩阵也是具有正交性的

就是这样一个表达式

关于阵型

分别关于质量、刚度、阻尼是正交的

意味着什么呀？

我们后面怎么来利用（正交性）呢？

我们

后面的章节会来讲

好

本节呢就讲到这里

谢谢！