2.5多自由度弹性体系地震反应分析在线视频

大家好

本节呢我们主要讲述以下问题

第一

多自由度弹性体系的运动方程

第二

振型分解法

我们来先来看第一个问题

多自由度体系在水平地震作用下的运动状态如图所示

有虚线的状态在地面运动加速度的作用下

地震的作用下

运动到实线的这个状态

对这样一个多自由体系而言

每个质点实际上有三个自由度

我们目前是假设先只考虑 x 向的平动自由度

在这样一个运动状态下

每个质点受到什么样的力呢？

第一个（力）是水平惯性力

质点 i 所受的水平惯性力

就有这样一个表达所示

xg 的两阶导和 xi 的两阶导

实际上对应的该质点的绝对加速度

除了惯性力

还有弹性恢复力

如这样一个表达式所示

kij 为质点 j 处

产生单位位移

其他支点保持不动时，在质点 i 处产生的弹性反力

Σ 求和呢表示所有质点

对质点 i 所产生的弹性反力

同理，我们还有阻尼力及其对应的表达式

cij 为质点 j 处产生单位速度

其他支点保持不动时

在指点 i 处产生的阻尼力

Σ求和呢，是所有支点

在支点 i 处所引起

或者产生的阻尼力

前面我们讲了达朗贝尔的原理

根据达朗贝尔原理

质点 i 在上述三个力的作用下

可以列出平衡方程

这样一个表达式

那我们将前面推导的式子带入，就形成这样一个平衡方程

当然了

对于一个 n 个质点的弹性体系

我们可以写出 n 个类似的这样一个方程

组成一个 n 个方程

组成的微分方程组

我们用矩阵来表达其形式

就这样一个表达式

[M]、[C]、[K] 分别对应着质量阻尼和刚度矩阵

那我们有了这样一个微分方程组

那如何来求解呢？

我们前面讲了多自由度体系振动的振型的特点

它的正交性

因此，我们可以根据振型的正交性来进行讨论

阵型

它们向量之间的相互独立的

体系在振动过程中

质点 i 的位移反应可以表示为这样一个表达式

什么意思呢？

质点 i 的位移是质点

各阶振型振幅的函数

此处，我们引入qj(t)

那 qj(t) 也称为第 j 振型的广义坐标

就是这样一个

图形表示的含义

那我们也可以写出其矩阵形式

质点的位移反应

就是这样一个矩阵表达形式

[Ф] 为各阶振幅组成的这样一个矩阵

q(t) 为广义坐标矩阵

将 {x} 带入多自由度弹性体系的运动方程

我们就可以得到这样一个表达式

红色的部分是分别将 x 的表达式分别进行

一阶（求导）、二阶（求导）和非求导

整理，得到的这样一个式子

将上端的式子两端左乘以第 j 振型振幅的转置

就得到这样一个表达式子

这地方需要注意黑色的字体

就是 [Ф]

就是振幅的矩阵

根据振型关于质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵的正交性

上式可以做一个简化

什么简化呢？

得到这样一个表达式子

黑色的振幅矩阵最后就简化为

只有第 j 阶振型

它的振幅与对应的

式子的乘积是不为零的

也就是说，我们整理完简化完后

上面的这个振幅矩阵就简化为这样的一个

第 j 振型的这样一个列向量

也就是说，只有这样一个式子

是不为零的

对这样一个式子

我们做一些简化

将上式两端同除以这样一个表达式

同时，引入第 j 振型的圆频率

以及这样的一个简化，圆频率和阻尼比的乘积

同时引入

一个（符号）γ j

我们定义它为第 j 振型的振型参与系数

它的具体表达式就是这样一个表达式

这时

我们的方程就简化为这样一个表达式

对于这样一个方程

实际上和我们单自由度弹性体系的运动微分方程

在形式上

基本相同的

我们对比一下可以发现实际上就是

（把）x 换成了 qj(t)

同时，式子右端多了一项 γ j

对于单自由度弹性体系它的运动微分方程

我们是知道的

它的解就是杜哈密积分

因此，对我们这样一个式子

我们也是可以得到它的解的

就是这样一个表达式

我们最终可以简化为 γj x Δj(t)

这是 q j，这个广义坐标 q j 它的解

Δj(t) 是阻尼比为 ξj

自振频率为 ωj 的单自由度体系的地震位移反应

相当于原多自由度体系中第 j 振型的地震反应

第 j 振型的这个地震反应有了

那整个质点（体系）

位移反应是什么呢？

这个 ωjD 是这样一个表达式

和单独度体系非常类似

由此，我们可以看出

原来 n 个自由度体系的 n 维联立方程被分解为 n 个独立的

关于正则坐标的一个单自由度体系的运动微分方程

各单自由度体系的自振频率

ωj 为原多自由度体系的各阶频率

ξj 为原体系各阶阻尼比

而 γj 为原体系第 j 振型的振型参与系数

这样的话

我们就可以得到在水平地震作用下

质点 i 的相对位移反应，是什么呢？

为这样一个表达式子

qj(t) 实际上是广义坐标

我们前面已经求得了

就是 γj x Δj(t)

质点 i 的相对位移反应是各阶振型

对应的

引起的位移反应的叠加

对于这样一个式子而言呢

我们来看看讨论一下

这个式子表明

将多自由度弹性体系各阶振型的振型参与系数与各阶振型相应的振子

的地震位移反应的乘积，什么意思呢？

相当于一个单自由度体系的地震位移反应

那么来进行乘积

就是 Δj(t) 再乘以

质点在各振型中的振型位移，就是 фji

最后再将他们叠加求和

也就得到了多自由度

弹性体系质点 i 的地震位移反应

那多自由度弹性体系的地震位移反应是可以分解为

各阶振型的地震（位移）反应来进行求解

这样的方法也就称为振型分解法

好

我们本节呢就讲到这里