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同学们好

今天我们讲述的主题是一阶电路的三要素法

我们通过经典法对RC电路微分方程的求解

得到结论

全响应=自由响应+受迫响应=稳态分量+暂态分量

即 U稳态值 U0初始值 τ=RC为时间常数

这就是一阶电路的三要素

从解微分方程的方法可以推出

在直流电源激励的情况下

一阶线性电路解的通用表达式

f(t)=f(无穷大)+[f(0+)-f(无穷大)]e的-t/t

f(t)代表一阶电路中任一电压 电流函数

这是一阶电路的三要素公式

一阶电路都可以应用三要素法求解

在求得初始值f(0+) 稳态值f(无穷大)和时间常数t 的基础上

直接写出电路的响应 电压或电流

我们举个实例说明三要素法的应用

电路如图

t=0时合上开关S 合S前电路已处于稳态

试求电容电压uc和电流ic i2

根据三要素公式

uC(t)=uC(无穷大)+[uC(0+)-uC(无穷大)]e的-t/t

确定三要素值

1）初始值uC( 0+)

作出0-等效电路如图

开关不动作 电容开路

由换路定则uC(0+)=uC(0-)=54V

2）稳态值uC(∞)

作出∞等效电路如图

开关动作 电容开路 uC(∞)=18V

注意0-等效电路和∞等效电路都是稳态电路

区别在于开关动作或者不动作

3）时间常数τ τ=R0C

在∞等效电路中将电源置0

从电容两端看过去的电阻就是R0

这里就是3kΩ和6kΩ的并联 为2kΩ

所以τ=R0C=4毫秒

代入三要素公式

uc=18+36*e的-250t次方

做出变化曲线如图

uc是从54V到18V的衰减

其他变量求法

一是用求出的uC 结合元件特性

和电路结构约束求解

如 电容电流 ic=C乘以duc/dt=-0.018e的-250t次方

i2=uc/3kΩ

二是用三要素法求解

我们用ic做示范 来进行比较

对ic而言

三要素中τ=R0C=4毫秒不变

从∞等效电路可得iC(∞)=0

但是iC( 0+)得从0+等效电路求解

如图

开关动作

电容用uC(0+)=54V的电压源替代

做出0+等效电路的戴维南等效电路

如图 可求出ic(0+)=-18mA

当然iC( 0+)也可以对0+等效电路

直接列写KCL方程求解

将 iC(0+) iC(无穷大)和t代入三要素公式

与前面的求解结果一样

从ic的两种求解办法

我们可以得到两个结论

一是三要素公式f(t)

代表一阶电路中任一电压 电流函数

并不局限于uc

二是其它变量用三要素公式求解

初始值需要从0+等效电路中求解

这个过程并不简单

因此对于其它变量

回到原电路中结合元件特性和电路结构约束

找到它们与求出的uC的关系式

求解更为简便

我们对RC电路作了全面的讨论

电感电路怎么处理

RL电路

电路方程同样是一阶线性齐次微分方程

因此对RC电路推导的三要素公式依然成立

不同的是与电容相对偶

是电感电流不能跃变

因此主要从iL的三要素公式入手

对时间常数τ

如图

我们从电路方程

得到特征方程的特征根为

P=-R/L 所以t=L/R

图示电路t=0时 开关2打向1

按照三要素法三步

1)确定初始值 iL(0+)=iL(0-)=U/R

2确定稳态值 iL(无穷大)= 0

3确定电路的时间常数 t=L/R

所以iL=0+(U/R-0)e的-R/L乘以t次方=U/R乘以e的-R/L乘以t次方

我们举个实例说明电感电路三要素法的应用

电路如图

t=0时合上开关S

合S前电路已处于稳态

试求电感电流iL和R3的电压u

根据三要素公式

1）初始值iL(0+)

作出0-等效电路如图

开关不动作 电感短路

由换路定则

2）稳态值iL(∞)

作出∞等效电路如图

开关动作 电感短路

iL (∞)=2A

注意开关动作或者不动作的区别

3）时间常数τ

τ=L/R0 R0是在∞等效电路中将电源置0

从电感两端看过去的电阻

这里就是R1串联R2和R3的并

所以τ=L/R0=1/6秒

代入三要素公式

对u的求法

用求出的iL结合元件特性和电路结构约束求解

R2并R3电路的总电流就是iL

求出在R3上的分流可得u的表达式

也可以用三要素法求解

按三要素公式

u(0+)从0+等效电路求解

如图

开关动作 电感用iL(0+)=1.2A的电流源替代

1.2A流过R2与R3的并

u( 0+)=2.4V

从∞等效电路可得u(∞)=4V

时间常数τ=L/R0=1/6秒不变

代入三要素公式

这个结果与前面的求解结果一样

做出曲线如图

“三要素”求响应小结

1）三要素是指暂态过程响应的通用表达式

结果反映暂态电路电压 电流随时间变化的曲线

如图

初始值 稳态值 时间常数

是曲线的三个关键要素

当然还有减函数的曲线形状

如图

2）三要素法求解暂态过程的要点

在于初始值 稳态值 时间常数所针对的电路

第一稳态值f(∞) 的计算

针对∞等效电路

就是换路后对应的新稳态电路

开关动作

直流电阻电路电容 C 视为开路 电感L视为短路

第二初始值f(0+) 的计算涉及两个电路

0-等效电路和0+等效电路

0-等效电路是换路前对应的旧稳态电路

开关不动作

直流电阻电路电容C视为开路 电感L视为短路

0-等效电路用来求uc（0-）和iL（0-）

换路定则得uc（0+）和iL（0+）

0+等效电路 用来求所需其它各量的f(0+)

这里包括电容元件用恒压源代替

和电感元件用恒流源代替两种情况

第三时间常数t 的计算

对于一阶RC电路τ= R0C

对于一阶RL电路τ=L/R0

R0都是从储能元件L或C两端所求得的

无源二端网络的等效电阻

针对的都是电源置0的∞等效电路

3)二阶电路不能应用三要素公式

如图RLC串联电路

建立二阶微分方程

二阶微分方程的解

取决于特征方程特征根

结果主要包括

（1）R大于2倍的根号L/C

属于过阻尼不振荡放电情况

（2）R小于2倍根号L/C

为欠阻尼或衰减振荡

除了电阻耗能以外

L与C可能产生电场能与磁场能互换 产生振荡

正如单摆运动势能与动能的交换一样

阻尼的存在使得单摆最终会停止下来

自由响应情况uc和iL产生正负交替变化

但是最终衰减为0

R如果很大

RLC零输入响应不能产生振荡

如图

RLC电路零输入响应过阻尼和欠阻尼时电压电流变化曲线

谢谢大家