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同学们好

今天我们谈论的主题是

RLC串联电路的功率分析

让我们首先回顾一下电阻 电容

电感元件的交流伏安特性

和它的功率特征

电阻元件

在正确输入情况下

关联的参考方向

他们的电压和电流频率相同

大小成正比取决于电阻参数

相位同相

电压和电流的相量表达式和相量图

如图所示

UI的乘积为它的瞬时功率

电阻元件的瞬时功率

是一个永远大于零

两倍频变化

的非正弦周期量

那么它的平均值就为

电压有效值和电流有效值的乘积

也就是

U的平方除以R

或者I的平方乘以R

这个表达式

和电阻元件在直流输入情况下的表达式相一致

电感元件它的电压取决于电流的变化率

在正弦输入的情况下

电压和电流的频率依然相同

它的大小成正比

取决于输入的角频率

和自感系数L的乘积

也就是感抗

电感元件的电压比电流超前90度

那么电感元件的电压和电流的相量表达式

和相量图也如图所示

对于电感元件的瞬时功率

它是一个正负交替两倍频变化的正弦量

在一个周期内

它储能和放能两次

所以它的平均功率等于0

那么它与电源进行能量交换的规模

也就是UI的乘积

我们定义为无功功率

电容元件对偶于电感元件

它的电流与电压的变化率成正比

在正弦输入的情况下

电压和电流它们的频率依然相同

它的电压与电流依然成正比

但是取决于输入的角频率

和电容的乘积的倒数

它的电压落后于电流90度相位

那么电容元件它的电压和电流的伏安表达式

和它的相量图也请大家看图

对于电容元件的瞬时功率

依然是一个正负交替两倍频变化的正弦量

但是

这与电感不同的是

在一个周期内

它储能放能的时刻不同

于是它的平均功率为0

那么它的无功功率

我们定义为-UI

“-”号代表了它是容性的无功

它表达了电容元件和电感元件

它们储能和放能时刻的对偶性

RLC串联电路

它的电压和电流的大小的关系

取决于感抗

容抗

以及电阻

所以它的电压的合成

为三个大小各不同

相位互隔90度的正弦量的合成

我们从RLC三个元件的伏安特性的相量式出发

我们得出了阻抗的概念

阻抗的大小反应了电压和电流大小的比

阻抗角反映了电压比电流超前的角度

对与阻抗角

根据阻抗角的大小

我们把电路分解成感性

容性

和阻性

三种电路形态

0到90度阻抗角是感性电路

电压超前于电流

0到-90度阻抗角是容性电路

电压落后于电流

阻性是感抗等于容抗

电压电流同相的电路

我们要注意的是

阻性并不是完全的电阻电路

电容和电感依然存在电路中并有分压

甚至会出现电路中电容电压

和电感电压超出输入电压很多倍的场合

另外

看相量图

总电压可以分解为

电压有功分量

Ucosφ

和电压无功分量

Usinφ

今天

我们从RLC元件阻抗的特性出发

来讨论RLC串联电路的功率

能够进一步深入的讨论它们能量转换的情况

对我们进一步深入的应用

奠定基础

对RLC串联的电路

我们不失一般性

可以设它的电流表达式和电压表达式

如图所示

这是一个阻抗角为φ的伏安关系

对于它的瞬时功率

我们可以计算出

如图所示这样一个表达式

瞬时功率通过三角函数的分解

可以分解成前项和后项

我们看前项

因为阻抗角在-90~90之间

所以前项是一个永远大于0的量

它代表耗能元件

在一个周期内的瞬时功率

后项是一个正负交替的量

它代表了储能元件

从电端获取的功率

瞬时功率的两项

代表了电源对电路所提供的功率

表现在耗能元件上消耗的功率

以及储能元件与电源进行能量交换的两个部分

我们对瞬时功率求取它的平均值

我们看后项

它是一个正负交替的正弦量

所以它的平均值为0

对前项

我们通过三角函数的变化

再经过进一步的推导

它是等于UIcosφ

所以

平均功率UIcosφ

单位为 W

它是电压有效值

电流的有效值

以及电流电压相位差

cosφ的一个关系

我们从电压的一个分解

UIcosφ可以表达成

电压有功分量和电流有效值的乘积

也就是I的平方乘以R

它正代表了电阻元件在一个周期内

所消耗的有功功率

也就是它从电源端获取的能量

为我们所用的一部分功率

按电压分解

电压无功分量与电流有效值的乘积

UIsinφ定义为无功功率

显然

无功功率是电容无功功率和电感无功功率的代数和

即I的平方X

它实际表明

电感元件与电容元件之间

互换能量不足的

再与电源交换的部分

UIsinφ为无功功率

它是电压有效值和电流有效值

以及电压电流相位差sinφ之间的关系

特别是UIsinφ

我们从瞬时功率的后项来看

它正代表了正负交替部分的振幅

也就是与电源端进行能量交换的最大规模

与我们无功功率定义式相一致

那么

电源究竟需要对电路提供多大的功率呢

它是不是等于有功功率和无功功率之和呢

我们定义电压有效值和电流有效值的乘积

为视在功率

它反应了电源对电路所提供的功率

显然

视在功率并不等于有功功率和无功功率之和

衡量电源利用率的因子

我们定义为功率因素

实际上功率因素就是

有功功率在视在功率中所占的比例

为了方便起见

我们也可以引入复功率的概念

也就是

复功率等于有功功率为实部

无功功率为虚部

所建立的一个复数

注意

有功功率

无功功率和视在功率

都不是正弦量

它们只不过借助了复数的正交关系表达而已

都不能用相量来表示

这里需要说明的是

电源提供的视在功率

以及电路需要的有功功率

无功功率

都是指的综合效果

电路瞬时功率

是时刻在周期变化着

是一个非正弦的周期量

大多数时候大于0

小于0的时候

正是电容或着是电感返还功率的时刻

到此我们可以做一个小结

第一

RLC串联电路用阻抗

反映了电压电流的大小和相位关系

电阻和电抗

是以正交关系影响着阻抗

按照阻抗角的不同

电路有了感性

容性和阻性的划分。

第二

阻抗的实部和虚部

正是电路耗能和储能的根源，

实部电阻影响电能转换成

其他形式能为我们所用的部分

也是电源给我们提供的有功功率

虚部中L和C

作为功能器件要正常工作

必须满足其能量转换的最大规模

由于电感和电容

是一对彼此成对偶关系的器件

即电压电流超前或者滞后的关系正好相反

吸收和发出功率的时刻正好反相

所以两者首先相互进行能量交换

不足的部分由电源提供

也就是电路的无功功率

第三

有功功率和无功功率

以正交合成关系构成视在功率

功率因素

正是衡量电源有功利用率的一个因子

第四

阻抗角的正负

一方面决定了电路的性质

说明电路

电压与电流或超前

或同相

或落后的关系

另一方面

也反映了电路与电源互换能量的部分

是哪一部分更占主导

是容性无功

还是感性无功

这在下一次讨论

如何节省电源功率

输出的实际问题中

是一个非常重要的结论

第五

以上结论

是我们从RLC串联电路阻抗一般分析得出的

有功功率

无功功率

视在功率

功率因素等等概念和关系

应用于一般的无源正弦稳态电路

正如阻抗的扩展应用一般

都不能仅局限于RLC串联电路

理想元件只是其特例而已

下去后

大家也可以直接从RLC元件瞬时功率合成的角度进行分析

今天的课程到此结束

谢谢大家