当前课程知识点：系统工程原理 > 第四章 系统预测 > 第七节 马尔可夫预测法应用 > 马尔可夫预测应用
下面我们通过一个例子
来看一下马尔可夫预测它的应用
这个例子
是关于装备保障的备件储备量预测问题
背景是
有两个备件仓库储备某一种装备的维修备件
观察其中一种备件的储备情况
结果在这个表格里面给出来了
假设每年这种备件的总的储备量是一个定数
而引起两个仓库之间
各自储备量的调配的问题
它的主要原因
是维修的需求
那么
对这两个仓库各自所占的储备量的比例
进行一个预测
这个表格给出来的信息是有
2003年和2004年的
各自的
这种备件的储备量情况
以及
两个仓库之间的
状态转移的情况
我们拿2003年的情况来说
A仓库
它的储备量是
200万件
这200万件里面
有160万件
是在上一个年度
由A仓库自己保留下来的
有40万件
是2002年度就是上一个年度
从B仓库
转移过来的
对于B仓库来说呢
2003年的储备量是300万件
而其中
这里面有280万件是
2002年的时候
就已经存在B仓库里
而有20万件
是2002年度
本来在A仓库的
在02到03年转移的过程中
从A仓库转移到B仓库
2004年的状况
是类似的 不再解释了
那么关于这样一个问题怎么来进行备件预测呢？
我们回忆一下前面说的
k步预测问题
其实是这样一个步骤
已知系统的初始状态A0和一步状态转移概率矩阵P
初始状态A0和
这个矩阵P
通过前面的问题背景
可以列出来
在P的基础上可以得到k步状态转移概率矩阵Pk
就是一步状态转移概率矩阵的
k次方
那么系统的预测呢
经过了k步状态转移以后
Ak=A0×Pk
那么在这个问题里面
我们首先来看一下基于2003年的数据
怎么来得到一步状态转移概率矩阵
P2003
我们看第一行第一列元素P11
它代表的是在2002年向2003年的转移过程中
有多大的概率
由A仓库的备件保留在A仓库
我们可以分析前面那个表格的数据
在2002年总共有180万个备件
有160万个备件
保留在A仓库
有20万个备件从A仓库转移到了B仓库
那么P11就等于160/180
P12呢
就等于20/180
P21和P22是类似的分析
那么P2003就可以建立起来了
系统在2003年所处的状态A2003
就等于
(0.4, 0.6)
是说总备件数是500万件
有200万件在A仓库
有300万件在B仓库
如果基于2004年的数据的话
可以经过类似的分析
得到
基于2004年数据
建立的一步状态转移概率矩阵
我们可以对
P2003和P2004进行一个对比
可以发现它们是非常接近的
我们取两位有效数字
把这样一个问题看作为一个平稳的马尔可夫过程
取状态转移概率矩阵P
是0.89 0.11
0.13 0.87
取初始状态
A0为A2004
也取两位有效数字
那么A0就是0.43 0.57
那么接下来就可以进行
系统预测
P2005呢？
它等于A2004也就是现在给出来的A0
乘以P
P2006呢？
就是经历两次状态转移
那么它等于A0乘以P的平方
P2007就是A0乘以P的3次方 等等等等
那么这个
k步预测就可以通过这样一个表格给出来了
它的一系列结果
2005年 2006年一直到2010年
其实还可以继续往下预测
这是第一个问题
k步预测
关于
稳态预测
我们还回顾一下前面的推理过程
是说如果这个转移概率矩阵P是正规的话
那么它就必然存在一个特征向量u
u×P=u
而系统不管是处于一个什么样的初始状态F
F×Pm
就是说经历m次状态转移
m趋于无穷的时候
总是会趋于u的
就是系统的
在各种状态下的分布概率
总是会趋于u的
u怎么来计算呢？
利用这样一些条件
u×P=u 以及Σui等于1
那么在这个问题里面
我们可以看到
状态转移概率矩阵
它一定是一个正规的
那么这个马尔可夫链
就是正规的
就可以建立这样一个
方程组
这就是u×P=u
另外还有个条件u1+u2=1
解方程u1=0.54 u2=0.46
那么就是说在稳态下
A、B两个仓库的最终的备件储备量
分别是
mA=500×0.54=270万件
mB=500×0.46=230万件
现在提出一个新的问题
如果出现
装备维修需求的变化
使得每一步原储备保留在B仓库的比例
提高了0.05
也就是
从0.87提高到了0.92
那么
状态转移概率矩阵
就变为P等于0.89 0.11
0.08 0.92
这个情况下怎么来进行预测呢？
同样的道理
建立这样的
方程组就是
u’
乘以
新的状态转移概率矩阵P
以及u’1+u’2=1
所以在稳态下
A B两个仓库的最终的储备量分别为
mA=500×0.42=210万件
mB=500×0.58=290万件
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