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3.3.3图解矢量方程解法的基础(上)在线视频

3.3.3图解矢量方程解法的基础(上)

下一节:3.3.4图解矢量方程解法的基础(下)

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3.3.3图解矢量方程解法的基础(上)课程教案、知识点、字幕

这一小节

我们来探讨矢量方程图解法的基础

第一种运动合成

也就是同一构件不同点之间的运动合成

我们来看一下这种运动合成

速度和加速度的矢量方程是如何构成

以及每一个矢量大小和方向的要素

是如何确定的

我们先看一下速度矢量方程

这里有一个构件

在这个构件上

我们分别取两个点

B和C

假设B点的速度

我们用vB来表示

C点的速度

我们用vC来表示

那么一般情况下

如果这个构件做的是平面的复合运动

也就是既有平动

又有转动

那么vB和vC通常是不相等的

但是有一种情况

这两个速度可能相等

那也就是这个构件在平面上做的是平动

当然我们在这里看的矢量方程

针对的是最一般的情况

也就是vB和vC不等的情况

那么vB和vC之间的关系到底应该怎么来描述

我们可以用这样一个矢量方程

vC等于vB加vCB

由于每一个矢量针对的都是同一个构件

所以我们省去了表示构件的数字下标

只保留点代表的字母这个下标

那么在这个矢量方程中

三个矢量我们通常是已知一个矢量

比如vB去求另外一个矢量vC

那么其中vCB这个矢量表示的意思

就是构件上C点相对于B点的相对速度

按照力学运动学得到的结论vCB

这个相对速度

应该等于这个构件的角速度

乘以这两点间的距离

那么它的方向

按照力学的结论是垂直于这两点的连线

也就是在图中垂直于BC的方向

所以我们需要记住相对速度

它的大小和方向

这两个要素是如何描述如何表达的

我们再来看一下加速度矢量方程

加速度矢量方程

建立的是B点和C点之间的加速度关系

按照符号体系

我们用a来表示加速度

那这个矢量方程中

就是建立aC和aB之间的关系

按照力学分析的结论

我们可以得到这样一个矢量方程

aC等于aB加aCB

aCB代表的是C点相对于B点的相对加速度

而这个相对加速度

我们可以进一步的分解成两个分量

一个称之为法向加速度

另外一个称之为切向加速度

我们来看一下法向加速度

这个矢量的大小和方向

它的大小等于这个构件的角速度的平方

乘以这两点间的距离

它的方向是由C指向B

这个指向是非常明确的

从C到B而不是反过来的从B指向C

这是法向加速度分量

我们再看另外一个分量切向加速度分量

切向加速度分量我们用aCBτ来表示

aCBτ等于这个构件的角加速度

乘以这两点间的距离

构件的角加速度

我们用α来表示

lBC代表这两点间的距离

那么α乘以lBC

就是aCBτ大小的计算表达式

切向加速度的方向

正好与法向加速度的方向是垂直的

那么这两个分加速度的合成

就是aCB

这样我们针对同一构件不同点间的运动合成

分别建立起了速度和加速度的矢量方程

并且分析了相对速度相对加速度大小和方向

这两个要素是如何分析的

为了加深理解

我们将这两个矢量方程

用在一个简单的平面机构分析上

我们来看一下如何运用

这是一个简单的平面机构

由123

3个活动构件加机架

也就是4号构件形成是一个四杆机构

我们以1号构件

AB杆作为原动件

它的运动规律已知

也就是1构件的角速度和角加速度已知

我们要去求2号构件这个三角形构件

它的角速度和角加速度

以及2号构件上各个不同点

它的速度和加速度

只要这个机构运动是确定的

我们可以运用这种方法

来求任意一个构件上

任意一个点的速度和加速度

那我们来分析一下

运用速度的合成和加速度的合成

如何建立矢量方程

通常对于原动件1号构件

我们是可以运用两点间的运动合成

以A为参考点

去求B

就可以求出1号构件在B点的速度和加速度

选A为参考点

是因为1号构件在A点速度和加速度都为零

凡是通过转动副连接的两个构件

那么这两个构件在转动副中心的速度

和加速度都是相等的

所以相当于1号构件上我们已知

vA1和aA1

速度和加速度都为零

我们就可以从原动件先求到1号构件上

B点的速度vB1和aB1

而1号构件和2号构件是转动副连接

vB2是等于vB1的

aB2也等于aB1

所以我们就可以求出2号构件

在B点的速度和加速度

以2号构件在B点作为参考点

我们再次运用同一构件上不同两点间的运动合成

可以建立C相对于B的运动合成

进一步的可以建立E点相对于B

E点相对于C的运动合成的速度方程和加速度方程

然后去求解

就可以求出2号构件上

一些关键点C和E它的速度以及加速度

这是我们分析的一个基本思路

下面我们按照矢量方程图解法的一般步骤

我们来对速度和加速度的分析过程进行一个讨论

我们先看速度

按照运动合成原理

我们来求2号构件上不同两点间的运动合成关系

先通过1号构件的分析

我们可以求得B点的速度和加速度

把它作为2号构件上的已知点

然后再去建立未知点C和已知点B之间的速度关系

很容易写出vC等于vB加vCB

接着我们分析这个矢量方程

每一个矢量的大小和方向

哪些是已知

哪些是未知

通过对原动件1的分析

我们可以求出vB

也就是vB1也等于vB2

它可以作为已知量

而从大小分析的角度

vC是我们要求的

vCB这个相对速度也是我们要求的

这样有两个大小未知

我们再来看方向

B点的速度方向vB这个矢量

它是垂直于AB

并且与1构件的回转角速度的方向一致

所以我们认为vB这个矢量方向是已知的

vCB按照运动合成方程以及它的分析结论

它始终是垂直于两点连线

在图中就是垂直于bc的

因此我们认为vCB的方向线也是已知的

再来看vC

vC实际上指的vC2

而2号和3号构件在C点是转动副连接的

按照转动副连接关系

vC2和vC3应该是相等的

而3号构件是沿着导轨xx方向做的平动

那么3号构件上任何一点的速度方向

都是沿着导轨方向

由此我们可以确立2号构件

在C点的速度vC2

在矢量方程中我们写作vC

它的方向是沿xx平行的方向

经过分析

我们发现这个矢量方程中

只有vC的大小和vCB的大小是未知的

它符合一个矢量方程

包含两个未知量

可以求解这么样一个前提条件

这是我们的分析

接下来我们看一下

有了这个矢量方程

并且它是可解的

那么如何来求解

我们的求解目标

是要先求解出2号构件上C点的速度vC2

而这个矢量方程

我们已经分析出未知量是vC的大小和vCB的大小

按照前面矢量方程的一般的求解方法和步骤

我们需要用一个多边形图

来表示这个矢量方程

当然这个多边形图

画出的每一个矢量代表的是一个速度

那么这个矢量线段的长度代表的是对应的速度值

我们就需要有一个比例尺

来描述这个线段长和实际速度值之间的比例关系

这样的比例尺我们称为速度比例尺

我们用μV来表示

它代表多边形图上每一个毫米

对应实际的多少米每秒的速度

根据这个比例尺

我们可以把大小已知的矢量进行计算

并且先画出这个大小和方向都已知的矢量

也就是我们先求出的根据原动件得到的1构件

在B点的速度vB1

它也等于vB2

我们选一个出发点称为极点

用小写的p来表示

按照vB的方向

做出vB的矢量

当然这个矢量线段的长度

是按照μV和vB的实际大小计算出来的

它的指向是通过机构运动简图中与AB线段垂直

并且与ω1方向一致的方向平移下来

所以我们在运用多边形求解矢量方程的时候

需要把这个多边形图

和机构运动简图作在同一张纸上

才能做出对应的平行或者垂直的关系

在我们画出了第一个大小方向都已知的矢量

vB矢量

也就是图中的pb这根线段之后

我们再来做包含未知量的矢量

包含未知量的矢量

有vC和vCB

等号左边只有一个vC

那么这个矢量通常是从出发点来画

也就是极点p

我们过极点p作一条方向线

也就是一条直线

代表vC的方向

而vC的方向

我们分析是沿着xx的平行方向

所以我们推xx的平行线

并且过p点做出第一条

包含未知量的直线

然后再做第二个包含未知量的方向线

vCB是与vB相加的

所以我们过pb这个矢量线段的末端

也就是b点来作包含vCB的这条方向线

vCB的方向线垂直于bc

所以我们从简图中

bc的垂线平移下来

经过b点

就可以做出第二条矢量方向线

这两条方向线

也就是这两条直线求交点

交点我们用c来表示

这样就形成了一个封闭的多边形

我们按照矢量方程里边的关系

把这个多边形补全

那么其中pc bc

分别代表我们求出的两个矢量vC和vCB

那vC的速度大小怎么求

由于pc代表的是vC

我们测量出pc的长度

然后乘以速度比例尺μV

就可以换算成vC的速度大小

另外一条边bc代表的是vCB这个矢量

我们测量出bc的线段长

乘以速度比例尺

就可以得到vCB的大小

而利用vCB

我们可以求出2构件的角速度ω2

也就是vCB除以C和B之间的线段长

计算出ω2的大小

再利用vCB的方向

也就是C相对于B在图中指向向上

就可以得到ω2的方向

是沿着逆时针方向

这样我们就可以求出2号构件上

C点的速度

以及2构件的角速度

如果我们进一步的要去求2号构件上

E点的速度

应该怎么求

在我们做出了由B求C的这个速度多边形图之后

我们以此为基础来求2构件在E点的速度

利用两点间的运动合成

我们选一个点为参考点

这个参考点

现在可以选B也可以选C

我们分别以B和C作为参考点去求E

可以运用两次运动合成

去建立两个矢量方程

我们来分析这两个矢量方程

合并成的一个方程中大小和位置要素

我们来看大小

以B为参考和以C为参考

那么参考点B点和C点的速度

我们在前一步已经求出来了

那么它的大小和方向都可以看作已知

E相对于B和E相对于C的相对速度

大小位置方向是垂直于这两点连线

因此这两个运动合成的矢量方程

组合出的一个矢量方程中

虽然左边vE大小和方向

我们不好直接确定出来

但是我们看右边的联立部分

vEB和vEC这两个矢量的大小是未知的

而方向 方向线是已知的

那么我们看右侧联立的这个方程

就可以发现这个矢量方程中

只有vEB和vEC的大小未知

包含两个未知要素

我们就可以求解这个矢量方程

得到这两个未知量的大小

那按照求解的一般步骤

我们已经得到了pc代表的vC

pb代表的vB

这两个矢量

然后接着pc的末端画出一条方向线

再接着pb的末端画出

第二个包含未知量的方向线

求交点

交点我们用e来表示

那么当我们求出交点之后

我们就可以利用多边形关系与矢量方程的对应

来求这两个未知大小的矢量

我们连接be和ce

它分别代表了vEB和vEC

而我们要求的E点的速度

也就是E点的绝对速度

我们只需要连接pe

我们可以对照这个多边形图和方程

看一下它的关系

每一条边和对应的矢量是一 一的对应的

所以我们通过求解这个矢量方程

不仅求出了vEB和vEC

还进一步的求出了vE这个矢量

那么这个速度多边形图

就得到了整个方程的求解的

一个完整的过程

结合这一个求解过程

我们来看一下

在我们作图求解矢量方程的过程中

这个矢量多边形与机构运动简图之间

在几何上存在一些特性的关系

第一我们选择了极点p

由极点p向外指向的矢量

比如pb pc和pe

分别代表了2构件上BCE这三点的绝对速度

因此绝对速度

一般是由极点指向极点外的对应的点

第二

连接极点以外的两点代表的一个矢量

那么通常是一个相对速度

而这个矢量的方向是与矢量的下标指向相反

比如B指向C的矢量

代表的是vCB代表C相对于B点的相对速度

BE矢量代表的是vEB

第三点

我们会发现在机构运动简图中

BCE构成的三角形和速度多边形图中

bce这个三角形对应边是垂直关系

因为它表示的是相对速度

正好垂直于两点连线

那么在几何上

这两个BCE三角形应该是相似的

这个相似关系我们称为速度影像

速度影像

在速度多边形图中可以起到什么作用呢

利用速度影像

我们可以简化求解过程

在一个构件上

已知两个点的速度

去求任意第三点的速度

我们可以利用速度影像来求

而不需要再列矢量方程

比如我们在2号构件BC的中间取一个点F

如果我们要求F点的速度

那么我们可以在速度多边形图中

bce这个三角形中去取bc边

这个矢量对应边的中点f

然后我们连接pf

就可以得到2号构件上F点的速度值

刚才我们利用B点和C点去求E点的速度

也是利用速度影像

以bc为参考点

去做一个相似三角形bce

和机构运动简图中的BCE这个三角形相似

就可以直接得到E点

然后连接pe就得到了2构件在E点的速度

针对这个简单机构的速度分析

我们先讲到这里

谢谢大家

机械原理课程列表:

第一章 绪论

-1.1 概述

--1.1 概述

-1.2 课程研究的对象及内容

--1.2课程研究的对象及内容

-1.3 学习的目的和意义

--1.3学习的目的和意义

-1.4 课程学习的方法和要点

--1.4课程学习的方法和要点

-第一章 绪论--1.4 课程学习的方法和要点

第二章 平面机构的结构分析

-2.1机构结构分析

--2.1 机构结构分析

-2.2 机构的组成和分类

--2.2.1 机构的组成

--2.2.2 机构的分类

--2.2.3 运动链

-2.3机构运动简图

--2.3.1 机构运动简图

--2.3.2机构运动简图绘制

--2.3.3 机构运动简图示例

-2.4机构自由度的计算

--2.4.1机构的自由度

--2.4.2机构的自由度计算(上)

--2.4.3机构的自由度计算(下)

-2.5计算平面机构自由度时应注意事项

--2.5.1 计算平面机构自由度时应注意事项

--2.5.2局部自由度

--2.5.3虚约束

-2.6平面机构的组成原理、结构分类及结构分析

--2.6.1 平面机构的组成原理

--2.6.2 平面机构的结构分类

--2.6.3 平面机构结构分析

-2.6平面机构的组成原理、结构分类及结构分析--作业

第三章 平面机构的运动分析

-3.1机构运动分析的目的和方法

--3.1 机构运动分析的目的和方法

-3.2用瞬心法作机构的运动分析

--3.2.1速度瞬心

--3.2.2速度瞬心位置的确定

--3.2.3用瞬心法做机构的速度分析

-3.3用图解法作机构的运动分析

--3.3.1矢量方程图解法的基本原理

--3.3.2图解矢量方程的一般方法

--3.3.3图解矢量方程解法的基础(上)

--3.3.4图解矢量方程解法的基础(下)

--3.3.5不同构件重合点间运动合成(上)

--3.3.6不同构件重合点间运动合成(下)

--3.3.7矢量方程图解法分析示例(上)

--3.3.8矢量方程图解法分析示例(下)

-3.4 瞬心法和矢量方程图解法的综合应用

--3.4.1两种方法的特点

--3.4.2两种方法结合的优势

--3.4.3两种方法的综合运用

-3.4 瞬心法和矢量方程图解法的综合应用--作业

第四章 连杆机构及其设计

-4.1 平面连杆机构的特点及应用

--4.1 平面连杆机构的特点及应用

-4.2 平面四杆机构的类型和应用

--4.2.1平面四杆机构相关基本概念定义

--4.2.2平面四杆机构的基本类型

--4.2.3平面四杆机构的演化类型

-4.3平面四杆机构的一些基本知识

--4.3.1平面四杆机构有曲柄的条件

--4.3.2急回运动和行程速度变化系数

--4.3.3 四杆机构的传动角和死点(上)

--4.3.4 四杆机构的传动角和死点(下)

--4.3.5 铰链四杆机构的运动连续性

-4.4平面四杆机构的设计

--4.4.1 连杆机构设计的基本问题和方法

--4.4.2按连杆的预定位置设计四杆机构

--4.4.3 按两连架杆的预定对应位置设计(上)

--4.4.4按两连架杆的预定对应位置设计(下)

--4.4.5用作图法设计四杆机构

-4.4平面四杆机构的设计--作业

第五章 凸轮机构及其设计

-5.1 凸轮机构的应用和分类

--5.1 凸轮机构的应用和分类

-5.2 推杆的运动规律

--5.2 推杆的运动规律

-5.3 凸轮轮廓曲线设计

--5.3 凸轮轮廓曲线设计

-5.4 凸轮机构基本尺寸的确定

--5.4.1凸轮机构基本尺寸的确定(上)

--5.4.2凸轮机构基本尺寸的确定(下)

-5.4 凸轮机构基本尺寸的确定--作业

第六章 齿轮机构及其设计

-6.1 齿轮机构的特点及类型

--6.1 齿轮机构的特点及类型

-6.2 齿轮的齿廓曲线

--6.2 齿轮的齿廓曲线

-6.3 渐开线齿廓及其啮合特点

--6.3.1渐开线的形成及其特性

--6.3.2渐开线齿廓的啮合特点

-6.4 渐开线标准齿轮各部分的名称和尺寸

--6.4.1渐开线标准齿轮各部分的名称和尺寸

--6.4.2 齿条和内齿轮尺寸

-6.5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动

--6.5.1 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动

--6.5.2 齿轮传动的中心距及啮合角

--6.5.3渐开线齿轮齿条传动的啮合特点

--6.5.4一对轮齿的啮合过程及连续传动条件

-6.6渐开线齿廓的切制原理与根切现象

--6.6.1 渐开线齿廓的切制原理(上)

--6.6.2 渐开线齿廓的切制原理(下)

--6.6.3渐开线齿廓的根切现象

--6.6.4 标准齿轮不发生根切时的最少齿数

-6.7变位齿轮概述

--6.7.1变位齿轮概述

--6.7.2变位齿轮的啮合传动

--6.7.3变位齿轮传动类型及特点

-6.8斜齿圆柱齿轮传动

--6.8.1 渐开线斜齿圆柱齿轮齿面的形成

--6.8.2 斜齿轮的基本参数与几何尺寸计算

--6.8.3一对斜齿圆柱齿轮的啮合传动

--6.8.4 斜齿轮的当量齿轮与当量齿数

--6.8.5斜齿轮传动主要的优缺点

-6.9直齿锥齿轮传动

--6.9直齿锥齿轮传动

-6.10蜗杆传动

--6.10蜗杆传动

-6.10蜗杆传动--作业

第七章 齿轮系及其设计

-7.1齿轮系及其分类

--7.1齿轮系及其分类

-7.2定轴轮系的传动比

--7.2.1 定轴轮系的传动比

--7.2.2首、末两轮转向关系的确定

-7.3周转轮系的传动比

--7.3.1周转轮系的传动比

--7.3.2周转轮系传动比计算方法

-7.4复合轮系的传动比

--7.4复合轮系的传动比

-7.5轮系的功能

--7.5.1轮系的功能 (上)

--7.5.2轮系的功能 (下)

--7.5.3轮系类型的选择

-7.5轮系的功能--作业

第八章 机械的运转及其速度波动的调节

-8.1概述

--8.1概述

-8.2 机械的运动方程式

--8.2.1 机械的运动方程式

--8.2.2等效力和等效力矩

--8.2.3等效质量和等效转动惯量

--8.2.4等效质量和等效转动惯量的例题

-8.3 稳定运转状态下的机械的周期性速度波动及其调节

--8.3.1产生周期性速度波动的原因

--8.3.2稳定运转状态下机械的周期性速度波动及其调节

--8.3.3速度波动调节的例题

-8.3 稳定运转状态下的机械的周期性速度波动及其调节--作业

3.3.3图解矢量方程解法的基础(上)笔记与讨论

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