当前课程知识点:机械原理 > 第三章 平面机构的运动分析 > 3.3用图解法作机构的运动分析 > 3.3.3图解矢量方程解法的基础(上)
这一小节
我们来探讨矢量方程图解法的基础
第一种运动合成
也就是同一构件不同点之间的运动合成
我们来看一下这种运动合成
速度和加速度的矢量方程是如何构成
以及每一个矢量大小和方向的要素
是如何确定的
我们先看一下速度矢量方程
这里有一个构件
在这个构件上
我们分别取两个点
B和C
假设B点的速度
我们用vB来表示
C点的速度
我们用vC来表示
那么一般情况下
如果这个构件做的是平面的复合运动
也就是既有平动
又有转动
那么vB和vC通常是不相等的
但是有一种情况
这两个速度可能相等
那也就是这个构件在平面上做的是平动
当然我们在这里看的矢量方程
针对的是最一般的情况
也就是vB和vC不等的情况
那么vB和vC之间的关系到底应该怎么来描述
我们可以用这样一个矢量方程
vC等于vB加vCB
由于每一个矢量针对的都是同一个构件
所以我们省去了表示构件的数字下标
只保留点代表的字母这个下标
那么在这个矢量方程中
三个矢量我们通常是已知一个矢量
比如vB去求另外一个矢量vC
那么其中vCB这个矢量表示的意思
就是构件上C点相对于B点的相对速度
按照力学运动学得到的结论vCB
这个相对速度
应该等于这个构件的角速度
乘以这两点间的距离
那么它的方向
按照力学的结论是垂直于这两点的连线
也就是在图中垂直于BC的方向
所以我们需要记住相对速度
它的大小和方向
这两个要素是如何描述如何表达的
我们再来看一下加速度矢量方程
加速度矢量方程
建立的是B点和C点之间的加速度关系
按照符号体系
我们用a来表示加速度
那这个矢量方程中
就是建立aC和aB之间的关系
按照力学分析的结论
我们可以得到这样一个矢量方程
aC等于aB加aCB
aCB代表的是C点相对于B点的相对加速度
而这个相对加速度
我们可以进一步的分解成两个分量
一个称之为法向加速度
另外一个称之为切向加速度
我们来看一下法向加速度
这个矢量的大小和方向
它的大小等于这个构件的角速度的平方
乘以这两点间的距离
它的方向是由C指向B
这个指向是非常明确的
从C到B而不是反过来的从B指向C
这是法向加速度分量
我们再看另外一个分量切向加速度分量
切向加速度分量我们用aCBτ来表示
aCBτ等于这个构件的角加速度
乘以这两点间的距离
构件的角加速度
我们用α来表示
lBC代表这两点间的距离
那么α乘以lBC
就是aCBτ大小的计算表达式
切向加速度的方向
正好与法向加速度的方向是垂直的
那么这两个分加速度的合成
就是aCB
这样我们针对同一构件不同点间的运动合成
分别建立起了速度和加速度的矢量方程
并且分析了相对速度相对加速度大小和方向
这两个要素是如何分析的
为了加深理解
我们将这两个矢量方程
用在一个简单的平面机构分析上
我们来看一下如何运用
这是一个简单的平面机构
由123
3个活动构件加机架
也就是4号构件形成是一个四杆机构
我们以1号构件
AB杆作为原动件
它的运动规律已知
也就是1构件的角速度和角加速度已知
我们要去求2号构件这个三角形构件
它的角速度和角加速度
以及2号构件上各个不同点
它的速度和加速度
只要这个机构运动是确定的
我们可以运用这种方法
来求任意一个构件上
任意一个点的速度和加速度
那我们来分析一下
运用速度的合成和加速度的合成
如何建立矢量方程
通常对于原动件1号构件
我们是可以运用两点间的运动合成
以A为参考点
去求B
就可以求出1号构件在B点的速度和加速度
选A为参考点
是因为1号构件在A点速度和加速度都为零
凡是通过转动副连接的两个构件
那么这两个构件在转动副中心的速度
和加速度都是相等的
所以相当于1号构件上我们已知
vA1和aA1
速度和加速度都为零
我们就可以从原动件先求到1号构件上
B点的速度vB1和aB1
而1号构件和2号构件是转动副连接
vB2是等于vB1的
aB2也等于aB1
所以我们就可以求出2号构件
在B点的速度和加速度
以2号构件在B点作为参考点
我们再次运用同一构件上不同两点间的运动合成
可以建立C相对于B的运动合成
进一步的可以建立E点相对于B
E点相对于C的运动合成的速度方程和加速度方程
然后去求解
就可以求出2号构件上
一些关键点C和E它的速度以及加速度
这是我们分析的一个基本思路
下面我们按照矢量方程图解法的一般步骤
我们来对速度和加速度的分析过程进行一个讨论
我们先看速度
按照运动合成原理
我们来求2号构件上不同两点间的运动合成关系
先通过1号构件的分析
我们可以求得B点的速度和加速度
把它作为2号构件上的已知点
然后再去建立未知点C和已知点B之间的速度关系
很容易写出vC等于vB加vCB
接着我们分析这个矢量方程
每一个矢量的大小和方向
哪些是已知
哪些是未知
通过对原动件1的分析
我们可以求出vB
也就是vB1也等于vB2
它可以作为已知量
而从大小分析的角度
vC是我们要求的
vCB这个相对速度也是我们要求的
这样有两个大小未知
我们再来看方向
B点的速度方向vB这个矢量
它是垂直于AB
并且与1构件的回转角速度的方向一致
所以我们认为vB这个矢量方向是已知的
vCB按照运动合成方程以及它的分析结论
它始终是垂直于两点连线
在图中就是垂直于bc的
因此我们认为vCB的方向线也是已知的
再来看vC
vC实际上指的vC2
而2号和3号构件在C点是转动副连接的
按照转动副连接关系
vC2和vC3应该是相等的
而3号构件是沿着导轨xx方向做的平动
那么3号构件上任何一点的速度方向
都是沿着导轨方向
由此我们可以确立2号构件
在C点的速度vC2
在矢量方程中我们写作vC
它的方向是沿xx平行的方向
经过分析
我们发现这个矢量方程中
只有vC的大小和vCB的大小是未知的
它符合一个矢量方程
包含两个未知量
可以求解这么样一个前提条件
这是我们的分析
接下来我们看一下
有了这个矢量方程
并且它是可解的
那么如何来求解
我们的求解目标
是要先求解出2号构件上C点的速度vC2
而这个矢量方程
我们已经分析出未知量是vC的大小和vCB的大小
按照前面矢量方程的一般的求解方法和步骤
我们需要用一个多边形图
来表示这个矢量方程
当然这个多边形图
画出的每一个矢量代表的是一个速度
那么这个矢量线段的长度代表的是对应的速度值
我们就需要有一个比例尺
来描述这个线段长和实际速度值之间的比例关系
这样的比例尺我们称为速度比例尺
我们用μV来表示
它代表多边形图上每一个毫米
对应实际的多少米每秒的速度
根据这个比例尺
我们可以把大小已知的矢量进行计算
并且先画出这个大小和方向都已知的矢量
也就是我们先求出的根据原动件得到的1构件
在B点的速度vB1
它也等于vB2
我们选一个出发点称为极点
用小写的p来表示
按照vB的方向
做出vB的矢量
当然这个矢量线段的长度
是按照μV和vB的实际大小计算出来的
它的指向是通过机构运动简图中与AB线段垂直
并且与ω1方向一致的方向平移下来
所以我们在运用多边形求解矢量方程的时候
需要把这个多边形图
和机构运动简图作在同一张纸上
才能做出对应的平行或者垂直的关系
在我们画出了第一个大小方向都已知的矢量
vB矢量
也就是图中的pb这根线段之后
我们再来做包含未知量的矢量
包含未知量的矢量
有vC和vCB
等号左边只有一个vC
那么这个矢量通常是从出发点来画
也就是极点p
我们过极点p作一条方向线
也就是一条直线
代表vC的方向
而vC的方向
我们分析是沿着xx的平行方向
所以我们推xx的平行线
并且过p点做出第一条
包含未知量的直线
然后再做第二个包含未知量的方向线
vCB是与vB相加的
所以我们过pb这个矢量线段的末端
也就是b点来作包含vCB的这条方向线
vCB的方向线垂直于bc
所以我们从简图中
bc的垂线平移下来
经过b点
就可以做出第二条矢量方向线
这两条方向线
也就是这两条直线求交点
交点我们用c来表示
这样就形成了一个封闭的多边形
我们按照矢量方程里边的关系
把这个多边形补全
那么其中pc bc
分别代表我们求出的两个矢量vC和vCB
那vC的速度大小怎么求
由于pc代表的是vC
我们测量出pc的长度
然后乘以速度比例尺μV
就可以换算成vC的速度大小
另外一条边bc代表的是vCB这个矢量
我们测量出bc的线段长
乘以速度比例尺
就可以得到vCB的大小
而利用vCB
我们可以求出2构件的角速度ω2
也就是vCB除以C和B之间的线段长
计算出ω2的大小
再利用vCB的方向
也就是C相对于B在图中指向向上
就可以得到ω2的方向
是沿着逆时针方向
这样我们就可以求出2号构件上
C点的速度
以及2构件的角速度
如果我们进一步的要去求2号构件上
E点的速度
应该怎么求
在我们做出了由B求C的这个速度多边形图之后
我们以此为基础来求2构件在E点的速度
利用两点间的运动合成
我们选一个点为参考点
这个参考点
现在可以选B也可以选C
我们分别以B和C作为参考点去求E
可以运用两次运动合成
去建立两个矢量方程
我们来分析这两个矢量方程
合并成的一个方程中大小和位置要素
我们来看大小
以B为参考和以C为参考
那么参考点B点和C点的速度
我们在前一步已经求出来了
那么它的大小和方向都可以看作已知
E相对于B和E相对于C的相对速度
大小位置方向是垂直于这两点连线
因此这两个运动合成的矢量方程
组合出的一个矢量方程中
虽然左边vE大小和方向
我们不好直接确定出来
但是我们看右边的联立部分
vEB和vEC这两个矢量的大小是未知的
而方向 方向线是已知的
那么我们看右侧联立的这个方程
就可以发现这个矢量方程中
只有vEB和vEC的大小未知
包含两个未知要素
我们就可以求解这个矢量方程
得到这两个未知量的大小
那按照求解的一般步骤
我们已经得到了pc代表的vC
pb代表的vB
这两个矢量
然后接着pc的末端画出一条方向线
再接着pb的末端画出
第二个包含未知量的方向线
求交点
交点我们用e来表示
那么当我们求出交点之后
我们就可以利用多边形关系与矢量方程的对应
来求这两个未知大小的矢量
我们连接be和ce
它分别代表了vEB和vEC
而我们要求的E点的速度
也就是E点的绝对速度
我们只需要连接pe
我们可以对照这个多边形图和方程
看一下它的关系
每一条边和对应的矢量是一 一的对应的
所以我们通过求解这个矢量方程
不仅求出了vEB和vEC
还进一步的求出了vE这个矢量
那么这个速度多边形图
就得到了整个方程的求解的
一个完整的过程
结合这一个求解过程
我们来看一下
在我们作图求解矢量方程的过程中
这个矢量多边形与机构运动简图之间
在几何上存在一些特性的关系
第一我们选择了极点p
由极点p向外指向的矢量
比如pb pc和pe
分别代表了2构件上BCE这三点的绝对速度
因此绝对速度
一般是由极点指向极点外的对应的点
第二
连接极点以外的两点代表的一个矢量
那么通常是一个相对速度
而这个矢量的方向是与矢量的下标指向相反
比如B指向C的矢量
代表的是vCB代表C相对于B点的相对速度
BE矢量代表的是vEB
第三点
我们会发现在机构运动简图中
BCE构成的三角形和速度多边形图中
bce这个三角形对应边是垂直关系
因为它表示的是相对速度
正好垂直于两点连线
那么在几何上
这两个BCE三角形应该是相似的
这个相似关系我们称为速度影像
速度影像
在速度多边形图中可以起到什么作用呢
利用速度影像
我们可以简化求解过程
在一个构件上
已知两个点的速度
去求任意第三点的速度
我们可以利用速度影像来求
而不需要再列矢量方程
比如我们在2号构件BC的中间取一个点F
如果我们要求F点的速度
那么我们可以在速度多边形图中
bce这个三角形中去取bc边
这个矢量对应边的中点f
然后我们连接pf
就可以得到2号构件上F点的速度值
刚才我们利用B点和C点去求E点的速度
也是利用速度影像
以bc为参考点
去做一个相似三角形bce
和机构运动简图中的BCE这个三角形相似
就可以直接得到E点
然后连接pe就得到了2构件在E点的速度
针对这个简单机构的速度分析
我们先讲到这里
谢谢大家
-1.1 概述
--1.1 概述
-1.2 课程研究的对象及内容
-1.3 学习的目的和意义
-1.4 课程学习的方法和要点
-第一章 绪论--1.4 课程学习的方法和要点
-2.1机构结构分析
-2.2 机构的组成和分类
-2.3机构运动简图
-2.4机构自由度的计算
-2.5计算平面机构自由度时应注意事项
--2.5.3虚约束
-2.6平面机构的组成原理、结构分类及结构分析
-2.6平面机构的组成原理、结构分类及结构分析--作业
-3.1机构运动分析的目的和方法
-3.2用瞬心法作机构的运动分析
-3.3用图解法作机构的运动分析
-3.4 瞬心法和矢量方程图解法的综合应用
-3.4 瞬心法和矢量方程图解法的综合应用--作业
-4.1 平面连杆机构的特点及应用
-4.2 平面四杆机构的类型和应用
-4.3平面四杆机构的一些基本知识
-4.4平面四杆机构的设计
-4.4平面四杆机构的设计--作业
-5.1 凸轮机构的应用和分类
-5.2 推杆的运动规律
-5.3 凸轮轮廓曲线设计
-5.4 凸轮机构基本尺寸的确定
-5.4 凸轮机构基本尺寸的确定--作业
-6.1 齿轮机构的特点及类型
-6.2 齿轮的齿廓曲线
-6.3 渐开线齿廓及其啮合特点
-6.4 渐开线标准齿轮各部分的名称和尺寸
-6.5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
-6.6渐开线齿廓的切制原理与根切现象
-6.7变位齿轮概述
-6.8斜齿圆柱齿轮传动
-6.9直齿锥齿轮传动
-6.10蜗杆传动
--6.10蜗杆传动
-6.10蜗杆传动--作业
-7.1齿轮系及其分类
-7.2定轴轮系的传动比
-7.3周转轮系的传动比
-7.4复合轮系的传动比
-7.5轮系的功能
-7.5轮系的功能--作业
-8.1概述
--8.1概述
-8.2 机械的运动方程式
-8.3 稳定运转状态下的机械的周期性速度波动及其调节
-8.3 稳定运转状态下的机械的周期性速度波动及其调节--作业