当前课程知识点：MEMS与微系统 > 第二章 微系统基本理论—基础力学与基本物理 > 第3小节 弹性梁（续） > 弹性梁（续）
所以用这样的一个办法
我们把宽度w在高度方向上梁
所对应的dz乘到一起
得到的是这个增量条的面积
面积乘以应力得到的是力的大小
力的大小再乘以一个力臂z
这里如果乘以的是z
那就我们是以梁的中面作为力矩的支点
把这个式子进行积分以后
我们得到了这个截面上的弯矩大小
等于梁的宽度乘以厚度的三次方除以12
乘以弹性模量除以曲率半径
因此 我们再把这两个式子
结合到一起就可以得到
弯矩M除以弹性模量
除以I等于曲率半径的倒数
这里的I我们把它称为梁的惯性矩
它等于宽度乘以厚度的三次方除以12
从这样的一个式子
我们可以看出来
我们已经把任意一个位置上的
弯矩和材料的力学性质
及变形大小联系到了一起
但是变形过程中
我们所采用的是曲率半径
这个数值用起来很不方便
我们希望把它变换成挠度
下面我们来看
怎么样把曲率半径和挠度联系到一起
我们来看这个图在中
面上一个微小的弧度的线段ds
那么它和所对应的长度方向上的增量dx
之间有这样的一个关系
就是ds的大小等于dx增量
除以我们所对应的一个弯曲
所产生的角度变化
当满足小变形假设的时候
角度的变化cosθ基本上等于1
所以我们近似的得到在x方向增量
和这一小段曲线是相等的
进一步再利用ds的大小
等于曲率半径所对应的张角的乘积
我们可以得到张角
与线段的大小的比值
约等于曲率半径的倒数
那么同样挠度
也就是在垂直方向上投影的大小
与水平方向所对应的增量
二者之间满足角度的正切关系
当角度很小的时候
我们直接可以用弧度来
近似这样的一个表达式
把二者结合到一起
我们就可以得到
由于外力变形所产生的
曲率半径的倒数
等于这一个位置上挠度的两次偏导
再结合前面弯矩与曲率半径倒数的关系
我们就可以得到挠度的两次偏导
等于这一点上弯矩的大小
与弹性模量和惯性矩的比值
因此利用这样的一个式子
我们可以看出来假设能够知道弯矩M的大小
我们就可以计算该点上的挠度的大小
如果沿着整个梁的长度
任何一个位置上的弯矩大小
我都能计算出来
那么就可以知道沿着梁的长度上
任何一个位置上挠度的大小
我们还记得前面再分析梁的时候
采用将梁中间截断的办法
那么截断的位置上它的弯矩大小
就是M等于F乘以L减去x
因此我们可以进一步将M表达为
外力F和所在位置的乘积
因此这样的一个偏微分方程
就把变形和外力完全联系到了一起
好 下面我们来看
怎么样来求解这样的一个过程
我们来看这是一个典型应用的例子
这是用MEMS来制造的一个硅的微开关
这一端支撑末端采用静电力来驱动
因此 它可以抽象成固定端支撑末端
作用一个集中力的一个悬臂梁结构
那么它的挠度的大小
我们就可以用前面的方式来计算出来
首先用到的方程仍旧是这样的一个方程
挠度的二次偏导等于力矩除以一个常数
由于 我们前面分析的时候
将梁层从中间截开
因此任何一个x所对应的位置
它的弯矩都等于M等于F乘以L减去x
我们就可以把这个M代入到
这个偏微分方程里
同时我们还需要利用到边界条件
对于固定支撑的结构的边界条件有两条
首先 在支撑点
也就是x等于0的位置它是不能产生位移的
所以在这个位置上挠度等于0
同样在这个位置上也不能产生角度的偏转
因此角度的表达式也应该是0
所谓的角度的表达式就是挠度它的偏导
因此这两个作为边界条件
结合M的表达式
我们就可以对上边的偏微分方程进行求解
所得到的结果是这样的
挠度w(x)等于F除以6EI
所得到的表达式是这样的
这个表达式中间把任意一个位置x
它的挠度都表示成了F和x之间的关系
因此只要我们确定
想知道哪一点的x代入到这个表达式里
我们就可以知道这一点的挠度大小
也就是它的变形大小
知道了挠度大小
我们还可以计算
对应任意一点的弯矩的大小
也就是任意一个截面上
距离中性面为z的位置它的应力到底是多大
计算出来我们会发现
这一点的应力与距离中性面的位移
成正比
与弯矩成正比
因此在越靠近支点的位置
我们得到的应力越大
越接近力的作用位置
那么所得到的应力就越小
同样越远离中性面的位置它的应力越大
到了中性面它的应力为零
如果我们以末端作为考察的位置
我们可以算出来末端施加的力的大小
和末端的位移
那么借用普通弹簧F等于kx这样的一个概念
末端的力的大小和末端的位移
分别表示为F和x
那么末端所对应的k也可以用
我们前面的变形把它计算出来
下面我们来看一下稍微复杂一点的结构
这是一个双端固支的梁
双端固支的梁是在梁的两侧
都没有可以自由移动端
两侧都把位移和转角限制死
这样的一个固定方式
那么对于双端支撑的MEMS开关大体上
可以用这样的一个模型进行抽象
它的分析过程与前面一样
有一点差异的地方在于
如果我们假定外力均匀的作用
在整个梁的截面上
那么 我们这个方程
可以从对挠度的两次偏导
与弯矩的关系转化为挠度的
四次偏导与均布力的密度的关系
这个力的密度是牛顿每米
这样的一个单位
同样它的边界条件
也包括左侧 右侧 两侧
都不能产生位移和转角
因此我们假设这个四阶
偏微分方程的通解形式是这样的
那么把边界条件代入以后
我们就可以把变形计算出来了
下面我们来看更加复杂一点的情况
双端固支梁
只有一个中间位置有集中力作用
那么它的分析方法
基本构成与前面相同
不同点在于我们需要在力的作用位置上
把梁切割为两段
左侧分得了F中间的一部分
我们把它称为FA
右侧闭着一段分得了一部分叫做FB
那么二则满足FA+FB等于F这样一个关系
然后我们再以左右两个梁
末端分别作用
有FA和FB这样的一个初始条件
并且结合左右两个梁在切割的位置上
有相同的挠度
这样的一个前提条件
我们就可以再利用前面
讲过的过程去进行分析
所得到的挠度的表达式
像这个式子所展示的
那么其中的FA和截面处的MA
都是材料的几何参数和力的大小
因此虽然我们在切割它的时候
左右两侧FA和FB的大小并不知道
但实际上由于它的静定性
那么FA大小实际上是已经确定了的
再分析单个梁的基础上
我们可以分析多根梁之间
有复杂几何关系的情况下
它们是如何动作
和它们的行为是如何表现的
我们来看一个例子
这是ADI所开发的加速传感器
它利用的是一个折线的梁
所支撑的一个质量块
上面固定有可动的叉指电极
与另一组固定的叉指电极之间
形成了一个叉指电极结构
这个叉指电极结构
在加速度沿着箭头方向的时候
质量块与加速度相反运动
因此改变了电容的大小
那么对于描述这样的一个结构
这个支撑质量块的梁
所具有的特性就是非常重要的
我们来看它在一个支撑铆点
分别伸出来两个方向梁
弯折一周以后又恢复到质量块上
那么 对于这样的一个结构
我们把它切开为一半
得到这个简化的模型
可以看出来在末端的支撑
沿着梁的长度方向
最后在对应的位置产生了
一个水平的作用力
分析这样的一个折线梁的方法
我们可以采用去分析多个梁
是属于串联还是并联的一个关系
所谓的梁的串联是指
两个梁上他们对应位置的位移不一样
比如说左侧一个梁
右侧一个梁
两者连接到一起在变形的时候
一个向左一个向右
那么这样它们在幅值
或者是相位上有不同
但是轴向的力是相同的
我们把这样的一个梁连接方式称为
梁的串联
它有点类似于两个弹簧的串联
第二种是当这两个梁上
对应位置的位移相同的时候
我们把它称为两个梁处于并联状态
它大体上相当于两个弹簧之间的并联
对于两个并联的梁我们可以看出
二者共同承担相同的载荷
因此每一个梁的载荷是
分别作用时候的二分之一
而对于串联的结构
我们得到的是每一个梁
独自承担总的载荷
因此变形是单独承担总载荷的梁的两倍
利用这样的一个关系
我们也可以分析这张图所示的结构
中间是一个铆点
两侧各有两根梁
这两根梁通过一个横的硬梁
又连接了两个竖的梁
那么同样这样的两个梁
就处于一个并联关系
而右侧的两个梁又处于一个串联关系
除此以外更复杂的一些结构
我们都可以采用类似的方法进行分析
-第1小节 MEMS的定义
--MEMS的定义
-第1小节 MEMS的定义--作业
-第2小节 MEMS的应用领域
-第2小节 MEMS的应用领域--作业
-第3小节 MEMS的发展
--MSMS的发展
-第3小节 MEMS的发展--作业
-第4小节 MEMS的发展（续）
-第4小节 MEMS的发展（续）--作业
-第1小节 应力和应变
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-第4小节 薄板与流体的基本概念
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-第5小节 流体的基本概念（续）
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-第6小节 静电力
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-第7小节 尺寸效应
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-第1小节 MEMS光刻技术
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-第5小节 体微加工技术—干法刻蚀
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-第7小节 体微加工技术—时分复用深刻蚀（续）
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