当前课程知识点：MEMS与微系统 > 第二章 微系统基本理论—基础力学与基本物理 > 第6小节 静电力 > 静电力
下面我们再来介绍一些
关于基本物理的一些内容
这里边包括两方面的知识
一 是关于电容式传感器
和执行器的静电力的计算方法
还有一部分是关于尺度缩小效应
给MEMS所带来的一些影响
静电力是MEMS领域里
非常常见的一个器件和现象
在MEMS中我们经常用到各种各样的
电容传感器
用到各种各样的电容
作为执行器或者换能器
因此在分析电容的静电力的时候
我们需要仔细的去从基础上
了解静电力是如何计算和分析出来的
哪些因素对它产生比较主要的影响
我们首先来看
在MEMS里边常用的电容结构包括两种
一种是平板电容
所谓平板电容是指
两个电容的极板是平行的
并且面积远大于间距这样的一个结构
第二个呢是叉指电容
叉指电容的基本结构
是两组梳状的叉指互相交
叠到一起所形成的电容极板
那么叉指电容可以认为
是多个平板电容组合到一起以后的变形
所以我们基本上
以平板电容作为主要的分析对象
电容的应用包括
压力传感器
麦克风以及执行器
加速传感器
陀螺和电场传感器等
这样的一些结构既要求
我们分析MEMS电容的大小
同时电容换能器也要求
我们来分析静电力的大小
我们来看两个电容的极板
当它施加一定电压的时候
二者之间会产生一定的电荷吸引
极性相反的电荷会产生静电引力
因此电容的两个极板之间
是存在着一定的相互引力的
这样的一个引力需要一定的势能
因此 我们希望用不同的手段
给电容提供它的势能
一种办法是我们固定两个极板的间距
让两个极板上电荷量增加
这个时候我们需要外界的做功
就等于把电荷Q
搬运到电势差为V
这样的一个台阶上所需要做的功
因此我们可以把功的表达式
写成电荷Q和V对Q的积分
进一步的我们把这个式子向前发展
最后通过积分计算得到搬运电荷Q
到电势差V所需要的外界的做功
等于电荷量Q的平方除以
两C两倍的电容
把C写成几何参数的关系
就等于Q的平方乘以极板间距
除以两倍的介电常数
和极板的面积
第二种做功的方法
是我们固定极板上的电荷
然后把极板间距拉大
由于极板之间有静电的引力
因此拉大的过程中
我们需要外界做功
这个功等于外力
对间距增大量的积分
我们把外力进一步
写成这样的一个形式
它跟静电力是相等的
也就是说我们在固定极板的电荷
来移动极板的过程中
只增加了势能而没有增加极板的动能
这个时候我们把外力
写成Q的平方除以两倍的
介电常数和面积
因此我们对它进行积分以后
可以得到外力的功
等于电荷的平方乘以极板间距
除以两倍的介电常数和面积
从固定极板间距进行充电
和固定电荷来移动极板
两种不同做功的方式
我们得到的结果却发现
所得到的势能
都等于相同的一个表达式
因此我们可以说系统总势能
和做功的方式无关
它只取决于最后电荷的总量
和极板的间距
下面我们来看
如何把做功和外力联系到一起
我们可以看得出来
整个系统能量的增量
也就是功率
等于电的功率加上机械的功率
换句话说系统增加的功率
需要外界的电和机械
两个系统所提供的功率
因此这个功率等于
电压乘以电流加上力乘以速度
进一步的我们把电流写成电荷的导数
速度写成位移的导数
因此对这二者进行积分以后
我们发现能量的增量
等于电压乘以电荷的增量
加上力乘以位移的增量
所以从这样一个式子
我们可以看出来
当电荷为常数的时候
这个增量等于0
我们就可以用能量对间距的偏导
表示外力的大小
同理如果间距等于常数
我们又可以用能量对电荷的偏导
来表示电压
也就是说从能量的大小
我们能计算出外力的大小和电压的大小
在实际应用中
我们的整个体系能量的增加
需要有一定的手段
我们还用这个式子来看势能的大小
等于电荷的平方乘以间距
除以两倍的介电常数和面积的产生乘积
那么获得这样的一个表达式
对于电系统来讲我们可以通过用电流源
对系统进行充电来控制电荷的方式
这样的一个方式
是我们控制整个系统电荷的一个手段
如果是这样的一个控制方法
我们可以像刚才一样把力
等于势能对间距的偏导
写成力等于电荷的平方除以两倍的
介电常数和面积的乘积
我们可以把电压表示成电荷
和间距的乘积
除以介电常数和面积的乘积
对于这样的一个表达式
我们可以看出来
如果我知道电荷就可以知道力的大小
但是在实际使用中很不幸的是
MEMS的电容它的尺度非常小
因此电容都非常小
有可能在皮法量级
甚至于更小的量级
在这样很小的电容量下
我们非常难以准确的
控制一个电容器件
它的电容到底是多少
因此想利用这样的一个方式
来控制力的大小是非常非常困难的
那么从电的角度来考虑
我们还可以有另外一个方式
来对系统进行做功
那就是采用电压控制
我以控制电压的电源对系统进行充电
由于电压的可控性非常好
所以在整个充电的过程中
我可以准确的控制电压
那么这个时候
它有另外的一个问题
就是它没办法再利用上边的
这样的一个表达式来控制力
最主要的一个原因是输入电压的时候
电荷是不恒定的
因此电荷在不断变化
变化多少我们也不知道
所以如果采用电压
来控制这样的一个系统
我们也没办法知道
力的大小到底是多少
那么怎么才能够通过控制电压
来知道力的大小呢
在这里边我们需要
引入一个共能的概念
共能在英文里面叫co—energy
它的定义是这样的
如果我用电荷和电压
做一个横轴和纵轴
那么 在这个矩形下面
刨去系统所具有的能量
这一部分面积就把它定义成共能
共能本身并没有一个明确的物理意义
但是对于线性系统来讲
我们发现共能和能量是相等的
有了共能它的表达式等于VQ减去能量
那么我们对这个表达式做一个微分
我们就可以得到共能
等于V乘以dQ加上Q
乘以dV再减去括弧里边VdQ加上FdG
运算一下这个式子
我们得到共能的微分
等于电量乘以电压的增量
减去力乘以间距的增量
所以从这个式子我们可以看出来
我们把电压和F
也就是力用共能联系到了一起
因此如果在间距恒定的情况下
我对共能进行求电压的偏导
就可以得到电荷
在电压恒定的情况下
我们对共能进行间距的偏导
就可以得到力
因此我们利用共能
可以准确的控制
在电压控制的情况下力的大小
我们来看一下具体的计算过程
共能的偏导等于这样的一个表达式
那么 我们进一步把
两侧偏微分进行积分
积分以后得到共能
等于电荷对电压的积分
减去力对间距的积分
由于整个积分过程与积分路径无关
所以我可以先选择电压为零
但是间距增加这样的一条积分路径
在某一个间距上固定间距再来增加电压
最后达到我们最终的目标
由于保守场与积分路径无关
因此 所采用的这样的一个积分路径
与任意一个积分路径所得的
最终结果是一样的
在这样的情况下我们首先给定电压为零
如果电压为零的话
那么静电力就不存在了
所以它的积分就是零
于是我们就得到这样的一个表达式
进一步我们把电压写成电荷的关系
把电荷写成电容的关系
我们就得到了共能
等于二分之一电容乘以电压的平方
如果进一步把电容表示成参数的关系
就等于介电常数乘以面积
除以间距再乘以电压的平方
因此我们计算出来了共能
又知道共能等于再给定电压条件下
对间距的偏导
我们就对共能来求间距的偏导
最后得到的结果
是力等于二分之一电容
除以间距乘以电压的平方
换句话说如果我采用电压控制
那么 极板间的静电力
就等于电压的平方
乘以电容除以两倍的间距
换句话说
给定了电容
给定了电压
我知道任何一个间距情况下
静电力的大小是多大
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-第2小节 MEMS的应用领域--作业
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