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弹性梁

下一节:弹性梁(续)

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弹性梁课程教案、知识点、字幕

对于硅材料

硅是正交各向异性的材料

因此在弹性刚度系数矩阵中

独立的弹性刚度系数只有9个

另外硅又具有立方晶体结构

那么独立的弹性刚度系数

进一步降低到3个

我们从这个矩阵可以看出来C11等于

C22等于C33

C44等于C55等于C66

因此主对角线上所有的

弹性刚度系数都是存在的

那么在主对角线两侧

只有最左上角的3乘3的矩阵是存在的

那么这些参数还存在

另一个关系C11等于C21

等于C13等于C31等于C23等于C32

因此沿着C11到C33

这样的主对角线上下两侧的

弹性刚度系数是完全对称的

那么这个弹性刚度系数

就是硅常用的材料参数

通过实验可以把它们测定出来

这个测定的结果

不同的人报道的参数有些差异

但是总体上在C11 C22 C33

大概在166左右

C44 C55 C66大概在79.6左右

那么C12和C21大概在63点几

那么这个参数它的单位是10的9次方帕

那么在工程上

我们常用到弹性刚度系数

也就是杨氏模量 剪切模量和泊松比

来描述一个材料的性质

那么对于硅材料

这种只有三个独立的弹性刚度系数

矩阵的材料来说

它的各个方向的应力

与弹性刚度系数

和应变的关系

可以简化为这两个式子所表达的

那么通过这两个式子

我们可以算出来它的杨式模量

也就是弹性模量与泊松比

和弹性刚度系数之间

可以形成这样一个表达式

也就是说

我们通过测定的弹性刚度系数

和泊松比可以计算出杨氏模量

或者弹性模量的大小

硅的弹性刚度系数

跟硅的晶格结构有很大的关系

同时它受到下面几个参数的影响

首先是晶向 其次是温度和掺杂浓度

由于晶向的不同

弹性刚度系数有很大的不同

那么硅的弹性模量与下面几个因素有关

首先是晶向

其次是材料的掺杂浓度和温度

在不同的晶向上 材料的弹性模量是不同的

我们来看这在100的硅片上随着

不同的方向变化

那么弹性模量

是这样一个黑色曲线所描述的

那么它的泊松比当然

也随着晶向的变化而变化

另外材料的弹性模量

也随着温度和掺杂浓度而变化

好 下面我们来

介绍一些关于弹性梁的分析方法

所谓的梁是指一个方向的尺度

远大于另外两个方向尺度

并且在变形的过程中

以承受弯曲为主这样的一个结构

在分析弹性梁以前需要一些基本的假设

这些假设有助于

我们简化后边的一些力学和数学方程

这些假设包括首先是一个圣维南假设

我们又把它称为圣维南原理

它是指当远离一个结构

作用力的位置的时候

结构上所产生的影响

可以将作用力

作为一个合力或者合弯矩

进行等同这样的一个假设

第二个呢是关于平面假设

所谓的平面假设

是指一个梁在受到弯矩或者扭转以后

它原来保持平面的那些位置

相对仍旧保持平面

所以称为平面假设

第三个是关于纯弯曲假设

一般的是指在纯弯曲的时候

我们可以不考虑剪应力的影响

对于一个梁 它的力学行为

不仅受到结构的影响

还受到支撑方式和作用力的影响

支撑方式

比如说是固定支撑 也就是既不能

旋转也不能弯曲

还是属于简单支撑

那么可以自由旋转

但是要受到横向这样的约束

同时作用力到底

是在整个结构上均匀分布的

还是只有一点集中力

那么对产生的作用效果都是不同的

我们先来看一个梁在受到弯矩作用的时候

它会存在着一个中性面

所谓的中性面是指在中性面的上方

整个梁的材料纤维会被压缩或者是拉伸

而在中性面的下方与上方相反

纤维会被拉伸或者压缩

而在中性面上在外力的作用下

它的长度并不发生改变

在中性面上以中性面作为分割

那么材料截面的上方

和下方它受到的应力符号刚好是相反的

变形力也刚好是相反的

我们来看这一个图

在中性面的上方材料受到压缩

在中性面下方材料受到拉伸

对于这样的一个梁式结构

我们在分析的过程中

基本上只考虑它的弯矩

而很少考虑在截面上的剪切力

这主要是由于

应力的影响因素差别比较大

由弯矩所产生的应力和扭转所产生的应力

正比于梁的长度与厚度的比值的平方

这是最主要的应力影响因素

而横向的剪切力所产生的应力

正比于长度与厚度的比值的一次方

因此它们两个会有数量级上的差异

而挤压所产生的应力

基本上与长度和厚度无关

这个就是更低一个数量级了

因此通常在梁的分析中

我们只考虑弯矩所产生的影响

我们来看一个典型的梁是如何分析的

这是一个悬臂梁

它的长度为L

左端固支在一个结构体上

所谓的固支是指

结构与梁相交的那一些支点

不能产生任何的位移变化

既不能产生拉伸 也不能产生弯曲 也没有扭转

它的分析是采用一个力学的平衡方法

在我们任意一个距离原点为x的位置上

我们把梁切割为两部分

梁的左侧和右侧两部分

分别受到不同的内力和外力的作用

我们来看截面上左侧受到弯矩M1

剪力Q1

右侧受到弯矩M2

剪力Q2

我们利用作用力和反作用力关系

可以知道M1和M2

是一个截面上的作用力和反作用力

因此M1和M2必然相等

同样Q1和Q2也必然相等

如果我们对右侧做一个力的平衡分析

在右侧梁的最左端选取一个支点

这个时候F作用

所产生的力矩就是F乘以l减去x

必然与截面上的M2相等

因此我们有M2等于F乘以l减x

由于x是任意选取的

所以在任意一个

位置上把梁切开的时候

那么截面上所对应的弯矩

都是M等于F乘以(l减去x)当x等于l的时候

l减x等于0

因此最右侧F作用的位置上弯矩是0

当x等于0的时候

l减去x等于l再乘以力F

就等于在最左侧它的弯矩是F

乘以l

同样 我们把切割的这一小块

做力的平衡分析

就会得到截面上的剪力Q2

与外力作用F是相等的

因此 我们把一个梁切开以后

可以分别分析左右两侧的平衡关系

并利用内力相等这样的一个条件

来建立两个截面上力和力矩之间的关系

下面我们来看

如何把材料的变形与外力联系到一起

对于这样的一个悬臂梁

我们描述它的变形是用挠度这样的一个参量

所谓挠度是指任何一个支点在弯曲的过程中

垂直向下运动的位移大小

也就是说在弯曲的过程中

弯曲变形在数值轴上投影的大小

就是这一点的挠度

那么我们希望将挠度与外力联系到一起

我们需要利用前面介绍的

中性面这样的一个概念

对于中性面上

任何一个初始的小线段

我们把它的长度标记为dl 在变形以后

它的长度变为大写的DL

这个时候根据应变的定义

变形前后的增量与原值的比例

因此我们可以得到

任意一个小的初始线段长度dl

它的应变等于大写的DL

减去小写的dl除以小写的dl

我们来看大写的DL

它实际上是在距离中面一个高度z

这样的一个位置上

从变形的弧线我们可以看出

变形以后大写的DL的长度

就等于曲率半径乘以它对应的这个张角

那么曲率半径就是

中面的曲率半径R加上

这个小线段距离中面的位移z乘以张角dθ

那么变形前的初始长度dl

尽管它距离中面有一个距离z

但是由于整个梁是平的

所以在距离z的位置上

和中面位置上它们的长度是一样的

因此小写的dl

就应当是中面的曲率半径R乘以对应张角dθ

所以我们把这个式子简化以后

就可以得到距离中面为z的

这样的一个线段

它的应变等于它的距离z除以曲率半径大小

这个曲率半径是中面的曲率半径

z是指这个线段距离中面的位移

再利用应力和应变的关系

我们就可以知道应力等于z乘以E除以R

到目前为止我们把变形所得到的量

也就是曲率半径和应力联系到了一起

但是应力我们使用非常不方便

我们希望能够把它和外力

或者是截面的扭矩联系到一起

我们来看如何计算扭矩

对于一个梁它所产生的弯曲

在中面上下方尽管应力的极性不同

但是它的弯矩

都可以利用梁的宽度乘以

一个高度方向上的增量

所得到的面积与应力大小相乘

就得到了这一个增量面积上力的大小

然后我们以任意一点作为力臂的支点

就可以得到这一个增量面积上

力所对应的弯矩是多少

然后把整个梁的高度进行一个积分

我们就得到了整个梁上

所分布应力所对应的弯矩

MEMS与微系统课程列表:

第一章 概述

-第1小节 MEMS的定义

--MEMS的定义

-第1小节 MEMS的定义--作业

-第2小节 MEMS的应用领域

--MEMS的应用领域

-第2小节 MEMS的应用领域--作业

-第3小节 MEMS的发展

--MSMS的发展

-第3小节 MEMS的发展--作业

-第4小节 MEMS的发展(续)

--MEMS的发展(续)

-第4小节 MEMS的发展(续)--作业

第二章 微系统基本理论—基础力学与基本物理

-第1小节 应力和应变

--应力与应变

-第1小节 应力和应变--作业

-第2小节 弹性梁

--弹性梁

-第2小节 弹性梁--作业

-第3小节 弹性梁(续)

--弹性梁(续)

-第3小节 弹性梁(续)--作业

-第4小节 薄板与流体的基本概念

--薄板与流体的基本概念

-第4小节 薄板与流体的基本概念--作业

-第5小节 流体的基本概念(续)

--流体的基本概念(续)

-第5小节 流体的基本概念(续)--作业

-第6小节 静电力

--静电力

-第6小节 静电力--作业

-第7小节 尺寸效应

--尺寸效应

-第7小节 尺寸效应--作业

第三章 微系统制造技术I—光刻与体微加工技术

-第1小节 MEMS光刻技术

--MEMS光刻技术

-第1小节 MEMS光刻技术--作业

-第2小节 体微加工技术—各向同性湿法刻蚀

--体微加工技术—各向同性湿法刻蚀

-第2小节 体微加工技术—各向同性湿法刻蚀--作业

-第3小节 体微加工技术—各向异性湿法刻蚀

--体微加工技术—各向异性湿法刻蚀

-第3小节 体微加工技术—各向异性湿法刻蚀--作业

-第4小节 体微加工技术—各向异性湿法刻蚀(续)

--体微加工技术—各向异性湿法刻蚀(续)

-第4小节 体微加工技术—各向异性湿法刻蚀(续)--作业

-第5小节 体微加工技术—干法刻蚀

--体微加工技术—干法刻蚀

-第5小节 体微加工技术—干法刻蚀--作业

-第6小节 体微加工技术—时分复用深刻蚀

--体微加工技术—时分复用深刻蚀

-第6小节 体微加工技术—时分复用深刻蚀--作业

-第7小节 体微加工技术—时分复用深刻蚀(续)

--体微加工技术—时分复用深刻蚀(续)

-第7小节 体微加工技术—时分复用深刻蚀(续)--作业

-第8小节 体微加工技术—稳态深刻蚀

-- 体微加工技术—稳态深刻蚀

-第8小节 体微加工技术—稳态深刻蚀--作业

-第9小节 体微加工技术—干法刻蚀设备与应用

--体微加工技术—稳态深刻蚀--作业

-第9小节 体微加工技术—干法刻蚀设备与应用--作业

第三章 微系统制造技术II—表面微加工技术

-第1小节 表面微加工技术概述

-- 表面微加工技术概述

-第1小节 表面微加工技术概述--作业

-第2小节 表面微加工技术的几个问题

--表面微加工技术的几个问题

-第2小节 表面微加工技术的几个问题--作业

-第3小节 表面微加工代工工艺

--表面微加工代工工艺

-第3小节 表面微加工代工工艺--作业

-第4小节 表面微加工的应用

--表面微加工的应用

-第4小节 表面微加工的应用--作业

-第5小节 厚结构层技术

-- 厚结构层技术

-第5小节 厚结构层技术--作业

第三章 微系统制造技术III—键合

-第1小节 键合概述与直接键合

-- 键合概述与直接键合

-第1小节 键合概述与直接键合--作业

-第2小节 阳极键合与聚合物键合

--阳极键合与聚合物键合

-第2小节 阳极键合与聚合物键合--作业

-第3小节 金属键合与键合设备

-- 金属键合与键合设备

-第3小节 金属键合与键合设备--作业

第三章 微系统制造技术IV—集成与封装

-第1小节 工艺集成

-- 工艺集成

-第1小节 工艺集成--作业

-第2小节 系统集成

--系统集成

-第2小节 系统集成--作业

-第3小节 单芯片集成与多芯片集成

--单芯片集成与多芯片集成

-第3小节 单芯片集成与多芯片集成--作业

-第4小节 三维集成

--三维集成

-第4小节 三维集成--作业

-第5小节 MEMS封装

--MEMS封装

-第5小节 MEMS封装--作业

-第6小节 MEMS封装(续)

--MEMS封装(续)

-第6小节 MEMS封装(续)--作业

第四章 微型传感器I—传感器的敏感机理

-第1小节 概述

--概述

-第1小节 概述--作业

-第2小节 压阻传感器

--压阻传感器

-第2小节 压阻传感器--作业

-第3小节 电容传感器与压电传感器

--电容传感器与压电传感器

-第3小节 电容传感器与压电传感器--作业

-第4小节 谐振传感器与遂穿传感器

--谐振传感器与遂穿传感器

-第4小节 谐振传感器与遂穿传感器--作业

第四章 微型传感器Ⅱ—压力传感器

-第1小节 压力传感器

--压力传感器

-第1小节 压力传感器--作业

-第2小节 压阻式压力传感器

-- 压阻式压力传感器

-第2小节 压阻式压力传感器--作业

-第3小节 压阻式压力传感器(续)

--压阻式压力传感器(续)

-第3小节 压阻式压力传感器(续)--作业

-第4小节 电容式压力传感器与谐振式压力传感器

--电容式压力传感器与谐振式压力传感器

-第4小节 电容式压力传感器与谐振式压力传感器--作业

-第5小节 硅微麦克风

--硅微麦克风

-第5小节 硅微麦克风--作业

第四章 微型传感器Ⅲ—惯性传感器

-第1小节 惯性传感器与加速度传感器概述

--惯性传感器与加速度传感器概述

-第1小节 惯性传感器与加速度传感器概述--作业

-第2小节 压阻式与电容式加速度传感器

--压阻式与电容式加速度传感器

-第2小节 压阻式与电容式加速度传感器--作业

-第3小节 电容式与热传导式加速度传感器

--电容式与热传导式加速度传感器

-第3小节 电容式与热传导式加速度传感器--作业

-第4小节 微机械陀螺概述

--微机械陀螺概述

-第4小节 微机械陀螺概述--作业

-第5小节 典型微机械陀螺

--典型微机械陀螺

-第5小节 典型微机械陀螺--作业

-第6小节 典型微机械陀螺(续)

--典型微机械陀螺(续)

-第6小节 典型微机械陀螺(续)--作业

-第7小节 模态解耦合

--模态解耦合

-第7小节 模态解耦合--作业

第五章 微型执行器

-第1小节 执行器概述

--执行器概述

-第1小节 执行器概述--作业

-第2小节 静电执行器—平板电容执行器

--静电执行器—平板电容执行器

-第2小节 静电执行器—平板电容执行器--作业

-第3小节 静电执行器—平板电容执行器(续)

--静电执行器—平板电容执行器(续)

-第3小节 静电执行器—平板电容执行器(续)--作业

-第4小节 静电执行器—叉指电容执行器

--静电执行器—叉指电容执行器

-第4小节 静电执行器—叉指电容执行器--作业

-第5小节 热执行器

--热执行器

-第5小节 热执行器--作业

-第6小节 压电执行器和磁执行器

-- 压电执行器和磁执行器

-第6小节 压电执行器和磁执行器--作业

第六章 RF MEMS

-第1小节 RF MEMS概述

-- RF MEMS概述

-第1小节 RF MEMS概述--作业

-第2小节 MEMS开关I

--MEMS开关I

-第2小节 MEMS开关I--作业

-第3小节 MEMS开关II

--MEMS开关II

-第4小节 MEMS开关III

--MEMS开关III

-第4小节 MEMS开关III--作业

-第5小节 MEMS谐振器—梳状谐振器

--MEMS谐振器—梳状谐振器

-第5小节 MEMS谐振器—梳状谐振器--作业

-第6小节 MEMS谐振器—板式谐振器

--MEMS谐振器—板式谐振器

-第7小节 MEMS谐振器的制造

--MEMS谐振器的制造

-第7小节 MEMS谐振器的制造--作业

第七章 光学MEMS

-第1小节 光学MEMS概述

-- 光学MEMS概述

-第1小节 光学MEMS概述--作业

-第2小节 MEMS光开关I

--MEMS光开关I

-第2小节 MEMS光开关I--作业

-第3小节 MEMS光开关II

-- MEMS光开关II

-第3小节 MEMS光开关II--作业

-第4小节 影像再现I—反射器件

-- 影像再现I—反射器件

-第4小节 影像再现I—反射器件--作业

-第5小节 影像再现II—衍射器件

--影像再现II—衍射器件

-第5小节 影像再现II—衍射器件--作业

-第6小节 影像再现III—干涉器件

--影像再现III—干涉器件

-第6小节 影像再现III—干涉器件--作业

第八章 微流体与芯片实验室

-第1小节 概述

-- 概述

-第1小节 概述--作业

-第2小节 软光刻技术

--软光刻技术

-第2小节 软光刻技术--作业

-第3小节 微流体输运

--微流体输运

-第3小节 微流体输运--作业

-第4小节 微流体输运(续)

--微流体输运(续)

-第4小节 微流体输运(续)--作业

-第5小节 试样处理

--试样处理

-第5小节 试样处理--作业

-第6小节 试样处理(续)

--试样处理(续)

-第7小节 检测技术

--检测技术

-第8小节 微流体应用

--微流体应用

-第8小节 微流体应用--作业

-第9小节 微流体应用(续)

--微流体应用(续)

-第9小节 微流体应用(续)--作业

第九章 BioMEMS

-第1小节 概述

--概述

-第1小节 概述--作业

-第2小节 药物释放 神经探针 生物传感器

--药物释放 神经探针 生物传感器

-第2小节 药物释放 神经探针 生物传感器--作业

-第3小节 可穿戴与可植入微系统

--可穿戴与可植入微系统

-第3小节 可穿戴与可植入微系统--作业

弹性梁笔记与讨论

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