质点弹簧阻尼模型在线视频

同学们 大家好

这节课让我们从一个简单朴素的

质点弹簧阻尼模型开始谈起

我们的模型主要是有一个具有质量的质点

以及拉力跟长度成正比的一个弹簧所组成的

那么在通常情况下它会保持平衡

因为重力跟拉力

互相抵消形成一个平衡的状态

那么一旦质点偏离它的平衡位置之后

就会产生一个周期性的一个震动

那么当然了

如果我们不考虑别的情况

震动会一直进行下去

但是如果我们考虑

它在运动过程中是有阻力的

那么这个震动

我们看到它的振幅会变得越来越小

比如说经过一定时间之后

整个运动就会慢慢的衰减

并且回归到原来的原点

接下来让我们用高中学过的力学知识

进行一下受力分析

首先质点会受到重力

其次它会受到一个弹簧的一个拉力

当然这重力跟拉力会互相抵消

保持一个平衡的一个位置

那么一旦这点离开它的平衡位置之后

主要就是会受到拉力

所以一开始我们可以先忽略重力的影响

因为它跟平衡位置的拉力是互相抵消的

除此之外

它在运动的过程当中会受到一个阻力

那么我们可以使用高中学过的

牛顿第二定律来进行一个受力的分析

首先质点它满足这样的关系

F等于ma

那么受力的情况 我们刚才我们已经分析过了

首先会有一个拉力的

拉力y是指的是它偏离平衡位置的长度

k是弹簧系数

除此之外还有一个阻力

那么他是跟质点的运动的速度

是成正比的

那么r是一个阻力系数

这样我们就会得出

负ky减rv等于ma这样一个关系

那么接下来我们可以使用速度

以及加速度的定义

因为速度其实就是位移的导数

加速度其实就是位移的二阶导数

这样话我们把速度跟加速度都带到

牛顿第二定律的方程里面之后

我们就可以得到下面的这样的一个

二阶的微分方程

我们应用数学分析里面的解偏微分方程

其实是可以轻松地解决这个问题的

但是在计算机领域有更高效的方法

就是使用一个一阶差分

一阶差分来代表一阶的导数

以及我们可以使用一个二阶差分

来代表位移的二阶导数

从而我们把这一阶差分跟二阶差分

都带入到二阶的微分方程之后

我们就可以得到下面的

这样一个二阶的递推方程

那么计算机是非常容易

就能够实现二阶的递推方程的

那么接下来我们就在计算机程序中

去模拟整个质点的运动的轨迹

你就使用processing

比较容易实现图形界面的

编程语言设计了刚才的动画

那么我们运行一下之后

看到有一个这样的

弹簧质子阻力模型的动画

通过点击空格

我们就可以获得一个基本的位移

偏离了平衡的位置

那么再按这个r我们就可以实现

跟我们刚才的模型一模一样的

一个运动的规律

那么由于它受到阻尼

所以它的震动幅度我们看到它是越来越小的

那么跟真实的模型不一样

我们可以在计算机动画里面

去修改一些数值

因为他们只不过在计算机里面

是一些数字而已

比如说我可以去加大它的质量

那么我们再让它动起来之后

会发现比原来的速度要更慢一点

比如说我在加大重量

它运行的就更慢了

那么同时我也可以去修改它的弹力系数

比如说我去减少它的弹力系数

那么它的运动就会变得更慢

增加它的弹力系数

运动就会变得更快

同时我们可以去修改它的楚尼系数

比如说我去降低它的阻力系数

降低到二

那么看到它衰减的幅度就会变得越小

但总来说

我们可以从这个图形里面看得出来

它的整个运动的规律

大致上是一个正弦函数

正弦波的这样的一个运动的规律

那么其实这一点

我们是可以用数学来证明的

当然我们也可以使用数学分析中的方法

直接去解平分方程

得到的解的形式基本上是

跟我们刚才看到的动画是完全一致的

首先它的一个基本运作规律

是一个三角函数cos的这样一个三角函数

除此之外

我们看到它的振幅慢慢的衰减

那就是因为有这样的一个指数的

函数来控制它的白碱

那么也就是说在质点弹簧阻尼模型当中

物体的每一个运动的质点

都可以被简化成刚才我们看到的

这样的一个衰减的三角函数

那么下一节当中

我们将会使用一个双二次滤波器来模拟这种

运动的轨迹所产生的震动的声音