当前课程知识点：计算机音乐 > 第四章 音色合成 > 4.2 质点弹簧阻尼模型 > 质点弹簧阻尼模型
同学们 大家好
这节课让我们从一个简单朴素的
质点弹簧阻尼模型开始谈起
我们的模型主要是有一个具有质量的质点
以及拉力跟长度成正比的一个弹簧所组成的
那么在通常情况下它会保持平衡
因为重力跟拉力
互相抵消形成一个平衡的状态
那么一旦质点偏离它的平衡位置之后
就会产生一个周期性的一个震动
那么当然了
如果我们不考虑别的情况
震动会一直进行下去
但是如果我们考虑
它在运动过程中是有阻力的
那么这个震动
我们看到它的振幅会变得越来越小
比如说经过一定时间之后
整个运动就会慢慢的衰减
并且回归到原来的原点
接下来让我们用高中学过的力学知识
进行一下受力分析
首先质点会受到重力
其次它会受到一个弹簧的一个拉力
当然这重力跟拉力会互相抵消
保持一个平衡的一个位置
那么一旦这点离开它的平衡位置之后
主要就是会受到拉力
所以一开始我们可以先忽略重力的影响
因为它跟平衡位置的拉力是互相抵消的
除此之外
它在运动的过程当中会受到一个阻力
那么我们可以使用高中学过的
牛顿第二定律来进行一个受力的分析
首先质点它满足这样的关系
F等于ma
那么受力的情况 我们刚才我们已经分析过了
首先会有一个拉力的
拉力y是指的是它偏离平衡位置的长度
k是弹簧系数
除此之外还有一个阻力
那么他是跟质点的运动的速度
是成正比的
那么r是一个阻力系数
这样我们就会得出
负ky减rv等于ma这样一个关系
那么接下来我们可以使用速度
以及加速度的定义
因为速度其实就是位移的导数
加速度其实就是位移的二阶导数
这样话我们把速度跟加速度都带到
牛顿第二定律的方程里面之后
我们就可以得到下面的这样的一个
二阶的微分方程
我们应用数学分析里面的解偏微分方程
其实是可以轻松地解决这个问题的
但是在计算机领域有更高效的方法
就是使用一个一阶差分
一阶差分来代表一阶的导数
以及我们可以使用一个二阶差分
来代表位移的二阶导数
从而我们把这一阶差分跟二阶差分
都带入到二阶的微分方程之后
我们就可以得到下面的
这样一个二阶的递推方程
那么计算机是非常容易
就能够实现二阶的递推方程的
那么接下来我们就在计算机程序中
去模拟整个质点的运动的轨迹
你就使用processing
比较容易实现图形界面的
编程语言设计了刚才的动画
那么我们运行一下之后
看到有一个这样的
弹簧质子阻力模型的动画
通过点击空格
我们就可以获得一个基本的位移
偏离了平衡的位置
那么再按这个r我们就可以实现
跟我们刚才的模型一模一样的
一个运动的规律
那么由于它受到阻尼
所以它的震动幅度我们看到它是越来越小的
那么跟真实的模型不一样
我们可以在计算机动画里面
去修改一些数值
因为他们只不过在计算机里面
是一些数字而已
比如说我可以去加大它的质量
那么我们再让它动起来之后
会发现比原来的速度要更慢一点
比如说我在加大重量
它运行的就更慢了
那么同时我也可以去修改它的弹力系数
比如说我去减少它的弹力系数
那么它的运动就会变得更慢
增加它的弹力系数
运动就会变得更快
同时我们可以去修改它的楚尼系数
比如说我去降低它的阻力系数
降低到二
那么看到它衰减的幅度就会变得越小
但总来说
我们可以从这个图形里面看得出来
它的整个运动的规律
大致上是一个正弦函数
正弦波的这样的一个运动的规律
那么其实这一点
我们是可以用数学来证明的
当然我们也可以使用数学分析中的方法
直接去解平分方程
得到的解的形式基本上是
跟我们刚才看到的动画是完全一致的
首先它的一个基本运作规律
是一个三角函数cos的这样一个三角函数
除此之外
我们看到它的振幅慢慢的衰减
那就是因为有这样的一个指数的
函数来控制它的白碱
那么也就是说在质点弹簧阻尼模型当中
物体的每一个运动的质点
都可以被简化成刚才我们看到的
这样的一个衰减的三角函数
那么下一节当中
我们将会使用一个双二次滤波器来模拟这种
运动的轨迹所产生的震动的声音
-欢迎辞
-1.1 计算机音乐导言
--计算机音乐导言
-1.2 计算机音乐课程主要内容
-1.3计算机音乐课程资源
-1.4 音乐的基本表达
--音乐的基本表达
-第一章作业
-2.1时域音频处理概述
--时域音频处理概述
-2.2 分窗处理1：OLA叠放
-2.3 分窗处理2：音量计算
-2.4 端点检测
--端点检测
-2.5 振幅包络
--振幅包络
-2.6 音频信号相乘
--音频信号相乘
-2.7 环形调制
--环形调制
-2.8 频率调制
--频率调制
-2.9 频率调制在音乐上的应用
-第二章作业
-3.1 频谱概述
--频谱概述
-3.2 傅里叶变换
--傅里叶变换
-3.3 短时傅里叶变换
--短时傅里叶变换
-3.4 加法合成
--加法合成
-3.5 线性滤波器
--线性滤波器
-3.6 京剧锣鼓经分析
--京剧锣鼓经分析
-第三章作业
-4.1 音色合成概述
--音色合成概述
-4.2 质点弹簧阻尼模型
--质点弹簧阻尼模型
-4.3 双线性滤波器
--双线性滤波器
-4.4 Modal合成
--Modal合成
-第四章测试
-5.1 一维振动模型概述
--一维振动模型概述
-5.2 弦振动模型
--弦振动模型
-5.3 达朗贝尔的行波解
--达朗贝尔的行波解
-5.4 梳状滤波器
--梳状滤波器
-5.5 Karplus Strong算法
-5.6 管状气鸣乐器模型
--管状气鸣乐器模型
-第五章作业
-6.1 音高跟踪概述
--音高跟踪
-6.2 时域音高跟踪
--时域音高跟踪
-6.3 频域音高跟踪
--频域音高跟踪
-6.4 K歌评分
--K歌评分
-第六章作业
-7.1 音频同步概述
--音频同步概述
-7.2 音乐特征提取 CQT
-7.3 音乐特征提取 Chroma
-7.4 动态时间规划概述
--动态时间规划概述
-7.5 动态时间规划实现
--动态时间规划实现
-第七章作业
