旋涡诱导速度在线视频

这一节我们学习旋涡诱导速度

主要包括直线涡束诱导的速度求解

和平面涡层诱导的速度求解

在实际流动中

有时存在旋涡集中分布在某个区域的情况

而这个区域以外的流动可认为是无旋的

如大气流动中的旋风

水中的旋涡等

这些旋涡会对流场造成影响

形成诱导的速度场

另外

在一些绕流问题中

被绕流的物体

比如机翼 叶栅等

对来流的扰动可用涡束或涡层来代替

而整个绕流流场是来流与诱导流场叠加的流动

为解决以上两类流动问题

必须解决旋涡诱导速度场的计算问题

利用涡线与通电导线之间的相似关系

类比于比奥—沙伐尔公式

如图所示

空间中任一微小涡束对它周围一点M的诱导速度为

dv={Γ/[4π(r^3)]}(dl×r)

那么dl是一个向量

r也是一个向量

那么它等于{Γ/[4π(r^2)]}sinθdl

诱导速度dv的方向按右手螺旋系

四指从向量dl旋转到向量r

那么大拇指的指向就是诱导速度的方向

它垂直于dl和r所在的平面

如图所示

将上式沿整个涡束长度积分得诱导速度

v等于[Γ/(4π)]乘以

{[sinθ/(r^2)]dl的线积分}

这个式子即为任意形状涡束

对静止流体中任一点所产生的诱导速度的表达式

应用该表达式可以求得直线涡束的诱导速度

如图所示

设有一直线涡束AB

强度为Γ

求距离涡束为r0的P点处的诱导速度

由几何关系可知 dlsinθ=rdθ

r=r0/sinθ

代入前面的速度表达式

就可以得到直线涡束AB在P点处的诱导速度

等于[-Γ/(4πr0)](cosθ2-cosθ1)

对于半无限长涡束

如图所示

即θ1=π/2 θ2=π

代入这个速度表达式

就可以得到半无限长涡束所诱导的速度v=Γ/(4πr0)

那么对于无限长涡束

如图所示

此时θ1=0

θ2=π

同样代入我们这个速度表达式

就可以得到无限长涡束诱导的速度v=Γ/(2πr0)

那么基于无限长涡束诱导速度结果

可以求平面涡层的诱导速度

那么平面涡层是由无数条无限长涡束组成

设涡层沿X轴伸展至正负无穷

且单位长度的旋涡密度γ为定值

则微元长度dx'上的涡通量为

dΓ=γdx'

那么根据无限长涡束诱导速度的结果

该无线长微元涡束在P点诱导的速度

dv=dΓ/(2πr0)

则X方向的诱导速度为

d(vx)=(sinα)dΓ/(2πr0)

那么积分就可以得到vx=-γ/2

这是y>0的情况

那么y<0的时候

vx=γ/2

同理可求得y方向的速度vy=0

那么可以看出

当穿过涡层时

切向速度它是产生了一个间断

而法向速度是为零的

那么实际绕流物体对流场的影响是

类似于这种涡层的影响的

因此可以利用涡层代替绕流物体的影响

这是我们后面要讲的奇点分布法的基础

旋涡诱导速度是机翼和叶栅理论中奇点分布法的基础

所求的无限长

半无限长直线涡束

和平面涡层诱导速度的结果

可以在机翼和叶栅理论中直接应用

除此以外

还应掌握直线涡束和平面涡层在任意一点

所诱导速度的方向的判定

其方向是由涡量方向和涡线到该任意点的向径决定的

以上是理想流体动力学的全部内容

下一单元我们开始学习粘性流体动力学基础