保角变换法求解平面叶栅流动在线视频

这一节我们利用保角变换法求解平面叶栅流动

内容包括等价平板叶栅 保角变换法求解叶栅流动的基本思路和平板直列叶栅的求解

在叶栅分析中 平板叶栅是最简单的情况

人们对平板叶栅有详细的理论分析

精确掌握了其动力特性

因此 对其它复杂叶栅动力特性的分析

常常会采用等价平板叶栅的理论数据

两个叶栅栅距相同但翼型不同的叶栅

如果对于任何来流 两组叶栅中翼型给出的升力都是相等的

则这两组叶栅叫做互为等价叶栅

若两者之一为平板叶栅 则称它为另一个的等价平板叶栅

等价平板叶栅的存在使得复杂叶栅的求解变得简单

我们可以通过等价平板叶栅来确定所求复杂叶栅的升力 环量 升力系数等动力特性

因此求解复杂叶栅流动问题就转换为求解平板叶栅流动问题

幸运的是任何叶栅都能找到与它等价的平板叶栅

这句话成立的前提是叶栅的流动是不可压缩平面有势流动 如图所示

在z平面上给定任一平面直列叶栅 栅距为t并且AB与A’B’

代表栅中任意两个相邻的翼型 取平面右手坐标系 使y轴平行于列线

在不失一般性的条件下 设栅前来流速度为1

并设它与X轴夹角为β

这个时候叶栅不受流体动力作用 即此时各翼型环量为零

此时若叶栅无环量绕流的复势W=f(z)=ф+iφ

无论变换前的组成叶栅的翼型是什么形状

只要以叶栅无环量绕流的复势W=ф+iφ为保角变换函数

则z平面上任意叶栅就能变成w平面上与实轴平行的平板叶栅

这是因为翼型表面满足是流线的边界条件 即在翼型表面流函数为常数

由于w平面的实轴为势函数 虚轴为流函数

流函数为常数 在w平面当中表示的就是一条直线 如图所示

即z平面的翼型转换到w平面上就会变成一平板

再利用函数ζ=We^(iβ0)对z平面作一次旋转变换

则在ζ平面上得到与实轴斜交成β0角的平板叶栅

此叶栅即为z平面上原有给定叶栅的等价平板叶栅

可以证明它与原叶栅具有相同的栅距t

且无论对怎样的来流 两叶栅都将提供相同的升力

由于ζ平面上的叶栅为W平面上的叶栅经旋转变换

获得 不改变栅距 即ζ平面上的栅距也为t

又由保角变换的特点可知：两次变换的函数都是解析的复变函数

即两次变换都不改变绕翼型的环量 从而 不改变绕翼型的升力

也就是说 对任意平面直列叶栅 利用上述变化都可获得其等价平板叶栅

由于任何翼型形状组成的叶栅都有其等价平板叶栅

那么只要找到平板叶栅绕流流动的解

就可以获得与之等价的由任意翼型形状组成的叶栅流动的解

基于以上 保角变换法求解叶栅流动的思路就是通过保角变换求出平板叶栅流动的解

再基于等价平板叶栅即可获得与之等价的任意叶栅流动的解

下面我们利用保角变换法来求解平面平板叶栅流动

为了方便求解 如图所示

我们把平板叶栅的任意绕流分解为无环量平行绕流

无环量垂直绕流和平板纯环量绕流来分别求解

即将叶栅任意绕流的无穷远平均速度wm分解为平行平板方向的速度

wp和垂直平板方向的速度wv

这两个方向的绕流为无环量绕流

再加上纯环量绕流就构成了平板叶栅的任意绕流

下面我们来分别求解这3种平板绕流流动

首先我们来求解平板叶栅的无环量平行绕流

设在Z平面上有一个平板叶栅

其参数如图所示 不失一般性

设栅前无穷远处速度大小为1 方向与平板平行

现将其周期性的一个栅距为t的带形流动区域变成ζ平面上绕一单位半径圆的流动

该流动的奇点分布如图所示 与奇点位置相关的R为待定系数

根据流量和速度环量的定义 可确定栅前 栅后的流量和环量如（1）式和（2）式所示

此带形区域内的流动相当于在栅前无穷远处有强度为qv的点源和强度为г的点涡

而栅后无穷远处有强度为qv的点汇及强度为-г的点涡

由于z平面的流动是均匀流 其复势已知 如（3）式所示

根据保角变换法的思路

通过变换函数将z平面上的带形区域流动变换为ζ平面的单位圆绕流

该圆柱绕流相当于在ζ=正负R处布置了强度为正负qv

正负г的涡汇和涡源 而在ζ=正负R分之一处分别布置了一个强度为正负qv

正负г的涡汇和涡源 所以 根据势流叠加原理

可得ζ平面绕流复势如（4）式所示

代入qv和г的表达式可得（5）式

（5）式即为平板叶栅无环量平行绕流在ζ平面上的复势

根据保角变换原理有z平面的复势W(z)等于ζ平面的复势W(ζ)

根据这一等式可求得z平面与ζ平面间的变换函数 如（6）式所示

可以看出 变换函数依赖于栅距t

平板安放角β和待定实数R R由平板叶栅的几何参数来确定

下面我们来求解平板叶栅无环量垂直绕流

设平板叶栅来流速度为1 无环量的垂直绕流相当于

来流速度由平行于叶栅平板的方向变为垂直于平板的方向

根据流量和速度环量的定义 平板叶栅无环量垂直绕流的栅前

栅后的流动奇点强度大小如（7）式所示

由于平板叶栅无环量垂直绕流与平板叶栅无环量平行绕流的速度成90度

只需将平板叶栅无环量平行绕流进行90度的旋转

即可获得平板叶栅无环量垂直绕流的复势 如（8）式所示

代入变换函数（6）式

即可得到平板叶栅无环量垂直绕流的复势如（9）式所示

相同的思路我们再来求解平板叶栅纯环量绕流

所谓纯环量绕流指的是平板叶栅前 后的速度

w1和w2只有列线方向的分量而无栅轴方向的分量

并且有w1y=-w2y w1x=w2x=0 如图所示

纯环量绕流相当于流过叶栅的流量为零

绕单个平板围线上的环量为1的流动

纯环量绕流相当于在每个平板处都放置一个强度为гc的点涡所诱导的流动

且此点涡的强度如（10）式所示

根据该条件可求出叶栅前 后y方向的速度w1y和w2y

继而求出z平面栅前和栅后无穷远处的点涡强度 如（11）式所示

该流动没有点源和点汇 只有点涡

根据势流叠加原理可得ζ平面上平板叶栅纯环量绕流的复势如（12）式所示

整理后得到（13）式

该式即为ζ平面上平板叶栅纯环量绕流的复势

以上我们已经得到平板叶栅无环量平行绕流

平板叶栅无环量垂直绕流和平板叶栅纯环量绕流的解

叠加后即可获得平板叶栅任意绕流的解

需要注意的是 对于叶栅来说其特征速度是无穷远处的平均速度wm

它等于栅前栅后速度的矢量平均

叶栅无穷远处平均速度与叶栅弦线的夹角为δ

首先把无穷远处的速度wm分解成与平板平行和垂直的两个分量

这两个流动对应的复势记为Wp和Wv

同时绕流平板环量为гc的纯环量流动对应的复势记为Wc

根据势流叠加原理 此平板叶栅任意绕流对应的ζ平面上的复势如（14）式所示

式中各复势已在前面求出 代入

即可得到平板叶栅任意绕流对应的ζ平面上的复势如（15）式所示

将（15）式中ζ用变换函数（6）式换成z之后 即可得到z平面上的平板叶栅任意绕流复势W(z)

下面来确定平板叶栅任意绕流中的环量

类似于和孤立翼型绕流中的库达——恰布雷金假设相仿 在叶栅流动中也有相似的流动条件

即不管栅前来流如何改变 叶栅中翼型的尾缘点

必是流动的后驻点 此时该点处的速度为有限值 如（16）式所示

根据该条件可求得栅中平板的环量如（17）式

将叶栅中平板翼型的环量与孤立平板翼型的环量进行对比

它们的比值L称为环量比 如（18）式所示

由于R与α0是依赖于叶栅稠密度b/t与安放角β的

所以L最终是b/t和β的函数

L随安放角β以及叶栅稠密度b/t的变化关系曲线如图所示

有了该函数曲线后 叶栅中的平板环量可由孤立平板的环量以及叶栅的几何参数来确定

由于任何平面直列叶栅都存在与其等价的平板直列叶栅

因此 由任何翼型组成的平面直列叶栅的绕流从理论上已解决

对于平面环列叶栅的求解只需再做一次变换

将环列叶栅绕流变换为直列叶栅绕流

即可进行平面环列叶栅的求解

本节学习了如何应用保角变换法求解平面叶栅流动

同学们应掌握等价平板叶栅的概念和保角变换法求解平面叶栅流动的思路

以上是本节内容 下一节我们学习奇点分布法