儒可夫斯基变换在线视频

这一节我们学习一种特别的保角变换法

儒可夫斯基变换

内容包括儒可夫斯基变换的特点、

运用儒可夫斯基变换求解平板绕流以及库达-恰布雷金假设

保角变换法求解流动的基本思路如下

要想求解Z平面上给定翼型的流动

可借助一个解析的复变函数z=f(ζ)

把流动变换到另一个复平面ζ上去

ζ平面上对应绕流比Z平面上的原绕流简单

而且其绕流复势W(ζ)已知

然后通过变换函数z=f(ζ)的反函数ζ=f^(-1)(z)代入

已知的W(ζ)

即可得到Z平面上绕翼型流动的复势W(z)

儒可夫斯基变换可将ζ平面上绕圆柱流动变换成z平面上绕翼型形状的流动

因为在ζ平面上绕圆柱的势流解是已知的

故用前述的保角变换原理即可求得z平面上绕翼型的流动

儒可夫斯基在1910年提出(1)式所示的变换函数

运用该变换函数的保角变换法即为儒可夫斯基变换

该变换函数的反函数如(2)式所示

儒可夫斯基变换函数在ζ不等于0的整个平面上解析

且单值可微 当ζ趋于无穷或趋于0时

对应Z平面的z趋于无穷

即ζ平面上的无穷远点和坐标原点对应z平面上无穷远点

将儒可夫斯基变换函数对ζ求导并令导数为0

可得两个变换的奇点 ζ=±c

在这两点变换不保角 可以证明在ζ平面上过这两点的平滑曲线经变换后

在Z平面上成为过点z=±2c的两条夹角为零的曲线

即夹角为零的尖角 类似于翼型尖锐的

在ζ平面上一个圆心在坐标原点

半径a=c的圆周变换后成为z平面实轴上一条长为4c的线段

该线段位于-2c至2c之间 将ζ平面上圆的方程代入儒可夫斯基变换函数

可以求得对应z平面的形状方程 如(3)式所示

显然此方程代表Z平面实轴上一根长为4c的直线段

根据变换前后复速度的关系 如(4)式所示

根据该式可知当ζ趋于无穷即z趋于无穷时

ζ平面和Z平面的复速度相等

即两平面上无穷远来流的速度的大小和方向完全相同

下面我们利用儒可夫斯基变换求解平板绕流问题

前面已提到ζ平面上一圆心在坐标原点

半径R=c的圆经儒氏变换后可在Z平面上变成实轴

上一条(段)长为4c的直线段

此线段可视为一无限薄的平板 如图所示 这样ζ平面上来流速度为V(∞)

攻角为α的无环量圆柱绕流变换为Z平面上相同来流条件的平板绕流

根据势流叠加原理 圆柱无环量绕流由均匀流与偶极子流叠加而成

如果ζ平面上有一速度为V(∞)

攻角为α的无穷远来流绕流此圆柱

则其绕流复势为均匀流复势与偶极子复势的代数和 如(5)式

将儒可夫斯基变换的反函数代入(5)式

可得Z平面上平板绕流的复势 如(6)式

进一步整理可得(7)式所示的平板无环量绕流的复势

因为ζ平面上为圆柱的无环量绕流

故Z平面上的平板绕流也是无环量的

ζ平面上圆柱无环量绕流由两个驻点 位置是已知的

通过变换可得到z平面上对应的驻点位置 其坐标如(8)式所示

可见前驻点在平板的下方 后驻点在平板的上方

由于驻点不在前后缘处 这时在平板前、后缘处将出现无穷大的速度

这种流动在物理上是不存在的

实验也表明后驻点不在平板上而在尾缘处

所以平板无环量绕流的结果是不合理的

为此我们根据实际实验结果提出库达-恰布雷金假设

在理论上可能的各种环量值中

只有那个能保证后尖缘处速度为有限值的环量

才具有实际价值 或者说流体流过带尖锐尾缘的物体时

其后缘必定是流动的后驻点

根据库达-恰布雷金假设 要在Z平面上得到这样的绕流

Z平面上后缘点z=2c必为后驻点

则在ζ平面上绕圆柱流动的后驻点B就必须在ζ=c处

如图所示 这种流动显然是有环量的

根据ζ平面圆柱绕流后驻点的位置可以确定绕圆柱流动的环量г=-4πV(∞)csinθ

其中θ为后驻点在圆周中的幅角

因为来流V(∞) 与实轴成α夹角 如图所示

所以θ=α 所以绕流环量г=-4πV(∞)csinα

根据势流叠加原理圆柱有环量绕流由圆柱无环量绕流叠加点涡而成

所以圆柱有环量绕流的复势如式(9)所示

代入儒可夫斯基变换的反函数可得Z平面上平板有环量绕流的复势

如式(10)所示 其中c=b/4 b为平板的弦长 V(∞)和α为平板无穷远来流的速度和攻角

平板所受的升力可用儒可夫斯基升力公式计算

如(11)式所示 升力系数如(12)式所示

当攻角α不大时 sinα约等于α

故升力系数CL≈2πα 此结果和平板绕流风洞实验结果很接近

这同时也说明库达-恰布雷金假设的合理性

这一节我们学习了儒可夫斯基变换的原理和基本求解思路

通过平板绕流的求解引出了库达-恰布雷金假设

同学们应掌握应用儒可夫斯基变换求解具体流动和库达-恰布雷金假设

以上就是本节内容

下一节我们学习如何运用儒可夫斯基变换求解翼型绕流问题