平板湍流边界层和混合边界层的近似解在线视频

这一节我们利用边界层动量积分关系式

近似求解平板湍流边界层和混合边界层流动

边界层动量积分关系式

是基于边界层方程组推导而来

对于湍流和层流都适用

因此平板湍流边界层流动

仍然满足边界层动量积分关系式

当来流为均匀流动时

边界层动量积分关系式

如式(1)所示

求解该式时仍需补充两个关系式

这个问题目前还不能从理论上解决

Prandtl认为

可以将沿平板边界层内的湍流流动

与圆管内的湍流流动进行类比

而圆管内的湍流流动已被完整地研究过

其运动规律已经清楚

可以将平板来流速度类比于

圆管管轴上最大速度

将平板边界层厚度类比于圆管半径

在此基础上可以补充2个关系式

一个是速度分布如(A)式

一个是平板表面切应力表达式如(B)式所示

注意：这里不能直接用τ(0)=μdVx/dy

y=0的表达式来求

因为湍流流场的切应力有2部分组成

一部分是粘性切应力

另一部分是雷诺应力

(1)式、(A)式和(B)式组成了

平板湍流边界层求解的封闭方程组

联立即可求出

边界层几何厚度δ、x方向速度Vx

和平板表面切应力τ(0)

先根据边界层动量损失厚度的定义式

得到δ**=7δ/72

再和(B)式一起代入(1)式可得(2)式

积分(2)式并代入x=0时δ=0的条件

即可求出边界层几何厚度如(3)式

可见对于湍流边界层

边界层几何厚度与x^(4/5)成正比

比层流边界层几何厚度增长快得多

将求出的边界层几何厚度

代入流场切应力的表达式

可求得流场切应力如(4)式所示

实际上在平板前部总存在一段层流边界层

只是在转捩点后

才变成湍流

如图1所示

这种边界层称为混合边界层

在转捩区内流动形态很复杂

很难用层流或湍流边界层的方法

计算其中的速度分布及阻力

一般假定

转捩发生在临界雷诺数Rec相对应的某点处

在该点之前是层流边界层

在该点之后作湍流边界层处理

如图2所示

前面已经求得湍流边界层的阻力系数

对于混合边界层层流段的存在

减少了总阻力

基于此对湍流边界层阻力系数进行修正

如(7)式所示

式中系数A与临界雷诺数Rec相关

对于不同的临界雷诺数A的取值不同

如表所示

好

我们来看一个例子

这个例子说有一个平板长L=5m

宽B=2m

在空气中沿长度方向

以V=2.42m/s的速度运动

如果空气的运动粘度告诉你

让你计算平板运动时

遭受的摩擦阻力有多大

那么在求解这个平板边界层的时候

我们应该首先去判断它的流态是什么

是层流还是湍流

那么如果有湍流

它实际上就是一个混合边界层

对吧

因为在平板的前半部分它的雷诺数小

它是层流

后半部分它就转捩成湍流

所以呢

首先我们应该判断

这个平板边界层的这样的一个流态

对这个例子呢

先根据已知条件

来求这个平板的雷诺数Rel

它等于什么呢？它等于V*L/υ

代入已知的这些数据

我们可以得到Rel=8.345×10^5

那么这个雷诺数呢

是大于临界雷诺数

这里的临界雷诺数我们取Rec=5×10^5

所以呢

该边界层

就是一个什么？为混合边界层

也就是说它既有层流的部分

就是在平板的前半部分对吧

前部分

后部分就转捩成湍流了

那么混合边界层我们讲混合边界层

我们可以利用混合边界层的求法来求

前边我们讲过

对于混合边界层

它的阻力系数CD=0.074/(Rel)^0.2-A/Rel

这里呢

Rec我们取的是5×10^5

那么对应的这个A呢

就等于1700

所以代入这些数据

我们就可以得到：CD=2.81×10^(-3)

这个阻力系数就是这个

阻力系数的定义我们知道它等于FD

这个FD呢注意是单面的

除以[ρ(v∞)^2]*S/2

这里呢S就等于b乘以L

就是平板的面积

所以呢

我们就知道FD

要求的这个摩擦阻力

注意

实际要求的这个摩擦阻力呢

它是双面的啊

所以呢它就等于2×CD×[ρ(u∞)^2]/2

S呢就是b乘以L

所以呢代入已知的数据

我们就可以得到

这个结果了

就0.35的牛顿

以上是本节内容

下一节我们学习边界层分离及减阻