简单流动的精确解在线视频

上一节我们学习了库埃特流动的精确解

这一节我们学习

另外两种简单流动的精确解

分别是等直径圆管中粘性层流流动

和旋转同心圆管间的

粘性层流流动的求解

其求解思路和步骤

与求解库埃特流动是完全一致的

即首先分析所求解流动的特点

然后根据流动特点对N-S方程进行简化

再求解简化的N-S方程得到流动的通解

最后根据边界条件得到所求流动的定解

上述求解思路和步骤是利用N-S方程

进行流动求解的通用思路

请大家务必掌握

首先我们来求解

等直径圆管中的粘性层流流动

根据求解思路和步骤

第一步进行流动特点的分析

如图所示为水平放置的等直径圆管

在压差的作用下作定常层流运动

忽略质量力

建立以管轴为Z轴的柱坐标系

该流动具有以下特点

只有轴向速度

没有径向速度和周向速度

即vr=vθ=0

vz不等于零

流动定常

则∂/∂t等于零

忽略质量力则fr=fθ=fz=0

流动沿圆管周向不变

即∂/∂θ等于零

根据流动特点

我们采用柱坐标系下的N-S方程

首先连续性方程可简化为∂vz/∂z=0

即vz=vz（r）

轴向速度只是径向坐标r的函数

r方向的运动方程如下

根据流动特点可进行简化

流动定常则第一项∂vr/∂t=0

vr= vθ=0

则方程中与vr和vθ相关的项为零

忽略质量力则fr=0

最后r方向的运动方程简化为

-1/ρ ∂p/∂r=0

如（1）式所示

同理θ方向的运动方程

可简化为（2）式所示

z方向的运动方程可简化为（3）式所示

由（1）式和（2）式可知压力只是z的函数

即p=p（z）

又根据连续性方程我们知道vz只是r的函数

即vz=vz（r）

代入（3）式可得简化后的N-S方程（4）式

积分（4）式可求得流动的通解为（5）式

其中C1和C2为积分常数

下面通过边界条件来求定解

在圆管壁面处即r=a处

速度为零即vz=0

而在圆管中心处

即r=0处

速度为有限值

即vz=有限值

将上述边界条件代入流动的通解（5）式

即可确定积分常数C1和C2的取值

代入通解即可得到

等直径圆管中的粘性层流流动的解

如（6）式所示

可见速度分布为抛物线分布

如图所示

该流动称为泊肃叶流动

采用相同的思路和方法我们再来求解

旋转同心圆管间的粘性层流流动

如图所示

在两个半径分别为r0和ri的

同心圆管的管壁之间有不可压缩粘性流体

设管长比管径大得多

若两管各以角速度ω0和ωi绕管轴旋转

则因粘性的作用

管壁间的流体将被诱导而作圆周层流运动

忽略质量力

且设Z方向无压差作用

将柱坐标系的坐标原点取在管轴上

Z轴取管轴方向

首先我们分析其流动特点

该流动只有周向速度

且只与r坐标有关

即vθ=vθ（r）

另外流动沿周向不变

即∂/∂θ=0

流动定常即∂/∂t=0

忽略质量力即fr=fθ=fz=0

压力只与r坐标有关

即p=p（r）

根据上述流动特点

进行N-S方程的简化可得（7）式和（8）式

将（8）式展开可改写成（9）式

对（9）式进行两次积分可得（10）式

其中C1和C2为积分常数

根据边界条件可确定积分常数

在外圆柱表面

即r=r0处

流体随圆柱旋转

即周向速度vθ=ω0乘以r0

同理

在内圆柱表面

即r=ri处

周向速度vθ=ωi乘以ri

将上述边界条件代入通解

可确定积分常数C1和C2

带回通解可得旋转同心圆管间的

粘性层流流动的解如式（12）所示

这就是管壁间流体运动速度的分布规律

将该速度分布可以带回到

简化的N-S方程中的（7）式中

积分可以得到该流动的压力分布

如式（13）所示

这一节我们应用N-S方程

得到了等直径圆管中的粘性层流流动

和旋转同心圆管间的粘性层流流动的精确解

请同学们务必掌握运用

N-S方程求解流动的思路和步骤

即首先分析所求解流动的特点

然后根据流动特点对N-S方程进行简化

再求解简化的N-S方程得到流动的通解

最后根据边界条件得到所求流动的定解

以上是本节内容

下一节我们学习边界层概念及其流动的特点