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下一节:旋涡和涡量

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描述旋涡运动的基本概念课程教案、知识点、字幕

这一节我们学习描述旋涡运动的一些基本概念

主要包括涡线 涡管 涡束 涡通量

和速度环量的概念

自然界中存在很多旋涡运动现象

比如水面上的旋涡

空气中的龙卷风

飞行中的小鸟身体周围的空气流动

飞行中飞机和行驶中汽车周围的流场等等

可见旋涡运动普遍存在

我国著名的流体力学家

空气动力学专业的主要奠基人之一

陆士嘉女士认为旋涡是流动的本质

可见旋涡运动的重要性

对于旋涡流动

其流体流动的角速度ω

等于二分之一的速度旋度

它是不等于0的

涡量Ω等于速度的旋度

等于2倍的小ω

也是不等于0的

根据涡量的数学表达式可知

涡量的散度是等于0的

所以涡量散度的体积分可以写成

包含这个体积上的面积分等于0

说明涡量是具有守恒性的

对任一流体体积

穿过其表面出来的涡通量

代数和等于零

或者说

穿过某流体体积表面

进去多少涡量必定出来多少涡量

类似于质量守恒

那么什么是涡线

如图所示

涡线是在某瞬时涡量场当中的一条空间曲线

曲线上任意一点的切线方向

与该点的流体微团的

旋转角速度方向一致

因此涡线是给定瞬时

曲线上流体质点的转动轴线

一般情况下

涡线与流线不重合

那么根据涡线的定义

可得到涡线的方程

也就是dx/ωx=dy/ωy=dz/ωz

其中t为某一瞬时

涡线是具有瞬时的特性

不同瞬时它有不同的形状

那么在定常流动中

它的形状是保持不变的

那么什么是涡管

如图所示

给定瞬时

在涡量场中任取一封闭曲线

注意不是涡线

通过曲线上每一点作涡线

那么这些涡线形成一个封闭的

管形的曲面

我们称之为涡管

注意涡管是一个面

涡管中充满的旋转运动的流体

我们称为涡束

注意涡束是流体质点的集合

截面无限小的涡管

我们称为微元涡管

微元涡管当中的涡束

我们称为微元涡束

旋转角速度ω沿涡束长度改变

但在微元涡管的每一个截面上

各点的旋转角速度可认为是相同的

那么什么是涡通量呢

在涡量场中取一微元面积dA

在其上流体微团的涡量为Ω=2ω

n为dA的外法线方向

我们定义dJ=Ω∙dA=2ωndA

这个就是任意微元面积dA上的涡通量

也称为旋涡强度

所以涡通量和旋涡强度是一个概念

是等价的

那么对于任意有限面积A

则通过这一面积的涡通量为

J等于dJ的积分

注意涡通量与旋涡强度是等价的

由于涡通量不好直接计算

我们引入速度环量的概念

给定瞬时

在流场的任意封闭曲线上

流体的速度矢量沿封闭曲线的线积分

我们就定义为速度环量

如图所示

这是流场当中任意取的封闭曲线l

这是速度场

则该封闭曲线l的速度环量Γ

我们就可以定义为v∙dl

沿着这个封闭曲线l的线积分

那么展开就是vxdx+vydy+vzdz

沿着这个l的线积分

这就是速度环量的定义式

注意速度环量是标量

它的正负号由速度方向与

积分曲线的绕行方向的夹角来决定

那么对于非定常流动

速度环量是一个瞬时的概念

应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算

积分的时间t为参变量

我们来看个例子

这个例子呢

让我们证明均匀流的速度环量等于零

那什么是均匀流呢

均匀流实际上是流场当中任意点的

速度的大小和方向都是一样的

那我们来看看

这个流动是不是它的速度环量就等于0呢

那我们首先把这个流动画出来

我们这里的均匀流是这样的一个均匀流

它的大小是v∞

方向是沿着X轴的正方向

那么流场当中任意一点的速度都是这样

那么这样的一个均匀流

它的速度环量是不是等于0呢

那我们就根据速度环量的定义

我们任意取一个矩形的

这样的一个封闭周线ABCDA

那我们根据环量的定义式

我们看看这个

沿着这个封闭周线的速度环量是多少

ΓABCDA它等于

沿着这个封闭周线ABCDA速度的线积分

那么由于

这是一个矩形

那我们可以很方便地分段来求

所以呢它等于AB段的线积分

加上一个BC段的线积分

再加上一个CD段的线积分

再加上一个DA段的线积分

好 那我们首先看AB段的

AB段显然是平行于X轴的

所以呢

速度沿着这个方向的线积分就是等于什么呢

实际上就等于v∞乘以AB

这非常简单

也就是说

曲线的方向和速度方向是一致的

那么再看BC

BC是和速度方向是垂直的

所以呢

速度在这个方向的投影就是没有的

所以这两个线段垂直

所以它们的点乘是等于0的

所以BC这一段的环量呢

就是等于0

CD这个方向跟速度是反向的

所以呢等于-v∞乘以CD这个长度

那么DA又是和速度方向垂直的

所以它是0

那么对于矩形来说

AB是等于CD的

长度相等

所以显然这个速度环量

它就等于0

所以呢

这就证明了我们任取这样的一个矩形的封闭周线

那么对于均匀流动来说

它的速度环量是等于0的

好那我们再来看

我们再来看一种情况

我们取一个

在这个流场当中

我取一个圆

我们再来看看

沿着这样一个封闭的圆周线

它的环量是否等于0

这个圆的圆心在任意位置

我们

在这上面任意找到一个点

这点的速度呢

我们知道均匀流动

它是v∞

那么这个速度呢

我们可以分解成两个方向

一个方向是沿着这个径向vr

还有个方向

就是沿着这个切向vθ

我们假设这个角是θ角

那我们知道这个角就是θ角

所以呢

沿着这个封闭圆周线K的速度环量ΓK

它就等于根据速度环量的定义式

就是沿着这个封闭周线速度的线积分

那么这个dl呢

就是沿周线的切线方向

所以它写出来应该等于什么呢

vθ对吧周向

然后乘以rdθ

这里的vθ呢

根据这个图上的这个分析

我们知道

它等于

负的

注意因为它的方向

和我们这个所取的周线的方向是相反

所以它等于-v∞sinθrdθ

所以呢

我们把这个线积分展开

实际上呢

0到2π

(-v∞rsinθdθ)等于

-v∞r(0到2π)(sinθdθ)

那么在一个周期里面

三角函数的积分它显然是等于0的

所以它就等于0

也就是说我们任意取的

圆周线

封闭的圆周线上的速度环量

对于均匀流来说

它也是等于零的

所以实际上在均匀的流场当中

你取任意形状的封闭周线

你去计算它的速度环量

其实都等于0

所以呢

这就是均匀流的速度环量

它都等于0

所以这个例子呢

所涉及的知识点就是要掌握速度环量的定义

它就是沿封闭周线的

这样的一个速度的线积分

好这就是这个例子

这一节应掌握涡线

涡管和涡束的概念

以及什么是涡通量

涡通量用于衡量旋涡强度

即涡量在任意表面的法向通量

一般不好直接求得

还有速度环量的定义

即给定瞬时

在流场的任意封闭曲线上

流体速度矢量沿封闭曲线的线积分

注意速度环量为标量

当速度方向与封闭曲线绕行方向的夹角小于90度时为正

大于90度时为负

速度环量是一个重要的概念

它和涡通量

即旋涡强度有密切关系

以上是本节内容

下一节我们学习旋涡运动的Stokes定理。

流体力学课程列表:

第1单元 理想流体动力学

-1.1 课程导论

--流体力学发展历程

-1.2 速度势函数

--速度势函数

-1.3 平面流动的流函数

--平面流动的流函数

-1.4 势函数与流函数的关系

--势函数与流函数的关系

-1.5 复势与复速度

--复势与复速度

-1.6 几种基本的平面势流

--几种基本的平面势流

--点涡流动是无旋流动吗?

-1.7 势流的叠加

--势流的叠加

-1.8 圆柱无环量绕流

--圆柱无环量绕流

--圆柱绕流的受力问题

-1.9 圆柱有环量绕流

--圆柱有环量绕流

-1.10 描述旋涡运动的基本概念

--描述旋涡运动的基本概念

--旋涡和涡量

-1.11 旋涡运动的Stokes定理

--旋涡运动的Stokes定理

-1.12 Thomson定理、Helmholtz定理

--Thomson定理、Helmholtz定理

-1.13 旋涡诱导速度

--旋涡诱导速度

-第1单元习题

第2单元 粘性流体动力学基础

-2.1 应力形式的动量方程

--应力形式的动量方程

-2.2 Navier-Stokes方程

--Navier-Stokes方程

--关于N-S方程的讨论

-2.3 库埃特流动精确解

--库埃特流动精确解

--边界条件问题

-2.4 简单流动的精确解

--简单流动的精确解

-2.5 边界层概念及其流动特点

--边界层概念及其流动特点

--边界层的意义

-2.6 边界层方程组及其边界条件

--边界层方程组及其边界条件

-2.7 平板层流边界层的相似解

--平板层流边界层的相似性解

-2.8 边界层动量积分关系式

--边界层动量积分关系式

--边界层动量积分关系式的意义

-2.9 平板湍流边界层和混合边界层的近似解

--平板湍流边界层和混合边界层的近似解

-2.10 边界层分离及减阻

--边界层分离及减阻

-2.11 湍流概述

--湍流概述

--层流与湍流

-第2单元习题

第3单元 翼型与叶栅理论基础

-3.1 机翼与翼型概述

--机翼与翼型概述

-3.2 叶栅概述

--叶栅概述

-3.3 保角变换法

--保角变换法

-3.4 儒可夫斯基变换

--儒可夫斯基变换

-3.5 儒可夫斯基翼型绕流

--儒可夫斯基翼型绕流

-3.6 保角变换法求解平面叶栅流动

--保角变换法求解平面叶栅流动

-3.7 奇点分布法

--奇点分布法

-3.8 奇点分布法求解有限翼展绕流

--奇点分布法求解有限翼展绕流

-3.9 奇点分布法求解平面叶栅流动

--奇点分布法求解平面叶栅流动

-3.10 问题回答

--问题回答

描述旋涡运动的基本概念笔记与讨论

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