平板层流边界层的相似性解在线视频

这一节我们学习

如何利用边界层方程

来求出平板层流边界层的相似性解

何谓平板层流边界层的相似性解？

这里的相似指的是平板层流边界层中

各个位置处的速度剖面分布是相似的

如图所示

具体地说

如果以外流区的速度V∞

为边界层中速度Vx的尺度因子

边界层厚度δ为边界层中坐标 y 的尺度因子

则在无量纲坐标y比δ上

表示出的无量纲速度剖面Vx比V∞

对于不同x将完全相同

即边界层不同x位置处的速度分布满足(1)式

(1）式表明相似的速度分布只依赖y/δ

如果以y/δ为自变量

则原来的偏微分方程将化为常微分方程

因此

边界层方程的解具有相似性

能使数学问题得到相当的简化

什么情况下可求得边界层方程的相似性解？

可以证明

当外流的速度分布具有幂次形式

或指数形式的时候

可采用相似性解法进行求解

下面以满足上述速度分布特征的

半无限长平板的层流边界层为对象

进行边界层流动的求解

设在平板前方未受扰动的均匀气流

以均匀速度V∞沿板面方向定常地

向有半无限长且厚度为零的平板流来

取直角坐标系原点与平板前缘重合

x轴沿来流方向

y轴垂直于平板

外流为等速常压情形

此种情况下

普朗特边界层方程可简化为(2)式和(3)式所示

边界条件如(4)式所示

由于流动满足不可压缩平面流动的连续性方程

即(2)式

则存在流函数

引入流函数ψ(xy)

代入速度和流函数的关系

边界层方程组(2)式和(3)式可简化为(5)式

边界条件(4)式可转化为(6)式

P6：下面根据边界层速度分布特点

对(5)式进行变量替换

引进一个以η为自变量的无量纲流函数ψ

如(7)式所示

代入到(5)式可得变量替换后的(8)式

相应的边界条件转化为(9)式

(8)式是一个非线性的三阶常微分方程

很难用解析法求解

布拉休斯(Blasius)于1908年

采用级数衔接法近似求解了该方程

而后哥斯丁(Goldstein)

豪华斯(Howarth)哈脱利(Hartree)等人

分别用数值法精度不同地求出了该方程的解

这些解列成表供求解时查询

下面根据数值计算结果

分析平板边界层内的主要物理量

根据速度与流函数的关系

可求得边界层中x方向速度Vx

如(10)式所示

y方向速度Vy如(11)式所示

根据Vy的表达式当y趋于无穷时

Vy并不等于零

如(12)式所示

即在边界层外部边界上

y方向速度并不等于外流的零值

这恰好反映了边界层对外流的影响

通过查表可知

当Vx/V∞=0.99时

η=5

我们知道边界层的边界

是由Vx/V∞=0.99的那些点组成

所以η=5对应的是边界层的外边界

代入η的表达式可求出边界层的几何厚度δ

如式(13)所示

根据边界层排挤厚度

和动量损失厚度的定义式

可分别求得这两个厚度如式(14)所示

可见边界层几何厚度大于边界层排挤厚度

大于边界层动量损失厚度

平板上某点x处的局部切应力τ(0)如式(15)所示

通过查表可求得τ(0)

如式(16)所示

对其进行无量纲化

可求得切应力系数如式(17)所示

求出局部切应力τ(0)后可进一步求得

流体作用于单位宽度

长为x的平板单面上的总摩擦阻力

如式(18)所示

进行无量纲化后

可得总摩擦阻力系数如式(19)所示

这一节我们求解的对象

是速度分布相似的平板层流边界层

同学们需要掌握边界层中速度的求解

边界层厚度的求解以及平板局部切应力

和切应力系数、平板摩擦阻力

和摩擦阻力系数的求解

注意不需要背这些结果公式

但要掌握求解的方法

以上是本节内容

下一节我们学习

边界层另外一种近似求解方法

边界层动量积分关系式